Primjeri superpozicije funkcija. Pogledajte šta je “superpozicija funkcija” u drugim rječnicima

Funkcija f dobijena iz funkcija f 1 , f 2 ,…f n korištenjem operacija zamjene i preimenovanja argumenata naziva se superpozicija funkcije.

Svaka formula koja izražava funkciju f kao superpoziciju drugih funkcija specificira metodu za njeno izračunavanje, odnosno, formula se može izračunati ako se izračunaju vrijednosti svih njenih podformula. Vrijednost podformule može se izračunati iz poznatog skupa vrijednosti binarnih varijabli.

Koristeći svaku formulu, možete vratiti tablicu logičke funkcije, ali ne i obrnuto, jer Svaka logička funkcija može biti predstavljena s nekoliko formula u različitim bazama

Pozivaju se formule F i i Fj koje predstavljaju istu logičku funkciju f i ekvivalentan . Dakle, ekvivalentne formule su:

1. f 2 (x 1 ; x 2)=(x 1 ×`x 2)=ù(`x 1 Úx 2)= ù(x 1 ®x 2);

2. f 6 (x 1 ; x 2)=(`x 1 ×x 2 Úx 1 ×`x 2)= ù(x 1 “x 2)=(x 1 Åx 2);

3. f 8 (x 1 ; x 2)=(`x 1 ×`x 2)= ù(x 1 Úx 2)=(x 1 ¯x 2);

4. f 14 (x 1 ;x 2)=(`x 1 Ú`x 2)= ù(x 1 ×x 2)=x 1 ½x 2 ;

5. f 9 (x 1 ;x 2)=((`x 1 ×`x 2)Ú(x 1 ×x 2))=(x 1 “x 2) ;

6. f 13 (x 1 ;x 2)= (`x 1 Úx 2)=(x 1 ®x 2).

Ako bilo koja formula F sadrži podformulu F i , tada zamjena F i sa ekvivalentnim F j ne mijenja vrijednost formule F za bilo koji skup Bulovih vektora, već mijenja oblik njegovog opisa. Novo dobijena formula F` je ekvivalentna formuli F.

Da bi se pojednostavili složeni algebarski izrazi, izvode se Booleove funkcije ekvivalentne transformacije koristeći zakone Bulove algebre i pravila zamjene I zamjena ,

Kada pišete formule Booleove algebre, zapamtite:

· broj levih zagrada jednak je broju desnih zagrada,

· ne postoje dva susedna logička veznika, tj. mora postojati formula između njih,

· ne postoje dvije susjedne formule, tj. mora postojati logička veza između njih,

· logička veziva “×” je jača od logičkog veznika “Ú”,

· ako se “ù” odnosi na formulu (F 1 ×F 2) ili (F 1 Ú F 2), tada prije svega ove transformacije treba izvršiti prema De Morganovom zakonu: ù(F 1 ×F 2) = ` F 1 Ú` F 2 ili ù(F 1 ÚF 2)=`F 1 ×`F 2 ;

· operacija " × ” je jači od “Ú”, što vam omogućava da izostavite zagrade.

Primjer: izvršiti ekvivalentne transformacije formule F=x 1 ×x 2 ×x 3 ×`x 4 Ú`x 1 ×x 3 Ú`x 2 ×x 3 Úx 3 ×x 4 .

· prema zakonu komutativnosti:

F=x 3 ×x 1 ×x 2 ×`x 4 Úx 3 ×`x 1 Úx 3 ×`x 2 Úx 3 ×x 4 ;

· prema zakonu distributivnosti:

F=x 3 ×x 1 ×x 2 ×`x 4 Úx 3 ×`x 1 Úx 3 ×(`x 2 Úx 4);

· prema zakonu distributivnosti:

F=x 3 ×x 1 ×x 2 ×`x 4 Úx 3 ×(`x 1 Ú`x 2 Úx 4);

· prema zakonu distributivnosti:

F=x 3 ×((x 1 ×x 2 ×`x 4)Ú(`x 1 Ú`x 2 Úx 4));

· prema De Morganovom zakonu:

F=x 3 ×((x 1 ×x 2 ×`x 4)Úù(x 1 ×x 2 ×`x 4));

· prema zakonu kontradikcije:

Dakle, x 1 ×x 2 ×x 3 ×`x 4 Ú`x 1 ×x 3 Ú`x 2 ×x 3 Úx 3 ×x 4 =x 3 .

primjer: izvršiti transformacije formule

F=(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×x 2)Ú(x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2 );

· prema De Morganovom zakonu

F=(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2)×(`x 1 Ú`x 2)Ú(x 1 ×x 2)×(`x 1 Úx 2)×(x 1 Ú`x 2);

· prema zakonu distributivnosti:

F=x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2 Úx 1 ×x 2 ;

· prema zakonima komutativnosti i distributivnosti:

F= `x 1 ×x 2 Úx 1 ×(`x 2 Úx 2);

· prema zakonu kontradikcije:

F= `x 1 ×x 2 Úx 1 ;

· prema Poretskyjevom zakonu

Dakle (x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×x 2)Ú(x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2 ) = (x 2 Úx 1).

primjer: transformišite formulu F=ù(`x 1 Úx 2)Ú((`x 1 Úx 3)×x 2).

· prema De Morganovom zakonu:

F= ù(`x 1 Úx 2)×ù((`x 1 Úx 3)×x 2);

· prema De Morganovom zakonu:

F=x 1 ×`x 2 ×(ù(`x 1 Úx 3)Ú`x 2);

· prema De Morganovom zakonu:

F=x 1 ×`x 2 ×(x 1 ×`x 3 Ú`x 2);

· prema zakonu distributivnosti:

F=x 1 ×`x 2 ×`x 3 Úx 1 ×`x 2 ;

· prema zakonu apsorpcije:

Tako je ù(`x 1 Úx 2)×((`x 1 Úx 3)×x 2)= x 1 ×`x 2 .

Primjer: Pretvorite formulu:

F=ù(x 1 ®x 2)×(`x 3 Ú`x 4)Ú(x 1 ¯x 2)×ù(x 3 ×x 4).

1) transformirati formulu u bazu Bulove algebre:

F=ù(`x 1 Úx 2)×(`x 3 Ú`x 4)Úù(x 1 Úx 2)× ù(x 3 ×x 4);

2) izostavite znak “`” ispred binarnih varijabli:

F=(x 1 ×`x 2)×(`x 3 Ú`x 4)Ú(`x 1 ×`x 2)×(`x 3 Ú`x 4);

3) transformisati formulu prema distributivnom zakonu:

F=x 1 ×`x 2 ×`x 3 Úx 1 ×`x 2 ×`x 4 Ú`x 1 ×`x 2 ×`x 3 Ú`x 1 ×`x 2 ×`x 4 ;

4) staviti `x 2 iz zagrada prema distributivnom zakonu:

F=`x 2 ×(x 1 ×`x 3 Úx 1 ×`x 4 Ú`x 1 ×`x 3 Ú`x 1 ×`x 4);

5) transformisati po zakonu distributivnosti:

F=`x 2 ×(`x 3 ×(x 1 Ú`x 1)Ú`x 4 ×(x 1 Ú`x 1));

6) koristiti zakon kontradikcije:

F=`x 2 ×(`x 3 Ú`x 4)

Svojstva Bulovih funkcija

Često se postavlja pitanje: da li se svaka Bulova funkcija može predstaviti superpozicijom formula f 0, f 1,..f 15? Da bi se utvrdila mogućnost formiranja bilo koje Bulove funkcije korištenjem superpozicije ovih formula, potrebno je odrediti njihova svojstva i uslove za korištenje funkcionalno cjelovitog sistema.

Self-dual Boolean funkcije

self-dual , ako je f(x 1 ;x 2 ;…x n)=`f(`x 1 ;`x 2 ;…`x n).

Na primjer, funkcije f 3 (x 1 ;x 2)=x 1 , f 5 (x 1 ;x 2)=x 2 , f 10 (x 1 ;x 2)=`x 2 i f 12 (x 1 ;x 2)=`x 1 su samodualni, jer kada se vrijednost argumenta promijeni, oni mijenjaju svoju vrijednost.

Svaka funkcija dobivena operacijama superpozicije iz self-dualnih Booleovih funkcija je sama dualna. Stoga, skup self-dualnih Booleovih funkcija ne dozvoljava formiranje ne-samodualnih funkcija.

Monotonske Booleove funkcije

Poziva se funkcija f(x 1 ; x 2 ;…x n). monotono , ako je za svaki s 1i £s 2i Bulove vektore (s 11 ; s 12 ;……;s 1n) i (s 21 ;s 22 ;……;s 2n) ispunjen sljedeći uvjet: f(s 11 ;s 12 ;… ;s 1i ;…;s 1n)£f(s 21 ;s 22 ;…;s 2i ;…;s 2n).

Na primjer, za funkcije f(x 1 ; x 2) monotone funkcije su:

ako je (0; 0) £ (0; 1), onda f(0; 0) £ f (0; 1),

ako (0; 0)£(1; 0), onda f(0; 0)£f(1; 0),

ako (0; 1)£(1; 1), onda f(0; 1)£f(1; 1),

ako je (1; 0) £ (1; 1), onda f(1; 0) £ f(1; 1).

Sljedeće funkcije zadovoljavaju ove uslove:

f 0 (x 1 ; x 2)=0; f 1 (x 1 ; x 2)=(x 1 ×x 2); f 3 (x 1; x 2)=x 1; f 5 (x 1; x 2)=x 2; f 7 (x 1 ;x 2)=(x 1 Úx 2); f 15 (x 1 ; x 2)=1.

Svaka funkcija dobijena upotrebom operacije superpozicije iz monotonih Bulovih funkcija je sama po sebi monotona. Dakle, skup monotonih funkcija ne dozvoljava formiranje nemonotonskih funkcija.

Linearne Booleove funkcije

Žegalkinova algebra, zasnovana na bazi F 4 =(×; Å; 1), dozvoljava da bilo koja logička funkcija bude predstavljena polinomom, čiji je svaki član konjunkcija I Booleovih varijabli Bulovog vektora unutar 0£i£ n:

P(x 1 ; x 2 ;…x n)=b 0 ×1 Å b i ×x i Å 1 £ j ¹ k £ n b j ×x j ×x k Å……Å b 2n-1 ×x 1 ×x 2 ×... ×x n.

Na primjer, za logičke funkcije f 8 (x 1 ; x 2)

Žegalkinov polinom ima oblik: P(x 1; x 2)=1Å x 1 Å x 2 Å x 1 ×x 2.

Prednosti Zhegalkinove algebre su „aritmetizacija“ logičkih formula, dok su nedostaci složenost, posebno sa velikim brojem binarnih varijabli.

Žegalkinovi polinomi koji ne sadrže konjunkcije binarnih varijabli, tj. P(x 1 ; x 2 ;…;x n)=b 0 ×1Åb 1 ×x 1 Å…Åb n ×x n se naziva linearno .

Na primjer, f 9 (x 1 ; x 2) = 1Åx 1 Åx 2, ili f 12 (x 1; x 2) = 1Åx 1.

Glavna svojstva operacije sabiranja po modulu 2 data su u tabeli 1.18.

Ako je logička funkcija specificirana tablicom ili formulom u bilo kojoj osnovi, tj. Ako znate vrijednosti Booleove funkcije za različite skupove Booleovih varijabli, tada možete izračunati sve

koeficijenti b i Žegalkinovog polinoma, sastavljajući sistem jednačina za sve poznate skupove binarnih varijabli.

Primjer: data je Booleova funkcija f(x 1 ;x 2)=x 1 Úx 2. Vrijednosti ove funkcije su poznate za sve skupove Booleovih varijabli.

F(0;0)=0=b 0 ×1Å b 1 ×0 Å b 2 ×0 Å b 3 ×0×0;

f(1;0)=1=b 0 ×1Å b 1 ×1Å b 2 ×0Å b 3 ×1×0;

f(1;1)=1=b 0 ×1Å b 1 ×1Å b 2 ×1Å b 3 ×1×1;

Gdje nalazimo b 0 =0; b 1 =1; b 2 =1; b 3 =1.

Dakle, (x 1 Úx 2)=x 1 Åx 2 Åx 1 ×x 2, tj. disjunkcija je nelinearna Bulova funkcija.

Primjer: data je Booleova funkcija f(x 1 ;x 2)=(x 1 ®x 2). Vrijednosti ove funkcije su također poznate za sve skupove binarnih varijabli.

F(0;0)=1=b 0 ×1Å b 1 ×0 Å b 2 ×0 Å b 3 ×0×0;

f(0;1)=1=b 0 ×1Å b 1 ×0 Å b 2 ×1Å b 3 ×0×1;

f(1;0)=0=b 0 ×1Åb 1 ×1Åb 2 ×0Åb 3 ×1×0;

f(1;1)=1=b 0 ×1Åb 1 ×1Åb 2 ×1Åb 3 ×1×1;

Gdje nalazimo b 0 =1; b 1 =1; b 2 =0; b 3 =1.

Dakle, (x 1 ®x 2)=1Å x 2 Å x 1 ×x 2.

U tabeli 1.19 prikazani su Žegalkinovi polinomi za glavne predstavnike Bulovih funkcija iz tabele 1.15.

Ako je dat analitički izraz za logičku funkciju i njegove vrijednosti su nepoznate za različite skupove binarnih varijabli, tada je moguće konstruirati Zhegalkin polinom na temelju konjunktivne baze Boole algebre F 2 =(` ; ×) :

Neka je f(x 1 ; x 2)=(x 1 Úx 2).

Tada (x 1 Úx 2)=ù(`x 1 ×`x 2)=((x 1 Å 1)×(x 2 Å 1))Å 1=x 1 ×x 2 Å x 1 ×1Å x 2 × 1Å 1×1Å1=

(x 1 Åx 2 Åx 1 ×x 2).

Neka je f(x 1 ;x 2)=(x 1 ®x 2).

Tada (x 1 ®x 2)=(`x 1 Úx 2)=ù(x 1 ×`x 2)=x 1 ×(x 2 Å 1)Å 1=x 1 ×x 2 Å x 1 ×1Å 1 = =(1Åx 1 Åx 1 ×x 2).

Neka je f(x 1 ;x 2)=(x 1 “x 2).

Tada (x 1 “x 2)=(`x 1 ×`x 2 Úx 1 ×x 2)=ù(ù(`x 1 ×`x 2)×ù(x 1 ×x 2))=(((( x 1 Å1)×(x 2 Å1))Å1)× ×(x 1 ×x 2 Å)Å1=(x 1 ×x 2 Åx 1 Åx 2 Å1Å1)×(x 1 ×x 2 Å1)Å1=x 1 ×x 2 Åx 1 ×x 2 Åx 1 ×x 2 Åx 1 Å

x 1 ×x 2 Åx 2 Å1=(1Åx 1 Åx 2).

Svaka funkcija dobivena upotrebom operacije superpozicije iz linearnih logičkih funkcija je sama po sebi linearna. Dakle, skup linearnih funkcija ne dozvoljava formiranje nelinearnih funkcija.

1.5.6.4. Funkcije koje pohranjuju “0”

Funkcija f(x 1 ; x 2 ;...x n) naziva se očuvanjem “0” ako za skupove vrijednosti binarnih varijabli (0; 0;...0) funkcija uzima vrijednost f(0; 0;…0)=0 .

Na primjer, f 0 (0; 0)=0, f 3 (0; 0)=0, f 7 (0; 0)=0, itd.

Svaka funkcija dobivena operacijom superpozicije iz funkcija koje čuvaju “0” je sama po sebi funkcija koja čuva “0.” Stoga skup funkcija koje čuvaju “0” ne dozvoljava formiranje funkcija koje ne čuvaju “0”.

1.5.6.5. Funkcije koje pohranjuju "1"

Funkcija f(x 1 ; x 2 ;…x n) naziva se očuvanjem “1” ako za skupove vrijednosti binarnih varijabli (1; 1;…1) funkcija uzima vrijednost f(1;1;…1) )=1.

Na primjer, f 1 (1; 1)=1, f3(1; 1)=1, f 5 (1; 1)=1, itd.

Svaka funkcija dobivena operacijom superpozicije iz funkcija koje čuvaju “1” sama čuva “1”. Dakle, skup funkcija koje čuvaju “1” ne dozvoljava formiranje funkcija koje ne čuvaju “1”.

Korespondencija G između skupova A I IN naziva se podskup. Ako , onda oni to kažu b

odgovara A. Skup svih odgovarajućih elemenata

Called način element a. Poziva se skup svih kojima element odgovara

prototip element b.

Puno parova (b, a) takav koji se naziva inverznim

prema G i određen je. Koncepti slike i prototipa za

„G i su međusobno inverzne.

Primjeri. 1) Spojimo ga prirodnim brojem P

skup realnih brojeva . Slika broja 5

biće pola intervala

(ovo znači najveći cijeli broj, manji ili jednak X). Prototip broja 5 u ovoj korespondenciji je beskonačan skup: poluinterval.

U smislu zatvaranja, možemo dati druge definicije zatvaranja i potpunosti (ekvivalentne originalnim):

K je zatvorena klasa ako je K = [K];

K je kompletan sistem ako je [K] = P 2 .

Primjeri.

* (0), (1) - zatvoreni razredi.

* Skup funkcija jedne varijable je zatvorena klasa.

* - zatvoren razred.

* Klasa (1, x+y) nije zatvorena klasa.

Pogledajmo neke od najvažnijih zatvorenih časova.

1. T 0- klasa funkcija koje čuvaju 0.

Označimo sa T 0 klasu svih funkcija algebre logike f(x 1 , x 2 , ... , x n) koje čuvaju konstantu 0, odnosno funkcije za koje je f(0, ... , 0 ) = 0.

Lako je vidjeti da postoje funkcije koje pripadaju T 0 i funkcije koje ne pripadaju ovoj klasi:

0, x, xy, xÚy, x+y O T 0 ;

Iz činjenice da je Ï T 0 slijedi, na primjer, da se ne može izraziti kroz disjunkciju i konjunkciju.

Budući da tabela za funkciju f iz klase T 0 sadrži vrijednost 0 u prvom redu, onda za funkcije iz T 0 možete postaviti proizvoljne vrijednosti samo na 2 n - 1 skup varijabilnih vrijednosti, tj.

,

gdje je skup funkcija koje čuvaju 0 i zavise od n varijabli.

Pokažimo da je T 0 zatvorena klasa. Pošto je xÎT 0 , onda je za opravdanje zatvorenosti dovoljno pokazati zatvorenost u odnosu na operaciju superpozicije, budući da je operacija mijenjanja varijabli poseban slučaj superpozicije sa funkcijom x.

Neka . Onda je to dovoljno pokazati. Ovo poslednje proizilazi iz lanca jednakosti

2. T 1- klasa očuvanja funkcija 1.

Označimo sa T 1 klasu svih funkcija algebre logike f(x 1, x 2, ... , x n) koje čuvaju konstantu 1, odnosno funkcije za koje je f(1, ... , 1 ) = 1.

Lako je vidjeti da postoje funkcije koje pripadaju T 1 i funkcije koje ne pripadaju ovoj klasi:

1, x, xy, xÚy, xºy O T 1 ;

0, , x+y Ï T 1 .

Iz činjenice da je x + y Ï T 0 slijedi, na primjer, da se x + y ne može izraziti u terminima disjunkcije i konjunkcije.

Rezultati o klasi T 0 trivijalno se prenose u klasu T 1 . Tako imamo:

T 1 - zatvorena klasa;

.

3. L- klasa linearnih funkcija.

Označimo sa L klasu svih funkcija algebre logike f(x 1 , x 2 , ... , x n) koje su linearne:

Lako je vidjeti da postoje funkcije koje pripadaju L i funkcije koje ne pripadaju ovoj klasi:

0, 1, x, x+y, x 1 º x 2 = x 1 + x 2 + 1, = x+1 O L;

Dokažimo, na primjer, da je xÚy Ï L .

Pretpostavimo suprotno. Potražićemo izraz za xÚy u obliku linearne funkcije sa neodređenim koeficijentima:

Za x = y = 0 imamo a=0,

za x = 1, y = 0 imamo b = 1,

za x = 0, y = 1 imamo g = 1,

ali tada za x = 1, y = 1 imamo 1v 1 ¹ 1 + 1, što dokazuje nelinearnost funkcije xy.

Dokaz zatvorenosti klase linearnih funkcija je sasvim očigledan.

Budući da je linearna funkcija jedinstveno određena specificiranjem vrijednosti n+1 koeficijenta a 0 , ... , a n , broj linearnih funkcija u klasi L (n) funkcija zavisnih od n varijabli je jednak 2 n+1 .

.

4. S- klasa samodualnih funkcija.

Definicija klase samodualnih funkcija zasniva se na korištenju tzv. principa dualnosti i dualnih funkcija.

Poziva se funkcija definirana jednakošću dvostruko u odnosu na funkciju .

Očigledno je da se tablica za dualnu funkciju (sa standardnim redoslijedom skupova vrijednosti varijabli) dobiva iz tablice za originalnu funkciju invertiranjem (tj. zamjenom 0 s 1 i 1 s 0) stupca vrijednosti funkcije i okrećući ga.

Lako je to vidjeti

(x 1 Ú x 2)* = x 1 Ù x 2 ,

(x 1 Ù x 2)* = x 1 Ú x 2 .

Iz definicije slijedi da je (f*)* = f, odnosno funkcija f je dualna f*.

Neka se funkcija izrazi korištenjem superpozicije kroz druge funkcije. Pitanje je, kako konstruisati formulu koja implementira ? Označimo sa = (x 1, ..., x n) sve različite varijabilne simbole koji se nalaze u skupovima.

Teorema 2.6. Ako se funkcija j dobije kao superpozicija funkcija f, f 1, f 2, ..., f m, tj.

funkcija dualna superpoziciji je superpozicija dualnih funkcija.

Dokaz.

j*(x 1 ,...,x n) = ` f(`x 1 ,...,`x n) =

Teorema je dokazana. ð

Načelo dualnosti slijedi iz teoreme: ako formula A ostvaruje funkciju f(x 1 , ... , x n), onda formula dobivena iz A zamjenom funkcija uključenih u nju njihovim dualnim ostvaruje dualnu funkciju f *(x 1 , ... , x n).

Označimo sa S klasu svih samodualnih funkcija iz P 2:

S = (f | f* = f)

Lako je vidjeti da postoje funkcije koje pripadaju S i funkcije koje ne pripadaju ovoj klasi:

0, 1, xy, xÚy Ï S .

Manje trivijalan primjer self-dualne funkcije je funkcija

h(x, y, z) = xy Ú xz Ú ​​yz;

Koristeći teoremu o funkciji dualnoj superpoziciji, imamo

h*(x, y, z)= (x Ú y)Ù(x Ú z) Ù (y Ù z) = x y Ú x z Ú y z; h = h* ; h O S.

Za samodualnu funkciju, identitet vrijedi

tako na setovima i , koje ćemo nazvati suprotnim, self-dualna funkcija uzima suprotne vrijednosti. Iz toga slijedi da je samodualna funkcija u potpunosti određena svojim vrijednostima u prvoj polovini redova standardne tablice. Dakle, broj samodualnih funkcija u klasi S (n) funkcija zavisnih od n varijabli jednak je:

.

Dokažimo sada da je klasa S zatvorena. Pošto je xÎS , onda je za opravdanje zatvorenosti dovoljno pokazati zatvorenost u odnosu na operaciju superpozicije, budući da je operacija mijenjanja varijabli poseban slučaj superpozicije sa funkcijom x. Neka . Onda je to dovoljno pokazati. Potonji se instalira direktno:

5. M- klasa monotonih funkcija.

Prije definiranja pojma monotone funkcije u algebri logike, potrebno je uvesti relaciju uređenja na skup skupova njenih varijabli.

Kažu da set dolazi prije seta (ili “ne više od”, ili “manje od ili jednako”), i koristite oznaku ako je a i £ b i za sve i = 1, ... , n. Ako i , onda ćemo reći da skup striktno prethodi skupu (ili “strogo manje”, ili “manje od” skupa), i koristiti notaciju . Skupovi i nazivaju se uporedivi ako ili , ili . U slučaju kada nijedna od ovih relacija ne vrijedi, skupovi i se nazivaju neuporedivim. Na primjer, (0, 1, 0, 1) £ (1, 1, 0, 1), ali skupovi (0, 1, 1, 0) i (1, 0, 1, 0) su neuporedivi. Dakle, relacija £ (koja se često naziva relacija prvenstva) je parcijalni red na skupu B n. Ispod su dijagrami djelimično uređenih skupova B 2, B 3 i B 4.

Uvedeni parcijalni odnos poretka je izuzetno važan koncept koji daleko prevazilazi okvire našeg predmeta.

Sada imamo priliku definirati koncept monotone funkcije.

Poziva se funkcija logičke algebre monotono, Ako za bilo koja dva skupa i , Takav da , vrijedi nejednakost . Skup svih monotonih funkcija algebre logike označava se sa M, a skup svih monotonih funkcija zavisnih od n varijabli označava se sa M(n).

Lako je vidjeti da postoje funkcije koje pripadaju M i funkcije koje ne pripadaju ovoj klasi:

0, 1, x, xy, xÚy O M;

x+y, x®y, xºy Ï M .

Pokažimo da je klasa monotonih funkcija M zatvorena klasa. Pošto je xOM, onda je za opravdanje zatvorenosti dovoljno pokazati zatvorenost u odnosu na operaciju superpozicije, pošto je operacija promjenjivih varijabli poseban slučaj superpozicije sa funkcijom x.

Neka . Onda je to dovoljno pokazati.

Neka su skupovi varijabli, redom, funkcije j, f 1 , ... , f m , a skup varijabli funkcije j sastoji se od onih i samo onih varijabli koje se pojavljuju u funkcijama f 1 , ... , f m . Neka i budu dva skupa vrijednosti varijable i . Ovi skupovi definiraju skupove varijabilne vrijednosti , takav da . Zbog monotonosti funkcija f 1 , ... , f m

a zbog monotonosti funkcije f

Odavde dobijamo

Broj monotonih funkcija u zavisnosti od n varijabli nije tačno poznat. Donja granica se lako može dobiti:

gdje je - cijeli broj n/2.

Također se ispostavilo da je to previsoka procjena odozgo:

Prečišćavanje ovih procjena važan je i zanimljiv zadatak modernih istraživanja.

Kriterijum kompletnosti

Sada smo u mogućnosti da formulišemo i dokažemo kriterijum kompletnosti (Postov teorem), koji određuje neophodne i dovoljne uslove za potpunost sistema funkcija. Prethodimo formulaciji i dokazu kriterija potpunosti s nekoliko potrebnih lema koje imaju nezavisan interes.

Lema 2.7. Lema o nesamodualnoj funkciji.

Ako je f(x 1 , ... , x n)Ï S , tada se iz njega može dobiti konstanta zamjenom funkcija x i `x.

Dokaz. Pošto je fÏS, postoji skup vrijednosti varijabli
=(a 1 ,...,a n) tako da

f(`a 1 ,...,`a n) = f(a 1 ,...,a n)

Zamijenimo argumente u funkciji f:

x i je zamijenjen sa ,

odnosno stavimo i razmotrimo funkciju

Tako smo dobili konstantu (iako se ne zna koja je to konstanta: 0 ili 1). ð

Lema 2.8. Lema o nemonotonoj funkciji.

Ako je funkcija f(x 1 ,...,x n) nemonotonska, f(x 1 ,...,x n) Ï M, tada se iz nje može dobiti negacija promjenom varijabli i zamjenom konstanti 0 i 1.

Dokaz. Pošto je f(x 1 ,...,x n) Ï M, tada postoje skupovi vrijednosti njegovih varijabli, , , takav da , i za barem jednu vrijednost i, a i< b i . Выполним следующую замену переменных функции f:

x i bit će zamijenjen sa

Nakon takve zamjene dobijamo funkciju jedne varijable j(x), za koju imamo:

To znači da je j(x)=`x. Lema je dokazana. ð

Lema 2.9. Lema o nelinearnoj funkciji.

Ako je f(x 1 ,...,x n) Ï L, onda iz njega zamjenom konstanti 0, 1 i korištenjem funkcije `x možemo dobiti funkciju x 1 &x 2 .

Dokaz. Predstavimo f kao DNF (na primjer, savršeni DNF) i koristimo relacije:

Primjer. Navedimo dva primjera primjene ovih transformacija.

Dakle, funkcija napisana u disjunktivnom normalnom obliku, nakon primjene naznačenih relacija, otvorenih zagrada i jednostavnih algebarskih transformacija, postaje mod 2 polinom (Zhegalkin polinom):

gdje je A 0 konstanta, a A i je konjunkcija nekih varijabli iz broja x 1,..., x n, i = 1, 2, ..., r.

Ako se svaka konjunkcija A i sastoji od samo jedne varijable, onda je f linearna funkcija, što je u suprotnosti sa uslovom leme.

Prema tome, u Zhegalkin polinomu za funkciju f postoji član koji sadrži najmanje dva faktora. Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da među ovim faktorima postoje varijable x 1 i x 2. Tada se polinom može transformirati na sljedeći način:

f = x 1 x 2 f 1 (x 3 ,..., x n) + x 1 f 2 (x 3 ,..., x n) + x 2 f 3 (x 3 ,..., x n) + f 4 (x 3 ,..., x n),

gdje je f 1 (x 3 ,..., x n) ¹ 0 (inače polinom ne uključuje konjunkciju koja sadrži konjunkciju x 1 x 2).

Neka je (a 3 ,...,a n) takvo da je f 1 (a 3 ,...,a n) = 1. Tada

j(x 1 ,x 2) = f(x 1 ,x 2 , a 3 ,...,a n) = x 1 x 2 +ax 1 +bx 2 +g ,

gdje su a, b, g konstante jednake 0 ili 1.

Koristimo operaciju negacije koju imamo i razmotrimo funkciju y(x 1 ,x 2) dobijenu iz j(x 1 ,x 2) na sljedeći način:

y(x 1 ,x 2) = j(x 1 +b, x 2 +a)+ab+g.

Očigledno je da

y(x 1 ,x 2) =(x 1 +b)(x 2 +a)+a(x 1 +b)+b(x 2 +a)+g+ab+g = x 1 x 2.

dakle,

y(x 1 ,x 2) = x 1 x 2 .

Lema je potpuno dokazana. ð

Lema 2.10. Glavna lema kriterija potpunosti.

Ako klasa F=( f ) funkcija logičke algebre sadrži funkcije koje ne čuvaju jedinstvo, ne čuvaju 0, nisu samodualne i nemonotonske:

onda se iz funkcija ovog sistema, operacijama superpozicije i zamjene varijabli, mogu dobiti konstante 0, 1 i funkcija.

Dokaz. Razmotrimo funkciju. Onda

.

Postoje dva moguća slučaja naknadnog razmatranja, označena u sljedećoj prezentaciji kao 1) i 2).

1). Funkcija na skupu jedinica uzima vrijednost 0:

.

Zamijenimo sve varijable funkcije promjenljivom x. Zatim funkcija

postoji, jer

I .

Uzmimo ne-samodualnu funkciju. Pošto smo već dobili funkciju, onda prema lemi o nesamodualnoj funkciji (lema 2.7. ) možete dobiti konstantu iz. Druga konstanta se može dobiti iz prve pomoću funkcije. Dakle, u prvom razmatranom slučaju dobijaju se konstante i negacija. . Drugi slučaj, a time i glavna lema kriterija potpunosti, potpuno su dokazani. ð

Teorema 2.11. Kriterijum za kompletnost sistema funkcija u algebri logike (Postova teorema).

Da bi sistem funkcija F = (f i) bio potpun, potrebno je i dovoljno da ne bude u potpunosti sadržan ni u jednoj od pet zatvorenih klasa T 0, T 1, L, S, M, tj. svaka od klasa T 0 , T 1 , L , S, M u F postoji barem jedna funkcija koja ne pripada ovoj klasi.

Nužnost. Neka je F kompletan sistem. Pretpostavimo da se F nalazi u jednoj od navedenih klasa, označimo ga sa K, tj. F Í K. Posljednje uključivanje je nemoguće, pošto je K zatvorena klasa koja nije potpun sistem.

Adekvatnost. Neka cijeli sistem funkcija F = (f i ) nije sadržan ni u jednoj od pet zatvorenih klasa T 0 , T 1 , L , S , M. Uzmimo sljedeće funkcije u F:

Zatim, na osnovu glavne leme (lema 2.10 ) iz funkcije koja ne čuva 0, funkcije koja ne čuva 1, nesamodualne i nemonotonske funkcije, mogu se dobiti konstante 0, 1 i funkcija negacije:

.

Na osnovu leme o nelinearnim funkcijama (lema 2.9 ) iz konstanti, negacije i nelinearne funkcije možemo dobiti konjunkciju:

.

Funkcijski sistem - kompletan sistem prema teoremi o mogućnosti predstavljanja bilo koje funkcije algebre logike u obliku savršenog disjunktivnog normalnog oblika (imajte na umu da se disjunkcija može izraziti preko konjunkcije i negacije u obliku ).

Teorema je u potpunosti dokazana. ð

Primjeri.

1. Pokažimo da funkcija f(x,y) = x|y formira kompletan sistem. Napravimo tablicu vrijednosti funkcije x½y:

x	y	x|y

f(0,0) = 1, dakle x | yÏT 0 .

f(1,1) = 0, dakle x | yÏT 1 .

f(0,0) = 1, f(1,1) = 0, dakle x | yÏM.

f(0,1) = f(1,0) = 1, - na suprotnim skupovima x | y uzima iste vrijednosti, stoga x | yÏS .

Konačno, šta znači nelinearnost funkcije?
x | y.

Na osnovu kriterija potpunosti, možemo reći da je f(x,y) = x | y formira kompletan sistem. ð

2. Pokažimo da je sistem funkcija formira kompletan sistem.

Zaista, .

Tako smo među funkcijama našeg sistema pronašli: funkciju koja ne čuva 0, funkciju koja ne čuva 1, nesamodualne, nemonotonske i nelinearne funkcije. Na osnovu kriterijuma kompletnosti, može se tvrditi da sistem funkcija formira kompletan sistem. ð

Stoga smo uvjereni da kriterij potpunosti pruža konstruktivan i efikasan način za određivanje kompletnosti sistema funkcija u algebri logike.

Formulujmo sada tri korolerija iz kriterijuma potpunosti.

Zaključak 1. Svaka zatvorena klasa K funkcija algebre logike koja se ne poklapa sa cijelim skupom funkcija algebre logike (K¹P 2) sadržana je u barem jednoj od konstruisanih zatvorenih klasa.

Definicija. Zatvorena klasa K se zove pre-full, ako je K nekompletan i za bilo koju funkciju fÏ K klasa K È (f) je potpuna.

Iz definicije slijedi da je predkompletna klasa zatvorena.

Zaključak 2. U algebri logike postoji samo pet predkompletnih klasa, i to: T 0, T 1, L, M, S.

Da biste dokazali zaključak, trebate samo provjeriti da nijedna od ovih klasa nije sadržana u drugoj, što je potvrđeno, na primjer, sljedećom tablicom funkcija koje pripadaju različitim klasama:

	T0	T 1	L	S	M
	+	-	+	-	+
	-	+	+	-	+
	-	-	+	+	-

Zaključak 3. Od bilo kojeg kompletnog sistema funkcija moguće je razlikovati potpuni podsistem koji ne sadrži više od četiri funkcije.

Iz dokaza kriterija potpunosti slijedi da se ne može razlikovati više od pet funkcija. Iz dokaza glavne leme (lema 2.10 ) slijedi to je ili nesamodualan ili ne čuva jedinstvo i nije monoton. Stoga nisu potrebne više od četiri funkcije.

Upoznajmo se s konceptom superpozicije (ili nametanja) funkcija, koji se sastoji od zamjene funkcije drugim argumentom umjesto argumenta date funkcije. Na primjer, superpozicija funkcija daje funkciju, a funkcije se dobijaju na sličan način

Općenito, pretpostavimo da je funkcija definirana u određenoj domeni, a funkcija definirana u domeni i da su sve njene vrijednosti sadržane u domeni. Tada je varijabla z, kako kažu, kroz y, sama funkcija od

Zadatu vrijednost prvo pronalaze vrijednost y koja joj odgovara (prema pravilu označenom znakom), a zatim postavlja odgovarajuću vrijednost y (prema pravilu

karakteriziran znakom, smatra se da njegova vrijednost odgovara odabranom x. Rezultirajuća funkcija iz funkcije ili kompleksne funkcije rezultat je superpozicije funkcija

Pretpostavka da vrijednosti funkcije ne prelaze granice područja Y u kojem je funkcija definirana je vrlo značajna: ako se izostavi, može doći do apsurda. Na primjer, pod pretpostavkom možemo uzeti u obzir samo one vrijednosti x za koje inače izraz ne bi imao smisla.

Smatramo korisnim ovdje naglasiti da karakterizacija funkcije kao kompleksne nije povezana s prirodom funkcionalne ovisnosti z od x, već samo s načinom na koji je ta zavisnost specificirana. Na primjer, neka za y bude za Then

Ovdje se pokazalo da je funkcija specificirana kao složena funkcija.

Sada kada je koncept superpozicije funkcija potpuno shvaćen, možemo precizno okarakterizirati najjednostavniju od onih klasa funkcija koje se proučavaju u analizi: to su, prije svega, elementarne funkcije gore navedene, a zatim sve one koje se iz njih dobivaju. koristeći četiri aritmetičke operacije i superpozicije, sukcesivno primijenjene konačan broj puta. Za njih se kaže da se izražavaju kroz elementarno u svom konačnom obliku; ponekad se nazivaju i elementarnim.

Nakon toga, savladavši složeniji analitički aparat (beskonačni nizovi, integrali), upoznaćemo se s drugim funkcijama koje također igraju važnu ulogu u analizi, ali već nadilaze klasu elementarnih funkcija.

Tema: „Funkcija: koncept, metode zadavanja, glavne karakteristike. Inverzna funkcija. Superpozicija funkcija."

Epigraf lekcije:

“Proučite nešto i ne razmišljajte o tome

naučeno - apsolutno beskorisno.

Razmišljanje o nečemu bez proučavanja

preliminarni predmet razmišljanja -

Konfucije.

Svrha i psihološki i pedagoški ciljevi časa:

1) Opći obrazovni (normativni) cilj: Pregledajte sa učenicima definiciju i svojstva funkcije. Uvesti koncept superpozicije funkcija.

2) Ciljevi matematičkog razvoja učenika: korištenje nestandardnog nastavnog i matematičkog materijala za nastavak razvoja mentalnog iskustva učenika, smislene kognitivne strukture njihove matematičke inteligencije, uključujući sposobnosti logičko-deduktivnog i induktivnog, analitičkog i sintetičkog reverzibilnog mišljenja, algebarskog i figurativno-grafičkog mišljenja , smisleno uopštavanje i konkretizacija, na refleksiju i osamostaljivanje kao metakognitivnu sposobnost učenika; nastaviti razvoj kulture pisanog i usmenog govora kao psiholoških mehanizama obrazovne i matematičke inteligencije.

3) Vaspitni zadaci: nastaviti lično obrazovanje učenika kognitivnog interesovanja za matematiku, odgovornosti, osjećaja dužnosti, akademske samostalnosti, komunikativne sposobnosti za saradnju sa grupom, nastavnikom, drugovima iz razreda; autogoška sposobnost za takmičarsku obrazovnu i matematičku aktivnost, težnja za visokim i najvišim rezultatima (akmeički motiv).

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva; prema kriteriju vodećih matematičkih sadržaja - praktični čas; prema kriterijumu vrste informacione interakcije između učenika i nastavnika – čas saradnje.

Oprema za nastavu:

1. Obrazovna literatura:

1) Kudryavtsev matematičke analize: Udžbenik. za univerzitete i studente. U 3 toma T. 3. – 2. izd., prerađeno. i dodatne – M.: Više. škola, 1989. – 352 str. : ill.

2) Demidovičevi problemi i vježbe iz matematičke analize. – 9. izd. – M.: Izdavačka kuća „Nauka“, 1977.

2. Ilustracije.

Tokom nastave.

1. Najava teme i glavnog obrazovnog cilja časa; podsticanje osjećaja dužnosti, odgovornosti i kognitivnog interesa učenika u pripremi za sesiju.

2. Ponavljanje gradiva na osnovu pitanja.

a) Definirajte funkciju.

Jedan od osnovnih matematičkih pojmova je koncept funkcije. Koncept funkcije povezan je sa uspostavljanjem odnosa između elemenata dva skupa.

Neka su dva neprazna skupa i. Poziva se podudaranje f koje odgovara svakom elementu sa jednim i samo jednim elementom funkcija i piše y = f(x). Također kažu da je funkcija f displeji mnogo na mnogo.

https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26"> se zove skup značenja funkcija f i označena je sa E(f).

b) Numeričke funkcije. Funkcijski graf. Metode za specificiranje funkcija.

Neka je funkcija data.

Ako su elementi skupova i realni brojevi, tada se poziva funkcija f numerička funkcija . Varijabla x se poziva argument ili nezavisna varijabla, i y – funkcija ili zavisna varijabla(od x). Što se tiče samih količina x i y, kaže se da su u funkcionalna zavisnost.

Funkcijski graf y = f(x) je skup svih tačaka Oxy ravni, za svaku od kojih je x vrijednost argumenta, a y odgovarajuća vrijednost funkcije.

Za specificiranje funkcije y = f(x), potrebno je specificirati pravilo koje dozvoljava, znajući x, da pronađe odgovarajuću vrijednost y.

Najčešća tri načina specificiranja funkcije su: analitički, tabelarni i grafički.

Analitička metoda: Funkcija je specificirana kao jedna ili više formula ili jednačina.

Na primjer:

Ako domena definicije funkcije y = f(x) nije navedena, onda se pretpostavlja da se poklapa sa skupom svih vrijednosti argumenta za koje odgovarajuća formula ima smisla.

Analitička metoda specificiranja funkcije je najnaprednija, jer uključuje metode matematičke analize koje omogućavaju potpuno proučavanje funkcije y = f(x).

Grafička metoda: Postavlja grafikon funkcije.

Prednost grafičkog zadatka je njegova jasnoća, a nedostatak je njegova nepreciznost.

Tabelarni metod: Funkcija je određena tablicom niza vrijednosti argumenata i odgovarajućih vrijednosti funkcije. Na primjer, dobro poznate tablice vrijednosti trigonometrijskih funkcija, logaritamske tablice.

c) Glavne karakteristike funkcije.

1. Poziva se funkcija y = f(x), definirana na skupu D čak , ako su ispunjeni uslovi i f(-x) = f(x); odd , ako su ispunjeni uslovi i f(-x) = -f(x).

Graf parne funkcije je simetričan oko ose Oy, a neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište. Na primjer, – parne funkcije; i y = sinx, https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" width="73" height="29"> – funkcije opšteg oblika, tj. ni parne ni neparne .

2. Neka je funkcija y = f(x) definirana na skupu D i neka je . Ako za bilo koju vrijednost argumenata slijedi sljedeća nejednakost: , tada se poziva funkcija povećanje na setu; Ako , tada se poziva funkcija neopadajući na https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" width="117" height="28 src="> tada se poziva funkcija. opadajući na ; - bez povećanja .

Povećajuće, nerastuće, opadajuće i neopadajuće funkcije na skupu https://pandia.ru/text/79/018/images/image023_0.gif" width="13" height="13">D vrijednost (x +T)D i vrijedi jednakost f(x+T) = f(x).

Da bi se nacrtao graf periodične funkcije perioda T, dovoljno ga je nacrtati na bilo kom segmentu dužine T i periodično ga nastaviti kroz čitav domen definicije.

Zapazimo glavna svojstva periodične funkcije.

1) Algebarski zbir periodičnih funkcija koje imaju isti period T je periodična funkcija s periodom T.

2) Ako funkcija f(x) ima period T, onda funkcija f(ax) ima period T/a.

d) Inverzna funkcija.

Neka je data funkcija y = f(x) sa domenom definicije D i skupom vrijednosti E..gif" width="48" height="22">, tada je funkcija x = z(y) sa domenom definicije E i definiranim skupom vrijednosti D. Takva funkcija z(y) se zove obrnuto na funkciju f(x) i zapisuje se u sljedećem obliku: . Kaže se da su funkcije y = f(x) i x = z(y) međusobno inverzne. Da bismo pronašli funkciju x = z(y), inverznu funkciji y = f(x), dovoljno je riješiti jednačinu f(x) = y za x.

Primjeri:

1. Za funkciju y = 2x inverzna funkcija je funkcija x = ½ y;

2. Za funkciju inverzna funkcija je funkcija .

Iz definicije inverzne funkcije slijedi da funkcija y = f(x) ima inverznu ako i samo ako f(x) specificira korespondenciju jedan prema jedan između skupova D i E. Slijedi da bilo koji striktno monotona funkcija ima inverznu . Štaviše, ako se funkcija povećava (smanjuje), tada se i inverzna funkcija također povećava (smanjuje).

3. Proučavanje novog gradiva.

Kompleksna funkcija.

Neka je funkcija y = f(u) definirana na skupu D, a funkcija u = z(x) na skupu i za odgovarajuću vrijednost . Tada je funkcija u = f(z(x)) definirana na skupu, koji se poziva složena funkcija od x (ili superpozicija specificirane funkcije, ili funkcija od funkcije ).

Poziva se varijabla u = z(x). međuargument složena funkcija.

Na primjer, funkcija y = sin2x je superpozicija dvije funkcije y = sinu i u = 2x. Kompleksna funkcija može imati nekoliko međuargumenata.

4. Rješavanje nekoliko primjera na tabli.

5. Zaključak lekcije.

1) teorijski i primenjeni rezultati praktičnog časa; diferencirana procjena nivoa mentalnog iskustva učenika; stepen ovladavanja temom, kompetencija, kvalitet usmenog i pismenog matematičkog govora; pokazani nivo kreativnosti; nivo nezavisnosti i refleksije; nivo inicijative, kognitivni interes za pojedinačne metode matematičkog mišljenja; stepen saradnje, intelektualna konkurencija, želja za visokim nivoom obrazovne i matematičke aktivnosti itd.;

2) objavljivanje obrazloženih ocjena, nastavnih bodova.