Tabela 10.9 okomitost prave i ravni rješenja. Prava i ravan, znak i uslovi okomitosti prave i ravni

6.1 Određivanje okomitosti prave i ravni

Ideju pravih linija, tačnije, segmenata okomitih na ravninu, daju okomito stojeći stupovi (oni su okomiti na površinu zemlje), rastegnuti kabel na kojem visi lampa (okomita je na strop), noge stola (oni su okomiti na pod). Vertikalni dovratnik vrata je okomit na pod, a donja ivica vrata, uz pod, okomita je na dovratnik u svim pozicijama vrata (Sl. 73, a). Ovo svojstvo određuje okomitost prave i ravni.

Definicija. Prava linija se naziva okomita na ravan ako seče ovu ravan i okomita je na bilo koju pravu liniju u ovoj ravni koja prolazi kroz tačku preseka (slika 73, b).

Rice. 73

Kažu i da je ravan okomita na pravu, ili da su međusobno okomite. Za međusobno okomite prave a i ravan a koriste se oznake a ⊥ α ili α ⊥ a.

Segment ili zraka je okomita na ravan ako leži na pravoj okomitoj na tu ravan. Ako je segment okomit na ravan i njegov kraj leži u ovoj ravni, onda se naziva okomit na datu ravan.

6.2 Okomito i koso

Segment koji ima jednu zajedničku tačku sa ravni - kraj segmenta, ali nije okomit na datu ravan, naziva se nagnutim prema ravni.

Neka su iz jedne tačke A povučena okomita AB i nagnuta AC, koja ne leži u ravni a (slika 74). Segment BC naziva se projekcija kose AC na ravan α.

Rice. 74

Okomita AB je kraća od kose AC, tj. AB< АС. Действительно, в прямоугольном треугольнике ABC катет АВ короче гипотенузы АС. Итак, перпендикуляр короче наклонной, если они проведены из одной и той же точки к одной плоскости.

Ovo se može reći i na ovaj način: okomita AB iz tačke A na ravan α je najkraći segment koji povezuje tačku A sa tačkama ravni α.

Svojstvo okomice da bude najkraći segment je karakteristično svojstvo. To znači da je istinita i obrnuta izjava: ako je AB najkraći segment od tačke A do ravni α, onda je AB okomita na ravan α.

Dokaz. Dokažimo ovo kontradikcijom. Pretpostavimo da AB nije okomito na α. Tada prava linija a prolazi kroz tačku B u ravni α, a ne okomita na AB (slika 75). Otpustimo okomitu AM iz A na pravu a. U pravouglom trouglu AVM krak AM je manji od hipotenuze AB: AM< АВ. Но тогда отрезок АВ не будет кратчайшим из всех отрезков, идущих из точки А до плоскости а. Получили противоречие. Следовательно, АВ ⊥ α.

Rice. 75

Dužina okomice, spuštena od najviše tačke objekta do njegove osnove, meri visinu objekta. Dakle, visina piramide je dužina okomice, spuštene od vrha piramide do ravni njene osnove, kao i same okomice (na slici 76, a, b je segment RO).

Rice. 76

6.3 O značenju okomice

Okomita na ravan igra veoma važnu ulogu, a pored toga što je najkraća među svim segmentima od date tačke do tačaka ravni. Hajde da objasnimo njegovo značenje. Položaj ravni u prostoru može se odrediti specificiranjem prave linije koja je okomita na nju i tačke u kojoj ona seče ovu pravu liniju.

Najvažnije svojstvo okomice je da se ravan nalazi simetrično u odnosu na nju. Šta to znači? Sve zrake koje leže u datoj ravni sa njom formiraju jednake uglove - prave uglove, ali za nagnutu to nije slučaj (slika 77, a). Kada se okreće oko okomice, ravnina je poravnata sama sa sobom: točak mora biti postavljen na osovinu tako da je njegova ravnina okomita na osovinu. Pravougaonik čija je strana okomita na ravan može se rotirati oko te strane, a druga strana će kliziti duž ravnine. Ovo je jasno vidljivo na pravilno okačenim vratima. Ako njegov rub nije okomit, vrata se ne otvaraju slobodno i dodiruju pod.

Rice. 77

Uzimajući primjere iz fizike, može se primijetiti da je pritisak tekućine ili plina na zid posude usmjeren okomito na zid, kao što je pritisak tereta na oslonac usmjeren okomito na njega (Sl. 77, b i 78, a).

Rice. 78

Okomito na površinu pojavljuje se u zakonima refleksije i prelamanja svjetlosti. Dakle, zakon refleksije glasi: "Upadna zraka i reflektirana zraka nalaze se u istoj ravni s okomitom na površinu ogledala u tački upada i formiraju jednake uglove s njom." “Upadni ugao” i “ugao refleksije” su uglovi između naznačene okomice i upadne zrake i reflektovanog zraka (slika 78, b).

Ali glavno značenje okomice je njena uloga u tehnologiji i u cijelom našem životu.

Mi smo, da tako kažemo, okruženi okomitima: noge stola su okomite na pod, ivica ormarića je okomita na zid, itd.

Vertikala je okomita na horizontalnu ravan. Vertikalnost se provjerava viskom (vidi sliku). Okomitost igra glavnu ulogu u izgradnji: međuspratni podovi se postavljaju okomito na stubove okvira zgrade.

Kao što ćemo kasnije vidjeti, paralelnost ravnina povezana je s prisustvom zajedničkih okomica. Okomitost i paralelizam pravih linija i ravni je bitan element u konstrukciji, pa se doktrina okomica i paralela može nazvati osnovama "građevinske geometrije".

Pitanja za samokontrolu

1. Koja je razlika između okomite na ravan i kosog na ravan?
2. Koja je definicija okomice na ravan?
3. Šta znači okomito na ravan?

Nazad naprijed

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati puni obim prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

klasa: 10.

Osnovni vodič: Geometrija 10-11: osnovni i profilni nivoi / L.S. Atanasyan i drugi - M.: Obrazovanje, 2009.

Čas je praćen prezentacijom, testom urađenim u Microsoft Excel-u za kompjuterizovanu proveru znanja učenika ( Aneks 1), modul obuke Federalnog centra za informacione i obrazovne resurse ( Dodatak 2), koji se sastoji od 5 zadataka različitih nivoa težine. Svi zadaci ovog modula su parametrizirani, što vam omogućava da kreirate pojedinačne zadatke. Zadaci su osmišljeni tako da razvijaju vještine rješavanja zadataka pomoću znaka okomitosti prave i ravni. Za rad sa modulom za obuku potrebno je instalirati poseban program, koji se nalazi u Aneks 3. U prezentaciji za lekciju nalazi se samostalni rad na temu koja se proučava. Dakle, količina predloženog materijala je suvišna, što omogućava da se dozira, varira u zavisnosti od stepena pripremljenosti časa.

Vrsta lekcije: lekcija kreativne primene znanja.

Obrazac ponašanja: radionica za rješavanje ključnih problema.

Provođenje vremena: 45 minuta.

Mjesto lekcije u sekciji: 4 lekcije.

Ciljevi:

Tutorijali:

• "otvoriti" koncepte okomitog i nagnutog prema ravni;
• izgraditi vještine:
  pogledajte konfiguracije koje ispunjavaju navedene uslove;
  primijeniti definiciju prave linije okomite na ravan, znaka okomitosti prave i ravni na probleme dokazivanja;
• razvijati vještine rješavanja osnovnih zadataka na okomitost prave i ravni.

u razvoju:

• razvijati prostornu maštu, logičko razmišljanje;
• razvijati samostalnost učenika i kreativan odnos prema realizaciji zadataka;
• organizovati razumijevanje rezultata proučavanja teme i načina za njihovo postizanje.

edukativni:

• spomenuti:
  volja i upornost za postizanje konačnih rezultata u rješavanju problema;
  informatička kultura i kultura komunikacije.

Metode: djelomično istraživačko, istraživačko.

Oblici organizacije aktivnosti: frontalni, grupni, individualni, samostalni rad.

Oprema:čas računara, multimedijalni projektor, platno, kompjuterska prezentacija na temu, test (Prilog 1), kartice za samostalni rad (Slajd 9), kartice sa teorijskim pitanjima, EER sa praktičnim parametriziranim zadatkom (Prilog 2).

Tokom nastave

Organizacioni momenat - provjera spremnosti odeljenja za čas.

I. Motivacioni i orijentacioni dio.

1. Aktuelizacija znanja.

– Danas nastavljamo sa radom na temi „Perpendikularnost prave i ravni“. U prošlim časovima „otkrili“ smo definiciju prave linije okomite na ravan, znaka okomitosti prave i ravni, i analizirali najjednostavnije zadatke. Kao domaći zadatak, svako od vas je dobio list sa teorijskim pitanjima, od vas je zatraženo da pripremite odgovore na ova pitanja.

Hajde da provjerimo kako ste se izborili sa ovim zadatkom.

Postoji anketa licem u lice. (slajdovi 6-8).

Rezultati usmenog rada se sumiraju, odgovori učenika se vrednuju.

2. Iskaz zadatka učenja.

Danas ćemo nastaviti sa formiranjem sposobnosti primjene poznatih iskaza u problemima dokazivanja i rješavanju tipičnih problema.

1. Sljedeća faza rada - dva učenika se pozivaju na tablu za individualni rad na karticama, frontalni rad se izvodi sa ostalim učenicima prema gotovim crtežima. Karte za individualni rad:

Zadaci za usmeni rad na gotovim crtežima:

- Momci, u zadacima 4-6 govorimo o nagnutim prema avionu. Šta mislite da se misli?

Postoji li ovdje analogija s konceptima okomitog i kosog na pravu liniju, koji se proučavaju u planimetriji?

Pozivaju se studenti da prouče slajd 10 prezentacije i riješe ove probleme.

2. Rad u parovima - zadaci se rješavaju prema gotovim crtežima.

Raspravlja se o rješenjima. Ocenjuju se pojedinačni odgovori učenika.

Sljedeća faza lekcije je implementacija praktičnog zadatka na računaru, rad sa ESM-om.

III. Reflektivno-evaluacijski dio.

1. Rezultat rada u lekciji je test u obliku testa.

Rezultati lekcije se sumiraju, ocjenjuju.

2. Domaći zadatak: br. 130, 131, 145, 148. (Oznaka: koristiti znak okomitosti prave i ravni).

U ovoj lekciji ćemo ponoviti teoriju koju smo obrađivali i nastaviti rješavati tipične probleme okomice prave i ravni.
Prvo ponavljamo teoremu-atribut okomitosti prave i ravni. A onda ćemo rješavati probleme koristeći ovu funkciju.

Tema: Okomitost pravih i ravni

Lekcija: Ponavljanje teorije i rješavanje tipičnih zadataka na

okomitost prave i ravni (nastavak)

U ovoj lekciji ćemo ponoviti teoriju koju smo obrađivali i nastaviti rješenje tipičnih zadataka o okomitosti prave i ravni.

Ako je prava okomita na dvije prave koje se ukrštaju koje leže u ravni, onda je ona okomita na tu ravan.

Neka nam je data ravan α. U ovoj ravni postoje dvije prave. str i q, seku u tački O(Sl. 1). Pravo a okomito na liniju str i direktno q. Prema znaku, ravno a je okomita na ravan α, odnosno okomita na bilo koju pravu koja leži u ovoj ravni.

3. Web stranica za nastavnike matematike()

1. Formulirajte znak okomitosti prave i ravni.

2. Dat je krug sa centrom u tački O. Pravo MO okomito na ravan kružnice. Dokaži da je linija MO okomito na bilo koji polumjer kružnice.

3. U trouglu ABC održavana visina CH. Pravo MA okomito na ravan ABC. Je li prava okomita? CH avion AMV?

4. Direktno MA okomito na ravan kvadrata ABCD. Pronađite dužinu segmenata GOSPOĐA,MB, MD ako je stranica kvadrata a, AM = b.

U ovom članku ćemo govoriti o okomitosti prave i ravni. Najprije se daje definicija prave linije okomite na ravan, daje se grafička ilustracija i primjer te se prikazuje oznaka okomite i ravni. Nakon toga se formuliše znak okomitosti prave i ravni. Dalje, dobijaju se uslovi koji omogućavaju da se dokaže okomitost prave i ravni, kada su prava i ravan date nekim jednačinama u pravougaonom koordinatnom sistemu u trodimenzionalnom prostoru. U zaključku su prikazana detaljna rješenja tipičnih primjera i problema.

Navigacija po stranici.

Okomita prava i ravan - osnovne informacije.

Preporučujemo da prvo ponovite definiciju okomitih pravih, jer je definicija prave koja je okomita na ravan data kroz okomitost pravih.

Definicija.

Kažu to prava prava okomita na ravan, ako je okomita na bilo koju pravu koja leži u ovoj ravni.

Takođe možete reći da je ravan okomita na pravu, ili da su prava i ravan okomite.

Za označavanje okomitosti koristite ikonu obrasca "". To jest, ako je pravac c okomit na ravan , onda možemo ukratko napisati .

Kao primjer prave linije koja je okomita na ravan, može se navesti prava linija duž koje se ukrštaju dva susjedna zida prostorije. Ova linija je okomita na ravan i na ravan plafona. Konopac u teretani se takođe može posmatrati kao prava linija okomita na ravan poda.

U zaključku ovog paragrafa članka, napominjemo da ako je prava okomita na ravan, onda se ugao između prave i ravnine smatra devedeset stepeni.

Okomitost prave i ravni - znak i uslovi okomitosti.

U praksi se često postavlja pitanje: "Jesu li data prava i ravan okomite?" Da odgovorim, postoji dovoljan uslov za okomitost prave i ravni, odnosno takav uslov, čije ispunjenje garantuje okomitost prave i ravni. Ovaj dovoljan uslov naziva se kriterijum za okomitost prave i ravni. Formuliramo ga u obliku teoreme.

Teorema.

Da bi data prava i ravan bili okomiti, dovoljno je da je prava okomita na dve prave koje se seku u ovoj ravni.

Dokaz znaka okomitosti prave i ravni možete pogledati u udžbeniku geometrije za 10-11 razred.

Prilikom rješavanja zadataka utvrđivanja okomitosti prave i ravni često se koristi i sljedeća teorema.

Teorema.

Ako je jedna od dvije paralelne prave okomita na ravan, onda je i druga prava okomita na ravan.

U školi se razmatraju mnogi problemi za čije se rješavanje koristi znak okomitosti prave i ravni, kao i posljednja teorema. Ovdje se nećemo zadržavati na njima. U ovom dijelu članka fokusirat ćemo se na primjenu sljedećeg neophodnog i dovoljnog uslova za okomitost prave i ravni.

Ovaj uslov se može prepisati u sljedećem obliku.

Neka je usmjeravajući vektor prave a , i je normalni vektor ravnine . Za okomitost prave a i ravni potrebno je i dovoljno da i : , gdje je t neki realni broj.

Dokaz ovog neophodnog i dovoljnog uslova za okomitost prave i ravni zasniva se na definicijama vektora pravca prave i vektora normale ravni.

Očigledno, ovaj uvjet je zgodno koristiti za dokazivanje okomitosti prave i ravni, kada se lako pronađu koordinate usmjeravajućeg vektora prave i koordinate vektora normale ravnine u fiksnom trodimenzionalnom prostoru. . Ovo važi za slučajeve kada su date koordinate tačaka kroz koje prolaze ravan i prava, kao i za slučajeve kada je prava određena nekim jednačinama prave u prostoru, a ravan je data sa jednačina neke vrste ravni.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer.

Dokazati da je prava okomita i avioni.

Rješenje.

Znamo da su brojevi u nazivnicima kanonskih jednadžbi prave u prostoru odgovarajuće koordinate vektora usmjeravanja ove prave linije. Na ovaj način, - vektor pravca pravca .

Koeficijenti na varijablama x, y i z u opštoj jednačini ravnine su koordinate vektora normale te ravni, tj. je normalni vektor ravnine .

Provjerimo ispunjenost potrebnog i dovoljnog uslova za okomitost prave i ravni.

Jer , zatim su vektori i povezani relacijom , odnosno kolinearni su. Dakle, prava linija okomito na ravan.

Primjer.

Jesu li linije okomite? i avion.

Rješenje.

Nađimo vektor pravca date prave i vektor normale ravni da bismo proverili ispunjenje potrebnog i dovoljnog uslova da prava i ravan budu okomite.

Vektor pravca pravca je

Znakovi okomitosti:

Prava je okomita na ravan , ako _______________________________________

Prave linije su okomite , ako ___________________________________________________

Ravnine su okomite , ako ________________________________________________

_______________________________________________________________________________.

Zadatak 1. Konstruisati loptu sa centrom u tački A, tangentnom na datu ravan.

algoritam:

Zadatak 2. Konstruirajte tačku na udaljenosti od 20 mm od ravnine.

algoritam:

Zadatak 3. Odredite udaljenost od tačke do prave.

algoritam:

Zadatak 4: Dopunite nedostajuću projekciju trokuta ako je ugao V ravno.

algoritam:

Zadatak 5 : Konstruirajte kvadrat sa stranom BC na pravoj liniji l.

algoritam:

Zadatak 6 : Dopuni projekciju trokuta ako je okomit na datu ravan.

algoritam:

Pitanja za samokontrolu znanja

U kom slučaju se pravi ugao projektuje na ravan projekcije bez izobličenja?

Koja je linija najvećeg nagiba?

Koja je linija najvećeg nagiba u ravni?

Kako odrediti ugao nagiba ravnine prema horizontalnoj, frontalnoj, profilnoj ravni projekcija?

Kako se sa stanovišta elementarne geometrije formuliše znak okomitosti prave i ravni?

Ako je poznato da je prava okomita na ravan, koliko se pravih može povući koje leže u ravni koja je okomita na nju?

Koje dvije linije koje se seku u ravni treba izabrati iz skupa pravih tako da se pravi ugao koji se nalazi između njih i date prave projektuje na ravni projekcije bez izobličenja?

Polazeći od toga, formulirajte znak okomitosti prave linije i ravni sa stanovišta deskriptivne geometrije.

Kako konstruisati okomitu na ravan u opštem položaju na CC?

Kako konstruisati pravu pravu okomitu na ravan projektovanja na CC?

Kako se pravi ugao projektuje na ravan projekcije između linija koje se seku ako nijedna od njih nije paralelna sa ovom ravninom projekcije?

Formulirajte znak okomitosti pravih linija u opštem položaju.

Formulirajte znak okomitosti ravnina.

Tema 11: Metoda zamjene ravni projekcije

Četiri glavna zadatka deskriptivne geometrije:

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Kod CC ostaje nepromijenjen __________________________________________________

________________________________________________________________________________