Логические выражения. Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции.
Для записи составного высказывания в виде логического выражения на формальном языке (языке алгебры логики) в составном высказывании нужно выделить простые высказывания и логические связи между ними.
Запишем в форме логического выражения составное высказывание «(2 - 2 = 5 или 2-2 = 4) и (2 2 ≠ 5 или 2-2≠ 4)». Проанализируем составное высказывание. Оно содержит два простых высказывания:
А = «2 2 = 5» - ложно (0),
В = «2 2 = 4>> - истинно (1).
Тогда составное высказывание можно записать в следующей форме:
«(А или В) и (⌐А или (⌐ В)».
Теперь необходимо записать высказывание в форме логического выражения с учетом последовательности выполнения логических операций. При выполнении логических операций определен следующий порядок их выполнения: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Для изменения указанного порядка могут использоваться скобки:
F = (A v В) & (⌐ A v ⌐ В).
Истинность или ложность составных высказываний можно определять чисто формально, руководствуясь законами алгебры высказываний, не обращаясь к смысловому содержанию высказываний.
Подставим в логическое выражение значения логических переменных и, используя таблицы истинности базовых логических операций, получим значение логической функции:
F = (AvB )&(⌐ Av ⌐ B ) = (0v1)&(1v0) = 1 & 1 = 1.
Таблицы истинности. Для каждого составного высказывания (логического выражения) можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность или ложность при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний (логических переменных).
При построении таблиц истинности целесообразно руководствоваться определенной последовательностью действий.
Во-первых, необходимо определить количество строк в таблице истинности. Оно равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение. Если количество логических переменных равно n , то:
количество строк = 2 n .
В нашем случае логическая функция F = (AvB )&(⌐ Av ⌐ B ) имеет 2 переменные и, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть равно 4.
Во-вторых, необходимо определить количество столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.
В нашем случае количество переменных равно двум, а количество логических операций - пяти, то есть количество столбцов таблицы истинности равно семи.
В-третьих, необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, обозначить столбцы и внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных.
В-четвертых, необходимо заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности (табл. 4.4). Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных.
Таблица 4.4. Таблица истинности логической функции
F =(AvB )&(⌐ Av ⌐ B )
|
(AvB)&(⌐Av⌐B) |
||||||
Равносильные логические выражения. Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными. Для обозначения равносильных логических выражений используется знак «=».
Докажем, что логические выражения ⌐А &⌐В и ⌐(AvB ) равносильны. Построим сначала таблицу истинности логическое выражения ⌐А &⌐ В (табл. 4.5).
Таблица 4.5. Таблица истинности логического выражения ⌐А & ⌐В
|
⌐А& ⌐ В |
||||
Теперь построим таблицу истинности логического выражения ⌐(AvB ) (табл. 4.6).
Таблица 4.6. Таблица истинности логического выражения ⌐(AvB )
|
⌐(AvB ) |
|||
Значения в последних столбцах таблиц истинности совпадают, следовательно, логические выражения равносильны:
⌐А & ⌐В = ⌐(AvB ).
Логическая функция - это функция, в которой переменные принимают только два значения: логическая единица или логический ноль . Истинность или ложность сложных суждений представляет собой функцию истинности или ложности простых. Эту функцию называют булевой функцией суждений f (a, b) .
Любая логическая функция может быть задана с помощью таблицы истинности, в левой части которой записывается набор аргументов, а в правой части - соответствующие значения логической функции. При построении таблицы истинности необходимо учитывать порядок выполнения логических операций.
Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:
1. инверсия;
2. конъюнкция;
3. дизъюнкция;
4. импликация;
5. эквивалентность.
Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки.
Для каждого составного высказывания (логического выражения) можно построить таблицу истинности , которая определяет его истинность или ложность при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний (логических переменных).
При построении таблицы истинности целесообразно руководствоваться определенной последовательностью действий.
Алгоритм построения таблиц истинности для сложных выражений:
количество строк = 2 n + строка для заголовка ,
n - количество простых высказываний.
количество столбцов = количество переменных + количество логических операций ;
o определить количество переменных (простых выражений);
o определить количество логических операций и последовательность их выполнения.
3. Заполнить столбцы результатами выполнения логических операций в обозначенной последовательности с учетом таблиц истинности основных логических операций.
Пример: Составить таблицу истинности логического выражения:
D = А & (B C) .
Решение:
1. Определить количество строк:
на входе три простых высказывания: А, В, С поэтому n=3 и количество строк = 2 3 +1 = 9.
2. Определить количество столбцов:
o простые выражения (переменные): А, В, С ;
o промежуточные результаты (логические операции):
o А - инверсия (обозначим через E );
o B C - операция дизъюнкции (обозначим через F );
o а также искомое окончательное значение арифметического выражения:
o D = А & (B C) . т.е. D = E & F - это операция конъюнкции.
3. Заполнить столбцы с учетом таблиц истинности логических операций.
Составить логическую функцию для заданной таблицы истинности.
Правила построения логической функции по ее таблице истинности:
1. Выделить в таблице истинности те строки, в которых значение функции равно 1 .
2. Выписать искомую формулу в виде дизъюнкции нескольких логических элементов. Число этих элементов равно числу выделенных строк.
3. Каждый логический элемент в этой дизъюнкции записать в виде конъюнкции аргументов функции.
4. Если значение какого-либо аргумента функции в соответствующей строке таблице равно 0 , то этот аргумент взять с отрицанием.
Решение.
1. В первой и третьей строках таблицы истинности значение функции равно 1 .
2. Так как строки две, получаем дизъюнкцию двух элементов: () V () .
3. Каждый логический элемент в этой дизъюнкции запишим в виде конъюнкции аргументов функции X и Y : (X & Y) V (X & Y) .
4. Берем аргумент с отрицанием если его значение в соответствующей строке таблицы равно 0 и получаем искомую функцию:
5. Z (X, Y) =(X & Y) V (X & Y) .
Пример 4. Определить участника преступления, исходя из двух посылок:
1) "Если Иванов не участвовал или Петров участвовал, то Сидоров участвовал";
2) 2) "Если Иванов не участвовал, то Сидоров не участвовал".
Решение
Составим выражения:
I - "Иванов участвовал в преступлении";
P - "Петров участвовал в преступлении";
S - "Сидоров участвовал в преступлении".
Запишем посылки в виде формул:
Проверим результат, используя таблицу истинности:
Ответ: Иванов участвовал в преступлении.
Количество входных переменных в заданном выражении равно трем (A,B,C) . Значит, количество входных наборов Q=2 3 =8 .
Столбцы таблицы истинности соответствуют значениям исходных выражений A,B,C , промежуточных результатов и (B V C ), а также искомого окончательного значения сложного арифметического выражения :
| A | B | C | B V C | ||
Страница 1
Урок информатики по теме "Основы логики, таблицы истинности"
Тема: Как построить таблицу истинности?
Продолжительность урока: 40 минТип урока: комбинированный:
проверка знаний – устная работа;
новый материал – лекция;
закрепление – практические упражнения;
проверка знаний – задания для самостоятельной работы.
Обучающие:
Научить составлять логические выражения из высказываний
Ввести понятие “таблица истинности”
Изучить последовательность действий построения таблиц истинности
Научить находить значение логических выражений посредством построения таблиц истинности
Развивающие:
Развивать логическое мышление
Развивать внимание
Развивать память
Развивать речь учащихся
Воспитательные:
Воспитывать умение слушать учителя и одноклассников
Воспитывать аккуратность ведения тетради
Воспитывать дисциплинированность
Организационный момент (2 мин).
Повторение материала предыдущего урока +проверка домашнего задания (устный опрос) (5 мин).
Объяснение нового материала (10 мин).
Физкультминутка (1 мин).
Закрепление
разбор примера (5 мин);
практические упражнения (10 мин);
задания для самостоятельной работы (5 мин).
белая доска;
раздаточный справочный материал “Таблицы истинности”;
демонстрация презентации “Таблицы истинности”.
1. Организационный момент
Приветствие.
Проверка отсутствующих в классе.
Объявление оценок за прошлый урок.
3 учащихся работают по карточкам:
Соедините правильные определения или обозначения:
|
1. Логика |
1. |
|
2. Высказывание |
2. Логическое сложение |
|
3. Алгебра логики |
3. Наука о формах и способах мышления |
|
4. Логическая переменная |
4. Логическое отрицание |
|
5. Дизъюнкция |
5. ИСТИНА и ЛОЖЬ |
|
6. Инверсия |
6.  |
|
7. Конъюнкция |
7.  |
|
8. Импликация |
8. Наука об операциях над высказываниями |
|
9. Эквивалентность |
9. Повествовательное предложения, в котором что-либо утверждается или отрицается, которое может быть истинным или ложным |
Остальные устно.
1)Примеры записаны на доске:
Для логических выражений сформулируйте составные высказывания на обычном языке:
Б) (X=Y) и (X=Z). (Ответ: числа X , Y и Z равны между собой)
2) Приведите примеры составных высказываний из школьных предметов и запишите их с помощью логических операций: литература, биология, география, история.
Какие логические связки вы использовали? (Инверсия, дизъюнкция и конъюнкция)
Мы увидели, что логика достаточно крепко связана с нашей повседневной жизнью, а также увидели, что почти любое высказывание можно записать в виде формулы.
Давайте вспомним основные определения и понятия:
3. Объяснение нового материала
Из составного высказывания составьте формулу, заменяя простые высказывания переменными.
Задача: В классе оказалось разбито стекло. Учитель объясняет директору: это сделал Коля или Саша. Но Саша этого не делал, так как в это время сдавал мне зачет. Следовательно, это сделал Коля.
Решение: Формализуем данное сложное высказывание:
К – это сделал Коля; С – это сделал Саша.
Форма высказывания:
На прошлом уроке мы находили значение составного высказывания путем подстановки исходных значений входящих логических переменных. А сегодня мы узнаем, что можно построить таблицу истинности, которая определяет истинность или ложность логического выражения при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний (логических переменных) и, что можно определить значения исходных логических переменных, зная какой нам нужен результат.
Итак, тема сегодняшнего урока: «Как построить таблицу истинности?»
Мы уже несколько уроков подряд используем понятие “таблица истинности”? так что же такое таблица истинности ?
Таблица истинности – это таблица, истинность сложного высказывания при всевозможных значениях входящих переменных.
Еще раз рассмотрим наш пример
и построим таблицу истинности для этого составного высказывания
При построении таблиц истинности есть определенная последовательность действий. Давайте запишем
Необходимо определить количество строк в таблице истинности.
количество строк = 2 n , где n – количество логических переменных
Необходимо определить количество столбцов в таблице истинности.
количество столбцов = количеству логических переменных + количество логических операций.
Необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов (¬, &, V);
Заполнить столбцы входных переменных наборами значений
Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.
|
К |
С |
 |
 |
 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
4. Физкультминутка
Закрепление
разбор примера.
практические упражнения.
задания для самостоятельной работы.
А) 
|
А |
В |
 |
 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
Б) 
|
А |
В |
 |
 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
В) 
|
А |
В |
С |
|
 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Задание для самостоятельной работы «Кто быстрей?»
Заготовленные карточки учащимся, в которой надо провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.
|
А |
В |
С |
|
|||
Ответ:
|
А |
В |
С |
|
|
 |
 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Обобщение урока, домашнее задание (2 мин).
Д/З не задается, так как урок спаренный, дети приходят через урок и продолжаем изучать тему «Основы логики и логические основы компьютера».
страница 1
Учимся составлять логические выражения из высказываний, определяем понятие “таблица истинности”, изучаем последовательность действий построения таблиц истинности, учимся находить значение логических выражений посредством построения таблиц истинности.
Цели урока:
- Обучающие:
- Научить составлять логические выражения из высказываний
- Ввести понятие “таблица истинности”
- Изучить последовательность действий построения таблиц истинности
- Научить находить значение логических выражений посредством построения таблиц истинности
- Ввести понятие равносильности логических выражений
- Научить доказывать равносильность логических выражений, используя таблицы истинности
- Закрепить навыки нахождения значений логических выражений посредством построения таблиц истинности
- Развивающие:
- Развивать логическое мышление
- Развивать внимание
- Развивать память
- Развивать речь учащихся
- Воспитательные:
- Воспитывать умение слушать учителя и одноклассников
- Воспитывать аккуратность ведения тетради
- Воспитывать дисциплинированность
Ход урока
Организационный момент
Здравствуйте, ребята. Мы продолжаем изучать основы логики и тема нашего сегодняшнего урока «Составление логических выражений. Таблицы истинности». Изучив данную тему, вы научитесь, как из высказываний составляются логические формы, и определять их истинность посредством составления таблиц истинности.
Проверка домашнего задания
Записать решение домашних задач на доску
Все остальные откройте тетради, я пройду, проверю, как вы выполнили домашнее задание
Давайте еще раз повторим логические операции
В каком случае в результате операции логического умножения составное высказывание будет истинно?
Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения, истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.
В каком случае в результате операции логического сложения составное высказывание будет ложно?
Составное высказывание, образованное в результате операции логического сложения, ложно тогда, когда ложны все входящие в него простые высказывания.
Как влияет инверсия на высказывание?
Инверсия делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.
Что вы можете сказать об импликации?
Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…».
Обозначается А
-> В
Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации), ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание).
Что вы можете сказать о логической операции эквивалентности?
Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи “... тогда и только тогда, когда…”, “…в том и только в том случае…”
Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.
Объяснение нового материала
Хорошо, повторили пройденный материал, переходим к новой теме.
На прошлом уроке мы находили значение составного высказывания путем подстановки исходных значений входящих логических переменных. А сегодня мы узнаем, что можно построить таблицу истинности, которая определяет истинность или ложность логического выражения при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний (логических переменных) и, что можно определить значения исходных логических переменных, зная какой нам нужен результат.
Еще раз рассмотрим наш пример с прошлого урока
и построим таблицу истинности для этого составного высказывания
При построении таблиц истинности есть определенная последовательность действий. Давайте запишем
- Необходимо определить количество строк в таблице истинности.
- количество строк = 2 n , где n – количество логических переменных
Записали. Строим таблицу истинности
Что мы делаем во-первых?
Определить количество столбцов в таблице
Как мы это делаем?
Считаем количество переменных. В нашем случае логическая функция
содержит 2 переменные
Какие?
А и В
Значит сколько строк будет в таблице?
Количество строк в таблице истинности должно быть равно 4.
А если 3 переменных?
Количество строк = 2³ = 8
Верно. Что делаем дальше?
Определяем количество столбцов = количеству логических переменных плюс количество логических операций.
Сколько будет в нашем случае?
В нашем случае количество переменных равно двум, а количество логических операции - пяти, то есть количество столбцов таблицы истинности равно семи.
Хорошо. Дальше?
Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов, обозначаем столбцы и вносим в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных и заполняем таблицу истинности по столбцам.
Какую операцию будем выполнять первой? Только учитывайте скобки и приоритеты
Можно сначала выполнить логическое отрицание или найти значение сначала в первой скобке, затем инверсию и значение во второй скобке, затем значение между этими скобками
┐Аv┐В |
(AvB)&(┐Av┐B) |
|||||
Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значении логических переменных
Теперь записываем пункт “Равносильные логические выражения”.
Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными.
Для обозначения равносильных логических выражений используется знак “ = “,
Докажем, что логические выражения ┐ А& ┐В и AvB равносильны. Построим сначала таблицу истинности логического выражения
Сколько столбцов будет в таблице? 5
Какую операцию будем выполнять первой? Инверсию А, инверсию В
┐А&┐В |
||||
Теперь построим таблицу истинности логического выражения AvB
Сколько строк будет в таблице? 4
Сколько столбцов будет в таблице? 4
Мы все понимаем, что, если нужно найти отрицание для всего выражения, то приоритет, в нашем случае, принадлежит дизъюнкции. Поэтому сначала выполняем дизъюнкцию, а затем инверсию. К тому же мы можем переписать наше логическое выражение AvB. Т.к. нам нужно найти отрицание всего выражения, а не отдельных переменных, то инверсию можно вынести за скобки ┐(AvB), а мы знаем, что сначала находим значение в скобках
┐(AvB) |
|||
Построили таблицы. Теперь давайте, сравним значения в последних столбцах таблиц истинности, т.к. именно последние столбцы являются результирующими. Они совпадают, следовательно, логические выражения равносильны и мы можем поставить между ними знак “=”
Решение задач
1.
Сколько переменных содержит данная формула? 3
Сколько строк и столбцов будет в таблице? 8 и 8
Какова будет в нашем примере последовательность операций? (инверсия, операции в скобках, операцию за скобкой)
Bv┐B (1) |
(1) =>┐C |
Av(Bv┐B=>┐C) |
|||||
2. Докажите с помощью таблиц истинности равносильность следующих логических выражений:
(А → B) И (Av┐B)
Какой делаем вывод? Данные логические выражения не равносильны
Домашнее задание
Доказать, используя таблицы истинности, что логические выражения
┐A v ┐B и А&В равносильны
Объяснение нового материала (продолжение)
Мы уже несколько уроков подряд используем понятие “таблица истинности”, а что же такое таблица истинности
, как вы думаете?
Таблица истинности – это таблица, устанавливающая соответствие между возможными наборами значений логических переменных и значениями функций.
Как вы справились с домашним заданием, какой у вас получился вывод?
Выражения равносильны
Помните, на предыдущем уроке мы из составного высказывания составляли формулу, заменяя простые высказывания 2*2=4 и 2*2=5 переменными А и В
Теперь давайте учиться составлять логические выражения из высказываний
Запишите задание
Записать в виде логической формулы высказывания:
1) Если Иванов здоров и богат, то он здоров
Анализируем высказывание. Выявляем простые высказывания
А – Иванов здоров
В – Иванов богат
Хорошо, тогда как будет выглядеть формула? Только не забудьте, чтобы не терялся смысл высказывания, расставить скобки в формуле
2) Число является простым, если оно делится только на 1 и само на себя
А - число делится только на 1
В - число делится только на себя
С - число является простым
3) Если число делится на 4, оно делится на 2
А - делится на 4
В - делится на 2
4) Произвольно взятое число либо делится на 2,либо делится на 3
А - делится на 2
В - делится на 3
5) Спортсмен подлежит дисквалификации, если он некорректно ведет себя по отношению к сопернику или судье, и если он принимал «допинг».
А - спортсмен подлежит дисквалификации
В - некорректно ведет себя по отношению к сопернику
С - некорректно ведет себя по отношению к судье
D - принимал «допинг».
Решение задач
1. Построить таблицу истинности для формулы
((p&q)→ (p→ r)) v p
Объясняем сколько строк и столбцов будет в таблице? (8 и 7) Какова будет последовательность операций и почему?
(p&q)→ (p→ r) |
((p&q)→ (p→ r)) v p |
|||||
Посмотрели на последний столбец и сделали вывод, что при любом наборе входных параметров формула принимает истинное значение, такая формула называется тавтологией. Запишем определение:
Формула называется законом логики, или тавтологией, если она принимает тождественно значение “истина” при любом наборе значений переменных, входящих в эту формулу.
А если все значения будут ложны, как вы думаете, что можно сказать о такой формуле?
Можно сказать, что формула невыполнима
2. Записать в виде логической формулы высказывания:
Администрация морского порта издала следующее распоряжение:
- Если капитан корабля получает специальное указание, то он должен покинуть порт на своем корабле
- Если капитан не получает специального указания, то он не должен покидать порт, или он впредь лишается допуска в этот порт
- Капитан или лишается допуска в этот порт, или не получает специального указания
Выявляем простые высказывания, составляем формулы
- А - капитан получает специальное указание
- В - покидает порт
- С - лишается допуска в порт
- ┐А→(┐В v С)
- С v ┐А
3. Записать составное высказывание “(2*2=4 и 3*3 = 9) или (2*2≠4 и 3*3≠9)” в форме логического выражения. Построить таблицу истинности.
А={2*2=4} B={3*3 = 9}
(А&В) v (┐А&┐В)
┐А&┐В |
(А&В) v (┐А&┐В) |
|||||
Домашнее задание
Выбрать составное высказывание, имеющее ту же таблицу истинности, что и не (не А и не (В и С)).
- АиВ или СиА;
- (А или В) и (А или С);
- А и (В или С);
- А или (не В или не С).
