Za proračun informacija, kao početni kriterijum, koristićemo dozvoljenu srednju kvadratnu grešku sistema koja se utvrđuje kroz grešku pojedinih čvorova. U našem slučaju to se određuje sljedećom formulom:
gdje je efektivna greška ADC nastala zbog šuma kvantizacije (greška ADC kvantizacije);
Greška pri oporavku signala.
Radi pojednostavljenja proračuna, sve naznačene greške se preliminarno pretpostavljaju jednakim. Dakle, iz formule (1) slijedi da
U skladu sa zadatkom, greška konverzije
1%, dakle
Proračun ADC kapaciteta
ADC pretvaraju analogne signale u digitalni oblik i terminalni su uređaji u interfejsu za unos informacija u računar. Glavne karakteristike ADC-a su: rezolucija, tačnost i brzina. Rezolucija je određena dubinom bita i maksimalnim opsegom analognog ulaznog napona.
Relativna srednja kvadratna greška uvedena kvantizacijom ADC-a izračunava se po formuli
gdje je srednja kvadratna vrijednost šuma kvantizacije.
Korak ADC kvantizacije, određen opsegom signala U s. i broj ADC bitova n.
Dakle, greška kvantizacije ADC-a je
Iz ovog izraza možete odrediti minimalnu potrebnu dubinu bita ADC-a:
Na osnovu,
Stoga je minimalni kapacitet ADC bita za rješavanje ovog problema 6 bita. Ali budući da ADC u modulu ADAM-6024 ima 16 bita, njegova stvarna greška konverzije bit će jednaka
Izračunavanje najveće moguće greške oporavka
Budući da dodjela pokazuje da je maksimalna greška konverzije 1%, onda da bi se zadovoljio ovaj uvjet, greška oporavka mora biti manja ili jednaka
Rekonstrukcija kontinuiranog signala U (t) metodom interpolacije
Metoda interpolacijskog oporavka danas je vrlo rasprostranjena. Ova metoda je najprikladnija za obradu signala korištenjem kompjuterske tehnologije. Ova metoda oporavka zasniva se na upotrebi Lagrangeovog interpolacionog polinoma. Zbog jednostavnosti implementacije uređaja za interpolaciju, obično se koristi polinom ne višeg od drugog reda, uglavnom koristeći interpolaciju nultog i prvog reda (stepenasto i linearno). Rekonstrukcija signala korištenjem koraka (a) i linearne (b) interpolacije objašnjena je na slici 13.
Slika 13. Rekonstrukcija signala korištenjem koraka (a) i linearne (b) interpolacije
Sa stepenastom interpolacijom, trenutne vrijednosti U (kT) diskretnog signala U (t) se održavaju konstantnim tokom cijelog intervala uzorkovanja T (slika 13, a).
Linearna interpolacija se sastoji u povezivanju trenutnih vrijednosti U (kT) pravim segmentima, kao što je prikazano na slici 13, b.
Interpolacijski metod rekonstrukcije ima grešku, koja se u praksi često izražava kroz maksimalnu relativnu vrijednost
gdje je signal rekonstruisan metodom interpolacije (sa stepenastom interpolacijom, sa linearnom interpolacijom); - opseg varijacije diskretnog signala U (t).
Period uzorkovanja se bira uzimajući u obzir dozvoljenu grešku iz formule.
Za interpolator koraka
Sa linearnom interpolacijom
sa paraboličnom interpolacijom
Definirajmo period uzorkovanja za jedan kanal prema Kotelnikovu:
Prema zadatku diplomskog projekta, frekvencija procesa mora biti manja od 0,1 Hz. ADAM-6024 analogni I/O modul ima fmax = 10 Hz (po kanalu). Pošto sistem u razvoju koristi 4 analogna ulazna kanala, granična brzina uzorkovanja za svaki od kanala biće fmax = 2,5 Hz. Tada će potrebna stopa uzorkovanja za koraknu interpolaciju biti:
Shodno tome, stepenasta interpolacija nije prikladna da ispuni zahtjeve za sistem koji se razvija, jer je stopa uzorkovanja za koraknu interpolaciju znatno viša od 2,5 Hz.
Brzina uzorkovanja za linearnu interpolaciju je
Brzina uzorkovanja za paraboličku interpolaciju je
Možda ćete primijetiti da je brzina uzorkovanja za linearnu i paraboličku interpolaciju manja od ograničenja brzine uzorkovanja jedinice po kanalu. Ali interpolacija drugog i višeg reda se praktički ne koristi, jer njena implementacija postaje složenija, pa ćemo za vraćanje signala koristiti linearnu interpolaciju.
Rekonstrukcija signala se svodi na procjenu određenog broja nepoznatih parametara korisnog signala. Ograničavamo se na razmatranje slučaja procjene jednog od parametara signala, na primjer, amplitude V, za dati oblik signala. U ovom slučaju, pretpostavlja se da je šum aditiv tipa bijelog Gausovog šuma. Korisni signal predstavljamo u obliku
gdje f (t)- poznata funkcija vremena; V- parametar signala.
Zadatak je koristiti prihvaćeni uzorak Y odrediti koja je vrijednost parametra V u korisnom signalu X.
Za razliku od slučajeva detekcije i razlikovanja signala, ovdje postoji beskonačan skup mogućih vrijednosti parametra V i, shodno tome, beskonačan broj hipoteza. Metode koje se razmatraju u slučaju dvoalternativnih i višealternativnih situacija primjenjive su i na problem obnavljanja signala.
Procijenimo parametar V metoda maksimalne vjerovatnoće. Ako se primljeni signal broji u diskretnim vremenima, onda je funkcija vjerovatnoće za parametar V biće jednaki
(2.38)
Zadatak je pronaći takvu vrijednost parametra V za koje je funkcija vjerovatnoće maksimalna. Maksimum funkcije vjerovatnoće odgovara minimalnoj vrijednosti eksponenta u izrazu (2.38)
Od minimalnog uslova
odakle dobijamo procenjenu vrednost parametra
(2.39)
Prelazeći na kontinuirani primjer, dobijamo
(2.40)
Na sl. 2.3 prikazuje dijagram rješavača koji izvodi operaciju procjene parametra signala. Uređaj sadrži generator signala f (t), množitelj MV-a, koji vrši množenje y (t) on f (t) i integrator koji integriše proizvod y (t) f (t).
Za procjenu tačnosti rekonstrukcije signala koristimo kriterij standardne devijacije. U tu svrhu, u (2.40), primljeni signal se izražava kao zbir y (t) = Bf (t) + (t)... Zatim 2.40
Slika 2.3 Nepoznati estimator parametara
Greška pri oporavku
Disperzija greške
Srednja vrijednost proizvoda predstavlja funkciju korelacije interferencije
gdje Idi- spektralna gustina interferencije; - delta funkcija;
Stoga je srednja kvadratna vrijednost greške oporavka
Problem rekonstrukcije signala se također može riješiti metodom optimalnog filtriranja. Općenito, formulacija je sljedeća. Neka je oscilacija primljena u određenom vremenskom intervalu funkcija signala i šuma:
(2.42)
Signal može ovisiti ne o jednom, već o nekoliko parametara, a ili sam signal ili njegov parametar su slučajni procesi. Tip funkcije, tj. metoda za kombinovanje signala i šuma, a neke od njihovih statističkih karakteristika se pretpostavljaju da su poznate a priori. Polazeći od njih, potrebno je odrediti strukturu uređaja (slika 1), koja na optimalan način odlučuje koja realizacija samog signala ili njegovog parametra je sadržana u primljenoj oscilaciji.
Rice. 2.4 Uređaj za rješavanje
Zbog prisustva šuma i slučajne prirode signala, procjena realizacija signala ili njegovog parametra neće se podudarati sa pravom realizacijom, tj. doći će do grešaka u filtriranju. Za kvantitativnu ocjenu kvaliteta filtriranja često se koriste kriteriji za minimalnu korijensku srednju kvadratnu grešku, kriterij za maksimalni odnos signal-šum i kriterij za maksimalnu aposteriornu vjerovatnoću. Razmotrimo problem linearnog filtriranja; također ćemo pretpostaviti da signal i šum međusobno djeluju aditivno, tj.
Zaustavimo se na početku na kriteriju za minimum srednje kvadratne greške. Smatramo da je to signal 
i šum su stacionarni normalni, nasumični procesi sa poznatim korelacionim funkcijama
Potrebno je odrediti sistem koji od primljene smjese
Izvlači koristan signal s minimalnom srednjom kvadratnom greškom. One. traženi optimalni sistem mora minimizirati vrijednost
(2.43)
Potrebno je odrediti strukturu filtera (slika 2.4)
Prilikom evaluacije izlaza sistema, on mora predvidjeti (predvidjeti) vrijednost ulaznog signala naprijed, kada se zadatak svede na odvajanje (uglađivanje) signala od oscilacije.
Rigorozno rješenje ovog problema dobili su A. N. Kolmogorov i N. Wiener.
Pokazali su da optimalni uređaj pripada klasi linearnih filtera sa konstantnim parametrima. Hajde da ilustrujemo njihove rezultate. Pretpostavimo da je na ulazu fizički ostvarivog linearnog sistema (slika 2.4) sa impulsnim odzivom
(2.44)
Na djelu je stacionarni slučajni proces. U ovom slučaju, stacionarni slučajni proces na svom izlazu će biti određen relacijom
(2.45)
Zamjenom (2.45) u (2.43) dobijamo sljedeći izraz za rms grešku filtriranja:
Što se nakon jednostavnih transformacija svodi na oblik:
Ovdje je međusobna korelacija procesa i
a - autokorelaciona funkcija slučajnog procesa
Da biste odredili impulsni odziv optimalnog filtera koji minimizira srednju kvadratnu grešku, koristite sljedeću tehniku računa varijacija. neka bude:
gdje je parametar neovisan o, i proizvoljna funkcija. U ovom slučaju, uslov za minimum srednje kvadratne greške ima oblik
Nakon zamjene (8) u (5), uvjet (9) poprima oblik:
Posljednja relacija mora biti zadovoljena za proizvoljnu funkciju, iz toga slijedi da impulsni odziv mora zadovoljiti Fredholmovu integralnu jednadžbu prve vrste
(10)
Ova jednadžba je osnovna jednadžba teorije linearne filtracije i naziva se Wiener-Hopfova jednačina.
Dakle, problem pronalaženja optimalnog izglađujućeg ili prediktivnog fizički ostvarivog filtera svodi se na rješavanje integralne jednadžbe (10). Ovo rješenje ima definiciju složenosti, uglavnom zbog zahtjeva fizičke realizacije optimalnog filtera. U posebnom, ali sa praktične tačke gledišta važnom, slučaju frakciono-racionalne spektralne gustine ulaznog procesa, iz (10) se može dobiti sledeći izraz za funkciju prenosa:
(12)
U ovom slučaju, minimalna srednja kvadratna greška filtriranja je
(13)
gdje, 
(14)
Za poseban slučaj izglađivanja aditivne mješavine međusobno neovisnog stacionarnog slučajnog procesa i bijelog šuma s korelacijskom funkcijom
Formula (11) je pojednostavljena:
Gdje + indeks znači da ako se izraz u uglastim zagradama razloži na jednostavne razlomke, onda u dekompoziciji treba ostaviti samo one od njih koji odgovaraju polovima koji se nalaze u gornjoj poluravni. Sve funkcije jednostavnih razlomaka 
koji odgovaraju polovima u donjoj poluravni, kao i cijeli dio, moraju se odbaciti. Minimalna srednja kvadratna greška za slučaj koji se razmatra može se izračunati po formuli
Svejedno, praktična izračunavanja pomoću gornjih formula pokazuju se glomaznom. Značajno pojednostavljenje se postiže ako optimalnom filteru (3) ne nametnemo zahtjeve fizičke realizacije, tj. pretpostaviti da je u (4) iu sljedećim formulama donja granica jednaka. U ovom slučaju umjesto jednačine (10) dobijamo integralnu jednačinu:
(15)
čije rješenje dovodi do sljedećeg izraza za prijenosnu funkciju fizički neostvarivog filtera:
(16)
Minimalna srednja kvadratna greška u ovom slučaju se izračunava po formuli (13). Za konkretan slučaj statistički nezavisnog signala i šuma koji imaju nulte srednje vrijednosti, formula (16) se svodi na oblik:
Iako posljednje relacije odgovaraju fizički neostvarljivim optimalnim filterima, one su korisne, budući da bilo koji fizički ostvarivi filter ne može dati manju srednju kvadratnu grešku od filtara definiranih izrazom (16). To je zbog činjenice da nametanje uvjeta fizičke realizacije (3) na filter sužava mogućnosti izbora optimalne karakteristike filtera i iz tog razloga samo dovodi do pogoršanja konačnog rezultata.
U zaključku, napominjemo da će izraz za srednju kvadratnu grešku reprodukcije imati oblik
Iz čega slijedi da je idealna filtracija moguća samo ako 
, tj. kada se spektri signala i interferencije ne preklapaju.
Ako se funkcija x (t), koja zadovoljava Dirichletove uvjete i ima spektar sa graničnom frekvencijom, uzorkuje ciklično, s periodom, tada se može rekonstruirati iz ovog skupa svojih trenutnih vrijednosti bez greške. (sek) (Hz).
Predstavljanje signala pomoću uzoraka. Teorema V. A. Kotelnikova
Kao što smo već rekli, prilikom digitalizacije signala uzimaju se uzorci, a uzorkovanje i kvantizacija se koriste za dobivanje vrijednosti signala. U nekim slučajevima, vremena uzorkovanja su nasumično postavljena na vremenskoj osi, a informacije o talasnom obliku se gube. Iz slučajnih uzoraka možemo odrediti samo gustinu distribucije vjerovatnoće. Dakle, nasumični uzorci nam daju statističke informacije o veličini ulaznog signala. To znači da na ovaj način možemo mjeriti efektivne i vršne vrijednosti ulaznog signala, odrediti raspon vrijednosti koje prima, ali ne možemo odrediti oblik signala i njegov spektar.
U mnogim slučajevima, signal se uzorkuje u jednako udaljenim vremenskim točkama. Tada je važno odlučiti koliko uzoraka treba uzeti u jedinici vremena da bi se mogao adekvatno opisati signal koji je kontinuiran u vremenu. Odgovor na ovo pitanje daje teorema V. A. Kotelnikova. U stranoj tehničkoj literaturi možete naići na drugi naziv za ovu teoremu, koji se tumači kao Šenonova teorema uzorkovanja.
Ova teorema kaže da da bi se povratio originalni signal bez grešaka iz njegovih uzorkovanih vrijednosti uzetih u pravilnim intervalima, brzina uzorkovanja mora biti više od dvostruke frekvencije komponente najviše frekvencije prisutne u kontinuiranom ulaznom signalu. Strogo govoreći, tekst teoreme V. A. Kotelnikova glasi kako slijedi:
Dirichletov uvjet znači da je funkcija ograničena, kontinuirana po komadima i da ima ograničen broj ekstrema.
Karakteristika signala uzorkovanog u skladu sa Kotelnikovom teoremom je da se može rekonstruisati korišćenjem niskopropusnog filtera. Stoga, ako je signal x (t) uzorkovan korakom diskretan. primeniti na ulaz idealnog filtera sa gornjom granicom prenosa, tada se na izlazu dobija kontinuirani signal x (t) rekonstruisan bez grešaka (slika)
riža.. Krug za uzorkovanje i oporavak signala
Razmotrite prijenos nekoliko signala preko jedne komunikacijske linije, za to ih je potrebno diskretizirati. Ova operacija se realizuje pomoću prekidača, zatim se informacija prenosi preko komunikacione linije i onda, znajući frekvenciju prekidača, možemo je vratiti na drugom kraju komunikacione linije (Sl.). Brzina uzorkovanja prekidača mora biti n, gdje je n broj mjernih pretvarača.
Kotelnikova teorema omogućava pretvaranje analognog signala u digitalni, što je neophodno za njegovu dalju obradu pomoću kompjuterske tehnologije. Izbor koraka uzorkovanja prema Kotelnikovu garantuje sigurnost u diskretnom predstavljanju signala, sve informacije o njegovom spektralnom sastavu. ADC se koristi za pretvaranje analognog signala u digitalni. Brzina uzorkovanja ADC-a u skladu sa Kotelnikovom teoremom, gdje je gornja granična frekvencija signala.
Rice. Prenos informacija preko jedne komunikacione linije
U obrnutoj digitalno-analognoj konverziji, DAC čip djeluje kao niskopropusni filter. Broj bitova ADC i DAC konverzije određuje tačnost prijenosa amplitude signala, budući da odrediti nivoe uzorkovanja amplitude signala. Dakle, kompjuter prima informacije o signalu u obliku tačaka.
Rice. Uzorkovanje signala nakon ADC-a
Tipično, ADC mikro krugovi se proizvode u istom paketu sa uključenim prekidačima n kanala. Istovremeno, učestalost glasanja je regulisana pasošem, koji se može koristiti i za glasanje n kanala, a za prozivanje 1 kanal. Informacije se unose u računar preko serijskog porta, na primjer, u standardu RS-232.
S tim u vezi, projektant u svakom konkretnom slučaju donosi odluku o korištenju potrebnog mikrokola sa potrebnim brojem kanala, potrebnom brzinom uzorkovanja i brojem bitova ADC konverzije.
Treba napomenuti da nije uvijek prikladno dopuniti mjerni krug niskopropusnim filterom, štoviše, prisutnost takvog filtera dovodi do faznih izobličenja signala. Od ovih nedostataka, oporavak signala korištenjem najjednostavnije metode interpolacije je besplatan.
Ovom metodom dobijene tačke se jednostavno povezuju jedna s drugom pravim segmentima. Očigledno je da se u ovom slučaju glatki presjeci blizu ravnih linija obnavljaju s malim greškama, a maksimalna greška restauracije postiže se u presjecima s maksimalnom zakrivljenošću (Sl.).
 |
Poznato je da svaka kriva x (t) u nekoj oblasti se mogu proširiti ovlasti t, to jest, opisati ga polinomom. U najjednostavnijem slučaju, koristeći samo prve članove ekspanzije, dio krivulje između uzoraka može se predstaviti kao parabola, tada će greška linearne interpolacije biti razlika između ove parabole i njene tetive koja povezuje susjedne uzorke. Kao što znate, parabola ima najveće odstupanje od tetive u sredini interpolacionog intervala t 0 sa apsolutnom vrijednošću ( D m na sl.)
gdje je vrijednost druge derivacije procesa x (t) odnosno procjena njegove zakrivljenosti. Dakle, maksimalna vrijednost greške rekonstrukcije se uočava u dijelovima krive s najvećom zakrivljenošću (u području maksimuma i minimuma procesa prikazanog na slici).
Ako nas ne zanima apsolutna greška D m, i njegova smanjena vrijednost, gdje x k- granica mjerenja, tada možete odrediti maksimalno dozvoljeni period uzorkovanja t c pri kojoj greška oporavka neće premašiti g m:
Budući da se svaka složena kriva može razložiti na više harmonijskih komponenti, određujemo potreban period uzorkovanja za sinusni proces. At x (t) = x k sinwt trenutnu procjenu zakrivljenosti 
, i njegovu maksimalnu vrijednost. Otuda je potreban period uzorkovanja za sinusni proces
(3)
Relacija (3) se jasnije uočava ako se koristi za izračunavanje broja bodova NS, za svaki period T sinusoidni proces:
(4)
Ovaj omjer daje:
| g m | 0,1 | |||
| n |
Dakle, da bi se obnovio sinusoidni proces sa maksimalnom greškom od 1% uz jednoobrazno uzorkovanje, potrebno je imati 22 uzorka za period procesa, ali za predstavljanje sa greškom od 0,1%, potrebno je najmanje 70 uzoraka za svaki period, i za g m= 20%, pet očitavanja je dovoljno za period.
Na osnovu relacije (4) moguće je izračunati minimalni period ili maksimalnu frekvenciju procesa koji se može zabilježiti sa datom maksimalnom greškom g m... Podaci o maksimalnim greškama pri korištenju pojedinih tehnika i alata dati su u tabeli. i ukazuju da se bez upotrebe posebnih sredstava mogu snimiti samo vrlo spori procesi (sa periodom od 0,2-2 s).
Izražavanjem g m iz izraza (3) ili (4) dobijamo
(5)
tj. greška dinamičkog oporavka g m povećava se za kvadrat frekvencije obnovljenog procesa.
U praksi je najčešće potrebno mjeriti suštinski nesinusoidne procese koji sadrže harmonijske komponente ili visokofrekventne komponente šuma, smetnji ili smetnji. U ovim slučajevima, dinamička greška u oporavku procesa od diskretnih očitavanja naglo se povećava, što istraživač uvijek mora zapamtiti.
Razmotrimo ovo svojstvo greške rekonstrukcije koristeći poseban primjer. Dakle, u tabeli. naznačeno je da kada se koristi ADC sa periodom uzorkovanja t c= 30 μs istraženi proces sa frekvencijom f 1= 500 Hz se oporavlja od g m 1„0,1%. Zaista, brojim g m 1 po formuli (5), dobijamo
što se često može smatrati dovoljno visokom preciznošću oporavka. Međutim, ako kriva ovog procesa sadrži dodatni 10. harmonik sa frekvencijom f 10= 5000 Hz i amplitudom od 0,1 osnovnog vala, oporaviti će se s relativnom greškom g m 10, 100 puta više od g m 1, odnosno jednako 10%. Istina, budući da je amplituda ovog harmonika 10 puta manja od amplitude osnovnog vala, smanjena vrijednost ove greške bit će samo g m 10= 1% Ipak, rezultirajuća greška u obnavljanju cijelog procesa bit će 10 puta (!) Veća od greške u obnavljanju g m 1= 0,1% procesa koji ne sadrži ovu visokofrekventnu komponentu.
Greška rekonstrukcije za osnovni val i njegove harmonike je sistematična (uvijek je negativna, vidi sliku i dovodi do smanjenja rekonstruirane amplitude krivulje), međutim, ako je visokofrekventna komponenta uzrokovana šumom ili drugim smetnjama i nije sinhrona s osnovnim valom, onda se greška rekonstrukcije ispostavi da je nasumična i promatra se kao nasumično raspršivanje očitanja.
Uz ručnu registraciju zapažanja, takav raspršivanje podataka eksperimentator će odmah primijetiti i donijeti odgovarajuću odluku o toku eksperimenta. Razmatrana pojava je posebno opasna kada se podaci automatski unose u kompjuter i naglašava izuzetnu važnost metrološke analize dinamičkih grešaka u ovom slučaju.
Međutim, zbog sve veće brzine računara, ovaj način uzorkovanja i oporavka postaje vrlo atraktivan.
5.5 Filtriranje signala
Operacija odvajanja određenog frekventnog opsega od spektra signala naziva se filtriranje. Filteri se dijele na niskopropusne filtere (a), visokopropusne filtere (b) i propusne filtere (c).
Rice. Vrste filtera.
Niskopropusni filteri (a), visokopropusni filteri (b), propusni filteri (c)
Najjednostavniji analogni filteri sastoje se od RC lanaca; da bi se povećao nagib, filteri su napravljeni u više stupnjeva.
Digitalno filtriranje znači da signal x (t) prolazi kroz matematički filter u kojem se ostvaruje tražena karakteristika.
5.6 Modulacija i detekcija
Merenje uticaja signala x (t) na bilo koji stacionarni signal naziva se modulacija.
Kao stacionarni signal, nazvan nosilac, odabire se sinusoidna oscilacija
i niz pulsa
Odvajanje komponente proporcionalne mjerenom signalu od moduliranog signala naziva se detekcija.
Sinusni val (6) je određen amplitudom, frekvencijom i fazom. Sve ove vrijednosti se mogu modulirati. Rezultat je amplitudna modulacija AM, frekvencijska modulacija FM i fazna modulacija PM.
Rice. Vrste modulacija
Modulacija se može okarakterisati kao množenje modulirane veličine y (t) faktorom 1 + mx (t), gdje x (t) je modulirajuća funkcija takva da, i m je dubina modulacije, i 0
Sa amplitudnom modulacijom
Ako 
, izraz se konvertuje
Otuda slijedi da se modulirana vibracija sastoji od tri vibracije sa frekvencijama, i.
Frekvencija se zove nosilac, a frekvencija se naziva bočne frekvencije. Ako je modulirajući signal periodična funkcija.
tada će modulirani signal y (t) biti
Može se vidjeti da se modulirani valni oblik sastoji od noseće frekvencije i dvije grupe koje se nazivaju bočni pojasevi.
Za detekciju, obrnute manipulacije se izvode proširenjem funkcije u nizu.
Kod frekvencijske modulacije, frekvencija moduliranog signala se mijenja u skladu sa zakonom
ili, ako, onda
Zamjenom (7) u (6) i uzimajući u obzir da je trenutna faza integral frekvencije u izrazu (6), dobijamo
U ovom izrazu je faktor modulacije frekvencije, koji zavisi od amplitude modulirajućeg signala.
Ovaj izraz predstavljamo u obliku
Pri velikim vrijednostima koeficijenta m g ovaj izraz je vrlo složen i može se izraziti u obliku niza u Beselovim funkcijama. Radi jednostavnosti pretpostavljamo da je mg<<1, тогда
U tom smislu izraz (8) poprima oblik
Dakle, na mg<<1 спектр частотно-модулированного сигнала не отличается от спектра АМС. Если условие mг<<1 не выполняется, т.е. имеет место глубокая частотная модуляция, то спектр модулированного сигнала будет содержать не две боковые частоты, а множество частот. Поэтому спектр ЧМ сигнала в общем случае больше спектра АМ сигнала.
Detekcija se vrši na isti način kao i AM signal.
Kod fazne modulacije, modulirajući signal utiče na noseće talase
Ako je modulirajući signal, onda
gdje je koeficijent fazne modulacije, koji zavisi od amplitude modulirajućeg signala.
U signalu (10) informativni parametar je faza 
, transformiramo signal (10)
Upoređujući posljednji izraz i izraz (9), možemo zaključiti da se FM i FM signal poklapaju. Razlika je u tome što FM faktor zavisi od frekvencije modulirajućeg signala, dok PM faktor ne zavisi od frekvencije.
Ova okolnost zahtijeva uvođenje odgovarajuće korekcije signala nakon detekcije.
Detekcija se vrši slično AM i FM signalima, dok je za dobijanje faze potrebno integrisati
Ako se kao modulirani signal koristi periodični niz impulsa, onda se dobija impulsna modulacija (Sl.).
U ovom slučaju imamo pulsno-amplitudnu modulaciju (PFM), pulsno-frekvencijsku modulaciju (PFM), pulsno-faznu modulaciju (PPM) i pulsno-širinsku modulaciju (PWM).
Ako se AM, FM, PM koriste uglavnom za analogne signale, iako se AM koristi za digitalne, onda se pulsna modulacija koristi uglavnom za digitalne signale.
Rice. Impulsni tipovi modulacija
Kotelnikova teorema tačno važi samo za signale sa konačnim (konačnim) spektrom. Na sl. 4.15 prikazuje neke varijante konačnih spektra.
Međutim, spektri stvarnih informacijskih signala su beskonačni (slika 4.16). U ovom slučaju, Kotelnikova teorema vrijedi sa greškom.
Greška uzorkovanja je određena energijom spektralnih komponenti signala, koje se nalaze izvan frekvencije 
(sl. 4.16).
.
Drugi razlog za pojavu grešaka je nesavršenost povratnog niskopropusnog filtera.
Tako? Greška diskretizacije i oporavka kontinuiranog signala određena je sljedećim razlozima:
Spektri stvarnih signala nisu konačni.
Frekvencijski odziv stvarnih LPF-ova je nesavršen.
Slika 4.17. Blok dijagram RC filtera
Na primjer, ako koristite RC filter kao niskopropusni filter (slika 4.17), tada će rekonstruirani signal na njegovom izlazu imati oblik prikazan na slici 4.18.
Impulsni odziv RC filtera je:
.
Zaključak: što je više 
i što su karakteristike niskopropusnog filtera bliže idealnim, to je bliži rekonstruisani signal originalnom.
4.6. Kvantizacija poruka. Greške kvantizacije
Tako se pokazalo da je prijenos gotovo svake poruke 
može se svesti na prenos njihovog brojanja ili brojeva 
slijede jedan drugog s diskretnim intervalom 
... Dakle, kontinuirano ( beskrajno) skup mogućih vrijednosti poruke 
zamijenjen finale broj njegovih diskretnih vrijednosti 
... Međutim, sami ovi brojevi imaju kontinuiranu skalu nivoa (vrijednosti), odnosno opet pripadaju kontinuiranom skupu. Za apsolutno tacno predstavljanje takvih brojeva, na primjer, u decimalnom (ili binarnom) obliku, teoretski je neophodno beskrajno broj cifara. Međutim, u praksi nema potrebe za apsolutno tačnim prikazom vrijednosti 
, kao i bilo koje brojke općenito.
Prvo, sami izvori poruka imaju ograničen dinamički opseg i generišu originalne poruke sa određenim nivoom izobličenja i grešaka. Ovaj nivo može biti viši ili niži, ali se ne može postići apsolutna vjernost.
Drugo, prijenos poruka putem komunikacijskih kanala uvijek se vrši u prisustvu različitih vrsta smetnji. Dakle, primljena (reprodukovana) poruka (ocenjivanje poruke 
) uvijek se u određenoj mjeri razlikuje od prenošenog, odnosno u praksi apsolutno tačan prenos je nemoguć poruke u prisustvu smetnji u komunikacijskom kanalu.
Konačno, poruke se prenose za njihovu percepciju i korištenje od strane primaoca. Primaoci informacija su ljudska čula, izvršni mehanizmi itd. - također imaju konačnu rezoluciju, odnosno ne primjećuju beznačajnu razliku između apsolutno tacno i približno vrijednosti poruke koja se reprodukuje. Prag osjetljivosti na izobličenje također može biti različit, ali uvijek postoji.
Uzimajući u obzir ove napomene, može se nastaviti postupak uzorkovanja poruka, odnosno uzoraka 
kvantizacija.
Proces kvantizacije se sastoji u zamjeni kontinuiranog skupa vrijednosti uzorka
diskretni skup
... Dakle, točne vrijednosti brojeva 
zamjenjuju se njihovim približnim (zaokruženim na najbliži dozvoljeni nivo) vrijednostima. Razmak između susjednih dozvoljenih nivoa 
, ili nivoi kvantizacije, 
pozvao korak kvantizacije.
Razlikovati ujednačenu i neujednačenu kvantizaciju. U većini slučajeva se koristi uniformna kvantizacija i dalje se detaljno razmatra (slika 4.19), u kojoj je korak kvantizacije konstantan:; međutim, ponekad neujednačena kvantizacija daje određenu prednost, u kojoj je korak kvantizacije 
različito za drugačije 
(sl.4.20).
Kvantizacija dovodi do izobličenja poruka. Ako je kvantizirana poruka nastala kvantizacijom uzorka 
, označiti kao 
,
onda
gdje 
- razlika između prave vrijednosti elementarne poruke 
i
kvantizirana poruka (najbliži dozvoljeni nivo) 
pozvao greška kvantizacije, ilišum kvantizacije... Šum kvantizacije ima suštinski isti efekat na proces prenosa informacija kao smetnje u komunikacijskom kanalu. Interferencija, kao i kvantizacija, dovodi do toga da se procjene 
primljene na prijemnoj strani komunikacionog sistema razlikuju se za neku vrijednost od prave vrijednosti 
.
Budući da kvantizacija poruke dovodi do grešaka i gubitka nekih informacija, moguće je odrediti cijenu takvih gubitaka 
i prosječna greška kvantizacije:
Najčešće, kvadratna funkcija oblika
U ovom slučaju, varijansa ovih grešaka je mjera grešaka kvantizacije. Za uniformu 
-kvantizacija nivoa sa korakom 
varijansa grešaka kvantizacije je definirana na sljedeći način:
Apsolutna vrijednost greške kvantizacije ne prelazi polovinu koraka kvantizacije 
,
a zatim za dovoljno veliki broj nivoa kvantizacije 
i male vrijednosti 
gustina vjerovatnoće greške kvantizacije 
može se smatrati uniformnim na intervalu + 
…
-
:
Kao rezultat, veličina greške kvantizacije određena je relacijom
i odgovarajući izbor koraka kvantizacije 
može se učiniti proizvoljno malim ili svedenim na bilo koju unaprijed određenu vrijednost.
Što se tiče zahtevane tačnosti prenosa uzoraka poruka, mogu se uzeti u obzir ista razmatranja kao i za greške vremenskog uzorkovanja: šum kvantizacije ili izobličenja izazvana kvantizacijom nisu značajni ako su ta izobličenja manja od grešaka izazvanih smetnjama i dozvoljenim tehničkim uslovima.
Ako je period uzorkovanja
dovoljno mali tako da je zadovoljen uslov da se susjedne komponente spektra uzorkovane oscilacije ne preklapaju, kao što je prikazano na sl. 2.5, a. U ovom slučaju, lako je naznačiti metodu za vraćanje kontinuirane oscilacije iz diskretne, koja se sastoji u tome da diskretni signal treba proći kroz idealan niskopropusni filtar sa propusnim opsegom (slika 2.5, b) .
Rice. 2.5. Spektar diskretne vibracije u obliku niza moduliranih impulsa; frekvencijski odziv niskopropusnog filtera i spektar rekonstruiranog signala
U ovom slučaju, srednji dio će biti odabran iz spektra uzorkovanog signala (slika 2.5, c), koji se do konstantnog faktora poklapa sa spektrom originalne kontinuirane oscilacije
Međutim, ako je početna kontinuirana oscilacija takva da njen spektar ne nestaje striktno sa povećanjem frekvencije, tada će se za bilo koji izbor intervala uzorkovanja susjedne komponente spektra uzorkovane oscilacije djelomično preklapati (slika 2.6, a). Ako se signal s takvim spektrom prođe kroz idealan niskopropusni filtar, tada će izlaz filtera proizvesti oscilaciju koja se razlikuje od originalnog kontinuiranog signala.
da je spektar ove vibracije superponiran na "repove" iz susjednih spektralnih komponenti (slika 2.6, b).
Najjednostavniji i najočitiji način za smanjenje greške uzorkovanja je povećanje stope uzorkovanja. Međutim, da bi se dobila dovoljno mala greška, brzina uzorkovanja se mora uzeti vrlo visoko, posebno ako se spektar signala sporo smanjuje, što je u nekim slučajevima nepoželjno.
Rice. 2.6. Greške uzorkovanja signala sa spektrom koji asimptotski opada: a - spektar uzorkovanog signala; b - spektar signala nakon prolaska kroz idealni niskopropusni filter; c - spektar signala greške
Da biste smanjili grešku uzorkovanja, možete prije uzorkovanja proći signal kroz niskopropusni filtar s frekvencijskim odzivom blizu pravokutnog. U ovom slučaju, spektar signala postaje brzo opadajući, gotovo ograničen, a dalje uzorkovanje se odvija praktično bez grešaka. Rezultirajuća greška u ovom slučaju određena je izobličenjem spektra kada signal prođe kroz niskopropusni filter. Zbog činjenice da “repovi” od susjednih komponenti nisu superponirani na spektar signala u frekvencijskom domenu, ova greška je otprilike 2 puta manja nego kod direktnog uzorkovanja signala.
Propuštanje signala kroz niskopropusni filter prije uzorkovanja je vrlo korisna mjera za smanjenje greške prilikom uzorkovanja signala sa širokopojasnim šumom na ulazu. Prilikom prolaska kroz niskopropusni filter, varijansa šuma se smanjuje i, shodno tome, smanjuje se greška uzorkovanja.
Rice. 2.7. Greške povratka signala sa neidealnom karakteristikom niskopropusnog filtera: a - spektar uzorkovanog signala; b - karakteristika niskopropusnog filtera; c - spektar signala na izlazu niskopropusnog filtera
Drugi izvor greške je nesavršeno filtriranje u procesu oporavka kontinuiranog signala od diskretnog. Idealan pravougaoni oblik frekventnog odziva niskopropusnog filtera je praktično nemoguće realizovati; za izglađivanje signala obično se koriste filteri koji imaju monotono opadajuću karakteristiku (slika 2.7, b). Ako uzorkovani signal sa spektrom prikazanim na Sl. 2.7, a, tada će se na izlazu filtera, pored glavnog signala, koji odgovara središnjem dijelu spektra, pojaviti dodatne komponente uzrokovane nepotpunim potiskivanjem bočnih dijelova spektra (slika 2.7, c). Kao posljedica toga, rekonstruirani signal će se po obliku razlikovati od originalnog kontinuiranog signala. Glavni metod rješavanja ovih problema
nepreciznost se sastoji u povećanju stope uzorkovanja. Međutim, povećanje brzine uzorkovanja povećava složenost i cijenu uređaja za obradu signala. Stoga se u svakom konkretnom slučaju mora tražiti kompromisno rješenje na osnovu prirode signala, potrebne tačnosti njegove rekonstrukcije, karakteristika korišćenog filtera za izravnavanje i drugih faktora. Sve ovo dovodi do činjenice da je u stvarnim uređajima brzina uzorkovanja odabrana jednaka ne kao što slijedi iz Kotelnikove teoreme, već 2-5 puta veća.
Rice. 2.8. Konačan signal i njegov spektar
