1.2 Spektralne karakteristike signala
Signali koji se koriste u radiotehnici imaju prilično složenu strukturu. Matematički opisati takve signale je teško. Stoga, da bi se pojednostavio postupak analize signala i prolaska kroz radiotehnička kola, koristi se tehnika koja omogućava dekompoziciju složenih signala u skup idealiziranih matematičkih modela opisanih elementarnim funkcijama.
Harmonska spektralna analiza periodičnih signala uključuje proširenje u Fourierov red u trigonometrijskim funkcijama - sinusima i kosinusima. Ove funkcije opisuju harmonijske oscilacije koje zadržavaju svoj oblik tokom konverzije pomoću linearnih uređaja (samo promjena amplitude i faze), što omogućava da se teorija oscilatornih sistema koristi za analizu svojstava radiotehničkih kola.
Fourierov red se može predstaviti kao
Praktična primjena ima još jedan oblik pisanja Fourierove serije
gdje je amplitudski spektar;
- fazni spektar.
Kompleksni oblik Fourierovog reda
Gore navedene formule se koriste za dobijanje spektralnog odgovora periodičnog signala. Fourierove transformacije se koriste za dobivanje spektra neperiodičnih signala.
Direktna Fourierova transformacija
Inverzna Fourierova transformacija
Izrazi (1.5), (1.6) su glavne relacije za dobijanje spektralnih karakteristika.
1.3 Svojstva Fourierove transformacije
Formule za direktnu i inverznu Fourierovu transformaciju omogućavaju određivanje njegove spektralne gustoće S (jω) iz signala s (t) i, ako je potrebno, određivanje signala s (t) iz poznate spektralne gustoće S (jω) . Za označavanje ove korespondencije između signala i njegovog spektra, koristi se simbol s (t) ↔ S (jω).
Koristeći svojstva Fourierovih transformacija, možete odrediti spektar modificiranog signala transformacijom spektra originalnog signala.
Osnovna svojstva:
1. Linearnost
s 1 (t) ↔ S 1 (jω)
s n (t) ↔ S n (jω)
_____________________
Koristimo direktnu Fourierovu transformaciju
Konačan rezultat
Zaključak: direktna Fourierova transformacija je linearna operacija, ima svojstva homogenosti i aditivnosti. Stoga je spektar zbira signala jednak zbiru spektra.
2. Spektar vremenski pomaknutog signala
s (t ± t 0) ↔ S c (jω)
Konačan rezultat
Zaključak: pomak signala u vremenu za iznos od ± t 0 dovodi do promjene fazne karakteristike spektra za iznos od ± ωt 0. Amplitudni spektar se ne mijenja.
3. Promjena skale u vremenu
s (αt) ↔ S m (jω)
Konačan rezultat
Zaključak: kada se signal kompresuje (proširuje) u vremenu za određeni broj, njegov spektar se širi (komprimuje) za istu količinu duž ose frekvencije uz proporcionalno smanjenje (povećanje) amplituda njegovih komponenti.
4. Spektar derivacije
ds (t) / dt↔ S p (jω).
Da bismo odredili spektar derivata signala, uzimamo vremenski izvod desne i lijeve strane inverzne Fourierove transformacije:
Konačan rezultat
Zaključak: spektar derivata signala jednak je spektru originalnog signala pomnoženom sa jω. U ovom slučaju, amplitudski spektar se mijenja proporcionalno promjeni frekvencije, a faznoj karakteristici originalnog signala dodaje se konstantna komponenta, jednaka π / 2 pri ω> 0 i jednaka -π / 2 pri ω
5. Spektar integrala
Uzmite integral desne i lijeve strane inverzne Fourierove transformacije
Upoređujući rezultat sa inverznom Fourierovom transformacijom, dobijamo
Konačan rezultat
Zaključak: spektar signala jednak integralu originalnog signala jednak je spektru originalnog signala podijeljenom sa jω. U ovom slučaju, amplitudski spektar se mijenja inverzno proporcionalno promjeni frekvencije, a faznoj karakteristici originalnog signala dodaje se konstantna komponenta, jednaka π / 2 pri ω 0.
6. Spektar proizvoda dva signala
s 1 (t) ↔ S 1 (jω)
s 2 (t) ↔ S 2 (jω)
s 1 (t) s 2 (t) ↔ S pr (jω).
Pronađite spektar proizvoda dva signala koristeći inverznu Fourierovu transformaciju
Konačan rezultat
Zaključak: Spektar proizvoda dva signala jednak je konvoluciji njihovih spektra, pomnoženom sa faktorom 1 / (2π).
U toku izračunavanja spektra signala koristiće se linearnost i integralna svojstva signala.
1.4 Klasifikacija i svojstva radio kola
U teorijskim osnovama radiotehnike značajno mjesto zauzimaju metode analize i sinteze različitih radiotehničkih kola. U ovom slučaju, radiotehnički krug se razumije kao skup pasivnih i aktivnih elemenata povezanih na određeni način, koji osiguravaju prolaz i funkcionalnu transformaciju signala. Pasivni elementi su otpornici, kondenzatori, prigušnice i sredstva za njihovo povezivanje. Aktivni elementi su tranzistori, vakuumske cijevi, izvori napajanja i drugi elementi koji mogu generirati energiju, povećavajući snagu signala. Ako postoji potreba da se naglasi funkcionalnost kola, koristi se termin uređaj umesto pojma kola. Radiotehnička kola koja se koriste za pretvaranje signala su vrlo raznolika po svom sastavu, strukturi i karakteristikama. U procesu njihovog razvoja i analitičkog istraživanja koriste se različiti matematički modeli koji zadovoljavaju zahtjeve adekvatnosti i jednostavnosti. U opštem slučaju, bilo koje radiotehničko kolo može se opisati formalizovanim odnosom koji određuje transformaciju ulaznog signala x (t) u izlazni y (t), koji se može simbolički predstaviti kao
gdje je T operator koji označava pravilo prema kojem se vrši transformacija ulaznog signala.
Dakle, skup operatora T i dva skupa X = (), Y = () signala na ulazu i izlazu kola mogu poslužiti kao matematički model radiotehničkog kola tako da
Po vrsti konverzije ulaznih signala u izlazne, tj. prema tipu operatera T, radio kola se klasifikuju.
1. Elektronsko kolo je linearno ako je operator T takav da kolo zadovoljava uvjete aditivnosti i homogenosti.
Karakteristično je da linearna transformacija signala bilo kojeg oblika nije praćena pojavom harmonijskih komponenti sa novim frekvencijama u spektru izlaznog signala, tj. linearna transformacija ne dovodi do obogaćivanja spektra signala.
2. Radiotehničko kolo je nelinearno ako operator T ne osigurava ispunjenje uslova aditivnosti i homogenosti. Funkcioniranje takvih kola opisano je nelinearnim diferencijalnim jednadžbama, tj. jednadžbi, čiji je barem jedan koeficijent funkcija ulaznog signala ili njegovih derivata. Nelinearna kola ne zadovoljavaju princip superpozicije. Kada se analizira prolazak signala kroz nelinearni krug, rezultat se definira kao odgovor na sam signal. Ne može se razložiti na jednostavnije signale. Istovremeno, nelinearna kola imaju vrlo važno svojstvo - da obogate spektar signala. To znači da se kod nelinearnih transformacija u spektru izlaznog signala pojavljuju harmonijske komponente sa frekvencijama koje nisu bile u spektru ulaznog signala. Moguća je i pojava komponenti sa frekvencijama jednakim kombinaciji frekvencija harmonijskih komponenti spektra ulaznog signala. Ovo svojstvo nelinearnih kola dovelo je do njihove upotrebe za rješavanje široke klase problema povezanih s generiranjem i konverzijom signala. Strukturno, linearna kola sadrže samo linearne elemente, koji uključuju nelinearne elemente koji rade u linearnom režimu (na linearnim dijelovima njihovih karakteristika). Linearna kola su linearni pojačivači, filteri, dugi vodovi, linije kašnjenja, itd. Nelinearna kola sadrže jedan ili više nelinearnih elemenata. Nelinearni krugovi uključuju generatore, detektore, modulatore, množitelje i frekventne pretvarače, limitatore itd.
Da bi se pojednostavile metode rješavanja problema mrežne analize, signali su predstavljeni kao zbir određenih funkcija.
Ovaj proces je potkrijepljen konceptom generaliziranog Fourierovog reda. U matematici je dokazano da se svaka funkcija koja zadovoljava Dirichletove uslove može predstaviti kao niz:
Da bismo odredili, pomnožimo lijevu i desnu stranu niza sa i uzmemo integral lijeve i desne strane:
za interval u kojem su zadovoljeni uslovi ortogonalnosti.
Može se vidjeti da. Dobili smo izraz za generalizirani Fourierov red:
Odaberimo određenu vrstu funkcije za proširenje serije signala. Kao takvu funkciju biramo ortogonalni sistem funkcija:
Da bismo odredili seriju, izračunavamo vrijednost:
Dakle, dobijamo:
Grafički, ova serija je predstavljena u obliku dva grafikona amplitudnih harmonijskih komponenti.
Rezultirajući izraz se može predstaviti kao:
Dobio drugi oblik snimanja trigonometrijskog Fourierovog niza. Grafički, ova serija je predstavljena u obliku dva grafikona – amplitudnog i faznog spektra.
Nađimo složeni oblik Fourierovog reda, za to koristimo Eulerove formule:
Spektar u ovom obliku je grafički predstavljen na osi frekvencije u opsegu.
Očigledno je da je spektar periodičnog signala, izražen u kompleksnom ili amplitudnom obliku, diskretan. To znači da spektar sadrži komponente sa frekvencijama
Spektralne karakteristike neperiodičnih signala
Pošto se jedan signal u radiotehnici smatra neperiodičnim signalom, da bismo pronašli njegov spektar, signal predstavljamo kao periodični sa periodom. Koristimo transformaciju Fourierovog reda za ovaj period. dobijamo za:
Analiza dobijenog izraza pokazuje da pri amplitudama komponente postaju beskonačno male i da se nalaze kontinuirano na osi frekvencije. Zatim, da bismo izašli iz ove situacije, koristimo koncept spektralne gustine:
Zamjenom rezultirajućeg izraza u složeni Fourierov red, dobijamo:
Konačno dobijamo:
Ovdje je spektralna gustina, a sam izraz je direktna Fourierova transformacija. Za određivanje signala iz njegovog spektra koristi se inverzna Fourierova transformacija:
Svojstva Fourierove transformacije
Iz formula direktne i inverzne Fourierove transformacije, očigledno je da ako se signal promijeni, onda će se promijeniti i njegov spektar. Sljedeća svojstva utvrđuju zavisnost spektra izmijenjenog signala od spektra signala prije promjena.
1) Svojstvo linearnosti Fourierove transformacije
Dobili smo da je spektar zbira signala jednak zbiru njihovih spektra.
2) Spektar vremenski pomaknutog signala
Otkrili smo da se kada se signal pomjeri, amplitudski spektar se ne mijenja, već se mijenja samo fazni spektar.
3) Promijenite vremensku skalu
odnosno pri širenju (sužavanju) signala nekoliko puta, spektar ovog signala se sužava (proširuje).
4) Spektar pomaka
5) Spektar derivacije signala
Uzmite derivaciju lijeve i desne strane inverzne Fourierove transformacije.
Vidimo da je spektar derivacije signala jednak spektru originalnog signala pomnoženog sa, odnosno mijenja se amplituda spektra i mijenja fazni spektar.
6) Integralni spektar signala
Uzmite integral lijeve i desne strane inverzne Fourierove transformacije.
Vidimo da je spektar derivacije signala jednak spektru originalnog signala podijeljenom sa,
7) Spektar proizvoda dva signala
Dakle, spektar proizvoda dva signala jednak je konvoluciji njihovih spektra pomnoženim sa koeficijentom
8) Svojstvo dualnosti
Dakle, ako spektar odgovara signalu, tada signal po obliku koji se poklapa sa gornjim spektrom odgovara spektru po obliku koji se poklapa sa gornjim signalom.
Oblik amplitudno-frekventne karakteristike nije ništa drugo do spektralna slika raspadanja sinusoidalni signal. Osim toga, kao što je poznato, amplitudno-frekvencijska karakteristika prijenosa jednog električnog oscilatornog kruga ima sličan oblik.
Odnos između oblika frekvencijskog odziva pojedinih uređaja i svojstava signala proučava se u osnovama teorijske elektrotehnike i teorijske radiotehnike. Ukratko, ono što bi nas sada od ovoga trebalo zainteresovati je sljedeće.
Amplitudno-frekvencijska karakteristika oscilatornog kruga u svojim obrisima poklapa se sa slikom frekvencijskog spektra signala koji nastaje prilikom pobuđivanja ovog oscilatornog kola. Da bi se ovo ilustrovalo, prikazana je slika 1-3, koja prikazuje prigušenu sinusoidu koja nastaje kada se udar primeni na oscilatorno kolo. Ovaj signal se daje na vrijeme O m ( a) i spektralni ( b) slika.
Rice. 1-3
Prema grani matematike koja se zove spektralno-vremenske transformacije, spektralna i vremenska slika istog procesa koji varira u vremenu su takoreći sinonimi, ekvivalentni su i identični jedno drugom. Ovo se može uporediti sa prevođenjem istog koncepta sa jednog jezika na drugi. Svako ko je upoznat sa ovim dijelom matematike će vam reći da su slike 1-3 a i 1-3 b su ekvivalentne jedna drugoj. Osim toga, spektralna slika ovog signala dobijena udarnom pobudom oscilatornog sistema (oscilatornog kola) je istovremeno geometrijski slična amplitudno-frekvencijskoj karakteristici samog ovog kola.
Lako je vidjeti da je graf ( b) na slici 1-3 geometrijski je sličan grafikonu 3 Vidi sliku 1-1. Odnosno, videći da je kao rezultat mjerenja dobijen graf 3 , odmah sam je tretirao ne samo kao amplitudno-frekvencijsku karakteristiku prigušenja zvuka u stijenama krova, već i kao dokaz prisustva oscilatornog sistema u stijenskoj masi.
S jedne strane, prisustvo oscilatornih sistema u stijenama koje leže na krovu podzemnog rudnika nije izazvalo nikakva pitanja za mene, jer je nemoguće dobiti sinusoidni (ili, drugim riječima, harmonični) signal na druge načine. S druge strane, nikada ranije nisam čuo za prisustvo oscilatornih sistema u debljini Zemlje.
Za početak, podsjetimo se definicije oscilatornog sistema. Oscilatorni sistem je objekat koji na udarni (impulsni) efekat reaguje prigušenim harmonijskim signalom. Ili, drugim riječima, riječ je o objektu s mehanizmom za pretvaranje impulsa (udara) u sinusoidu.
Parametri prigušenog sinusoidnog signala su frekvencija f 0 i faktor kvaliteta Q , čija je vrijednost obrnuto proporcionalna koeficijentu prigušenja. Kao što se može vidjeti na slici 1-3, oba ova parametra mogu se odrediti iz vremenske i spektralne slike ovog signala.
Spektralno-vremenske transformacije su samostalna grana matematike, a jedan od zaključaka koji moramo izvući iz znanja ovog odjeljka, kao i iz oblika amplitudno-frekventne karakteristike zvučne provodljivosti stijenske mase, prikazane u Slika 1-1 (kriva 3), je da su akustička svojstva proučavane stijenske mase pokazala svojstvo oscilatornog sistema.
Ovaj zaključak je sasvim očigledan svima koji su upoznati sa spektralno-vremenskim transformacijama, ali je kategorički neprihvatljiv za one koji se profesionalno bave akustikom čvrstih medija, seizmičkim istraživanjima ili geofizikom općenito. Dogodilo se da se ovaj materijal ne daje u toku nastave studenata ovih specijalnosti.
Kao što znate, u seizmičkim istraživanjima općenito je prihvaćeno da je jedini mehanizam koji određuje oblik seizmičkog signala širenje polja elastične vibracije prema zakonima geometrijske optike, njegov odraz od granica koje leže u debljini zemlje i smetnje između pojedinačnih komponenti signala. Vjeruje se da je oblik seizmičkih signala posljedica prirode interferencije između mnogih malih odjeka, odnosno refleksija od mnogih malih granica koje se javljaju u planinskom lancu. Osim toga, vjeruje se da se bilo koji valni oblik može dobiti pomoću smetnji.
Da, sve je to tačno, ali činjenica je da je harmonični (uključujući harmonijski opadajući) signal izuzetak. Nemoguće ga je dobiti ometanjem.
Sinusoida je elementarna informacijska cigla koja se ne može rastaviti na jednostavnije komponente, jer signal u prirodi ne postoji jednostavniji od sinusoide. Zbog toga je, inače, Fourierov niz skup upravo sinusoidnih članova. Kao elementarni, nedjeljivi informacijski element, sinusoida se ne može dobiti dodavanjem (interferacijom) bilo koje druge, čak i jednostavnije komponente.
Harmonični signal možete dobiti na jedan jedini način - naime, djelovanjem na oscilatorni sistem. Sa udarnim (impulsnim) udarom na oscilatorni sistem nastaje prigušena sinusoida, a s periodičnim ili šumnim udarom pojavljuje se neprigušena sinusoida. I stoga, nakon što smo vidjeli da je amplitudno-frekvencijska karakteristika određenog objekta geometrijski slična spektralnoj slici harmonijskog prigušenog signala, više nije moguće povezati se s ovim objektom drugačije osim s oscilatornim sistemom.
Prije svojih prvih mjerenja u rudniku, ja sam, kao i svi drugi ljudi koji rade u oblasti akustike čvrstih medija i seizmičkih istraživanja, bio uvjeren da u stijenskoj masi nema oscilatornih sistema i da ih ne može biti. Međutim, nakon što sam otkrio takvu amplitudno-frekventnu karakteristiku slabljenja, jednostavno nisam imao pravo ostati pri ovom mišljenju.
Izvođenje mjerenja sličnih gore opisanim je vrlo naporno, a obrada rezultata ovih mjerenja oduzima mnogo vremena. Stoga, uvidjevši da je stijenska masa oscilatorni sistem u smislu provodljivosti zvuka, shvatio sam da treba koristiti drugačiju mjernu shemu, koja se koristi u proučavanju oscilatornih sistema, a koju koristimo do danas. Prema ovoj shemi, izvor sondažnog signala je impulsni (udarni) udar na stijensku masu, a prijemnik je seizmički prijemnik posebno dizajniran za obavljanje spektralnih seizmičkih mjerenja. Šema indikacije i obrade seizmičkog signala omogućava njegovo promatranje iu vremenu iu spektralnom obliku.
Primjenjujući ovu mjernu šemu na istoj tački podzemnih radova kao u našem prvom mjerenju, uvjerili smo se da kada udarna stijenska masa krova udari udar, signal koji nastaje u ovom slučaju zaista ima oblik prigušene sinusoide, slično kao što je prikazano na slici 1. -3 a, a njegova spektralna slika je slična grafikonu prikazanom na slici 1-3 b.
Najčešće seizmički signal ne sadrži jednu, već nekoliko harmonijskih komponenti. Međutim, koliko god harmonijskih komponenti bilo, sve one nastaju isključivo zbog prisustva odgovarajućeg broja oscilatornih sistema.
Višestruka istraživanja seizmičkih signala dobijenih u različitim uslovima - kako u podzemnim radovima, tako i na površini zemlje, iu uslovima sedimentnog pokrivača, iu proučavanju stena kristalnog podruma - pokazala su da je u svim mogućim slučajevima , signali primljeni ne kao rezultat prisustva oscilatornih sistema, već kao rezultat procesa interferencije, ne postoje.
Fourierove slike - kompleksni koeficijenti Fourierovog reda F(j w k) periodični signal (1) i spektralnu gustinu F(j w) neperiodični signal (2) - imaju niz zajedničkih svojstava.
1. Linearnost . Integrali (1) i (2) izvršiti linearnu transformaciju funkcije f(t). Stoga je Fourierova slika linearne kombinacije funkcija jednaka sličnoj linearnoj kombinaciji njihovih slika. Ako f(t) = a 1 f 1 (t) + a 2 f 2 (t), onda F(j w) = a 1 F 1 (j w) + a 2 F 2 (j w), gdje F 1 (j w) i F 2 (j w) - Fourierove slike signala f 1 (t) i f 2 (t), respektivno.
2. Kašnjenje (promijenite vremensku referencu za periodične funkcije) . Uzmite u obzir signal f 2 (t), odgođen na neko vrijeme t 0 u odnosu na signal f 1 (t), koji ima isti oblik: f 2 (t) = f 1 (t – t 0). Ako je signal f 1 ima sliku F 1 (j w), zatim Fourierova slika signala f 2 jednako F 2 (j w) = = . Nakon množenja i dijeljenja sa, grupišemo pojmove na sljedeći način:
Pošto je zadnji integral F 1 (j w), onda F 2 (j w) = e -j w t 0 F 1 (j w) . Dakle, kada signal kasni neko vrijeme t 0 (promjena početka vremena), modul njegove spektralne gustine se ne mijenja, a argument se smanjuje za vrijednost w t 0 proporcionalno vremenu kašnjenja. Dakle, amplitude spektra signala ne zavise od porekla, a početne faze sa kašnjenjem od t 0 smanjenje za w t 0 .
3. Simetrija . Za validan f(t) slika F(j w) ima konjugiranu simetriju: F(– j w) = . Ako f(t) je parna funkcija, onda Im F(j w) = 0; za neparnu funkciju Re F(j w) = 0. Modul | F(j w) | i pravi dio Re F(j w) - parne funkcije frekvencije, argument arg F(j w) i Im F(j w) su neparni.
4. Diferencijacija . Iz formule direktne transformacije, integrirajući po dijelovima, dobijamo vezu između slike derivata signala f(t) sa slikom samog signala
Za apsolutno integrabilnu funkciju f(t) izvan integralnog člana jednaka je nuli, i, prema tome, na, a posljednji integral predstavlja Fourierovu sliku originalnog signala F(j w) . Dakle, Fourierova slika derivacije df/dt je povezan sa slikom samog signala omjerom j w F(j w) - prilikom razlikovanja signala, njegova Fourierova slika se množi sa j w. Isti odnos vrijedi i za koeficijente F(j w k), koji su određeni integracijom unutar konačnih granica od - T/ 2 do + T/2. Zaista, proizvod u odgovarajućim granicama
Budući da zbog periodičnosti funkcije f(T/2) = f(– T/ 2), a = = = (- 1) k, tada u ovom slučaju termin izvan integrala nestaje, a formula
gdje strelica simbolički označava operaciju direktne Fourierove transformacije. Ovaj odnos je generaliziran na višestruku diferencijaciju: for n-ti derivat imamo: d n f/dt n (j w) n F(j w).
Dobijene formule omogućavaju pronalaženje Fourierove slike izvoda funkcije iz njenog poznatog spektra. Također je zgodno primijeniti ove formule u slučajevima kada, kao rezultat diferencijacije, dođemo do funkcije čija se Fourierova slika jednostavnije izračunava. Sta ako f(t) je djelomično linearna funkcija, zatim njen izvod df/dt- komadna konstanta, a za nju je element direktne transformacije pronađen. Dobiti spektralne karakteristike integrala funkcije f(t) njegovu sliku treba podijeliti sa j w.
5. Dualnost vremena i frekvencije . Poređenjem integrala direktne i inverzne Fourierove transformacije dolazi se do zaključka o njihovoj osebujnoj simetriji, koja postaje očiglednija ako se formula inverzne transformacije prepiše prenošenjem faktora 2p na lijevu stranu jednakosti:
Za signal f(t), što je parna funkcija vremena f(– t) = f(t) kada je spektralna gustina F(j w) je stvarna vrijednost F(j w) = F(w), oba se integrala mogu prepisati u trigonometrijskom obliku pomoću Fourierove kosinusne transformacije:
Kada je zamjenjivo t i w, integrali direktne i inverzne transformacije se pretvaraju jedan u drugi. Otuda slijedi da ako F(w) predstavlja spektralnu gustinu parne funkcije vremena f(t), zatim funkcija 2p f(w) je spektralna gustina signala F(t). Za neparne funkcije f(t) [f(t) = – f(t)] spektralna gustina F(j w) čisto imaginarno [ F(j w) = jF(w)]. U ovom slučaju, Fourierovi integrali se svode na oblik sinusnih transformacija, iz čega slijedi da ako je spektralna gustina jF(w) odgovara neparnoj funkciji f(t), zatim količinu j 2p f(w) predstavlja spektralnu gustinu signala F(t). Dakle, grafovi vremenske zavisnosti signala naznačenih klasa i njihove spektralne gustine su međusobno dualni.
Integral (1)
Integral (2)
Spektralno i vremensko predstavljanje signala se široko koristi u radiotehnici. Iako su signali inherentno nasumični procesi, međutim, pojedinačne implementacije slučajnog procesa i neki posebni (na primjer, mjerni) signali mogu se smatrati determinističkim (tj. poznatim) funkcijama. Potonji se obično dijele na periodične i neperiodične, iako striktno periodični signali ne postoje. Signal se naziva periodičnim ako zadovoljava uslov
na vremenskom intervalu, gdje je T konstanta, koja se zove period, a k je bilo koji cijeli broj.
Najjednostavniji primjer periodičnog signala je harmonijski val (ili skraćeno harmonik).
gdje je amplituda, = frekvencija, ugaona frekvencija, početna faza harmonika.
Važnost koncepta harmonika za teoriju i praksu radiotehnike objašnjava se nizom razloga:
- harmonični signali zadržavaju svoj oblik i frekvenciju kada prolaze kroz stacionarne linearne električne krugove (na primjer, filtere), mijenjajući samo amplitudu i fazu;
- Harmonični signali se mogu lako generisati (npr. sa LC auto-generatorima).
Neperiodični signal je signal koji je različit od nule u konačnom vremenskom intervalu. Neperiodični signal se može smatrati periodičnim, ali sa beskonačno velikim periodom. Jedna od glavnih karakteristika neperiodičnih signala je njegov spektar. Spektar signala je funkcija koja pokazuje ovisnost intenziteta različitih harmonika u signalu, o frekvenciji tih harmonika. Spektar periodičnog signala je zavisnost koeficijenata Fourierovog reda o frekvenciji harmonika kojima ti koeficijenti odgovaraju. Za neperiodični signal, spektar je direktna Fourierova transformacija signala. Dakle, spektar periodičnog signala je diskretni spektar (diskretna funkcija frekvencije), dok je neperiodični signal karakteriziran kontinuiranim spektrom (kontinuiranim) spektrom.
Imajte na umu da diskretni i kontinuirani spektri imaju različite dimenzije. Diskretni spektar ima istu dimenziju kao i signal, dok je dimenzija kontinuiranog spektra jednaka odnosu dimenzije signala prema dimenziji frekvencije. Ako je, na primjer, signal predstavljen električnim naponom, tada će se diskretni spektar mjeriti u voltima [V], a kontinuirani spektar u voltima po hercu [V / Hz]. Stoga se izraz "spektralna gustina" također koristi za kontinuirani spektar.
Razmotrimo prvo spektralnu reprezentaciju periodičnih signala. Iz kursa matematike je poznato da svaka periodična funkcija koja zadovoljava Dirichletove uslove (jedan od neophodnih uslova je uslov da je energija konačna) može biti predstavljena Fourierovim redom u trigonometrijskom obliku:
gdje određuje prosječnu vrijednost signala tokom perioda i naziva se konstantna komponenta. Frekvencija se naziva osnovna frekvencija signala (frekvencija prvog harmonika), a njeni višekratnici se nazivaju viši harmonici. Izraz (3) se može predstaviti kao:
Inverzne zavisnosti za koeficijente a i b imaju oblik
Slika 1 prikazuje tipičan grafikon spektra amplituda periodičnog signala za trigonometrijski oblik serije (6):
Korištenje izraza (Eulerova formula).
umjesto (6), možemo napisati složeni oblik Fourierovog reda:
gdje se koeficijent naziva kompleksne amplitude harmonika, čije su vrijednosti, kako slijedi iz (4) i Eulerove formule, određene izrazom:
Uspoređujući (6) i (9), primjećujemo da kada se koristi složeni oblik pisanja Fourierovog reda, negativne vrijednosti k nam omogućavaju da govorimo o komponentama sa "negativnim frekvencijama". Međutim, pojava negativnih frekvencija ima formalni karakter i povezana je sa upotrebom složene notacije za predstavljanje važećeg signala.
Tada umjesto (9) dobijamo:
ima dimenziju [amplituda/herc] i pokazuje amplitudu signala po 1 Hertz opsegu. Stoga se ova kontinuirana funkcija frekvencije S (jw) naziva spektralna gustina kompleksnih amplituda ili jednostavno spektralna gustina. Napomenimo jednu važnu okolnost. Upoređujući izraze (10) i (11), uočavamo da se za w = kwo razlikuju samo za konstantan faktor, a
one. kompleksne amplitude periodične funkcije s periodom T mogu se odrediti iz spektralne karakteristike neperiodične funkcije istog oblika, specificirane u intervalu. Isto vrijedi i za modul spektralne gustine:
Iz ovog odnosa slijedi da se omotač kontinuiranog amplitudskog spektra neperiodičnog signala i omotač amplituda linijskog spektra periodičnog signala poklapaju po obliku i razlikuju se samo po mjerilu. Izračunajmo sada energiju neperiodičnih signala. Pomnoživši obje strane nejednakosti (14) sa s (t) i integrirajući u beskonačnim granicama, dobivamo:
gdje su S (jw) i S (-jw) kompleksne konjugirane veličine. Jer
Ovaj izraz se zove Parsevalova jednakost za neperiodični signal. Određuje ukupnu energiju signala. Iz ovoga slijedi da ne postoji ništa više od energije signala po 1 Hz frekvencijskog pojasa oko frekvencije w. Stoga se funkcija ponekad naziva spektralna gustoća energije signala s (t). Sada predstavljamo, bez dokaza, nekoliko teorema o spektrima koji izražavaju osnovna svojstva Fourierove transformacije.
Spektralne karakteristike se koriste za procjenu unutrašnjeg sastava (spektra) signala. Za ovo, signal x (t) predstavljaju u obliku generalizovanog Fourierovog reda, proširujući ga u smislu sistema baznih funkcija T k (t)
gdje C do - konstantni koeficijenti koji odražavaju doprinos funkcije H ^ (?) formiranju vrijednosti signala u razmatranom vremenskom intervalu.
Sposobnost predstavljanja kompleksnog signala x (t) u obliku zbira jednostavnih signala "RDO se pokazuje posebno važnim za linearne dinamičke sisteme. U takvim sistemima, princip superpozicije, tj. njihova reakcija na zbir uticaja (signala) jednaka je zbiru reakcija na svaki od uticaja posebno. Dakle, poznavajući reakciju linearnog sistema na jednostavan signal, moguće je, sumiranjem rezultata, odrediti njegovu reakciju na bilo koji drugi složeni signal.
Odabir funkcija Y k (t) podliježe zahtjevima maksimalne tačnosti aproksimacije signala x (t) serije (7.21) sa minimalnim brojem članova ove serije i, ako je moguće, smanjenjem računskih poteškoća koje nastaju pri određivanju koeficijenata serije C.
Kao osnovne funkcije, najšire korištene su realne trigonometrijske funkcije
i složene eksponencijalne funkcije
Na njima se zasniva klasična spektralna analiza signala. Istovremeno je moguće koristiti i druge sisteme baznih funkcija (funkcije Taylora, Walsha, Laguerrea, Hermitea, Legendrea, Chebysheva, Kotelnikova, itd. 121), što u nizu slučajeva dozvoljava, uzimajući u obzir specifičnosti. aproksimirane funkcije x (t), smanjiti broj članova u seriji (7.21) uz zadržavanje navedene greške aproksimacije.
Poslednjih godina pojavio se novi, vrlo perspektivan sistem osnovnih funkcija, tzv talasi. Za razliku od harmonijskih funkcija, one su u stanju, mijenjajući svoj oblik i svojstva, da se prilagode lokalnim karakteristikama signala koji se približava. Kao rezultat, postaje moguće jednostavno predstaviti složene signale (uključujući one s lokalnim skokovima i diskontinuitetima) skupovima talasa jednog ili drugog tipa.
Kada se koriste trigonometrijske bazne funkcije (7.22), red (7.21) poprima oblik klasičnog trigonometrijskog Fourierovog reda
gdje je Q = 2p / T frekvencija osnovnog harmonika serije (G je period signala); k = 1, 2, 3, ... je cijeli broj; ak, bk su realni brojevi (Fourierovi koeficijenti) izračunati prema formulama
U ovim formulama, kao i ranije (vidi (7.20)), t 0 - proizvoljan broj koji se može izabrati iz razloga pogodnosti pri izračunavanju integrala (7.25), budući da su vrijednosti ovih integrala veličine t 0 ne zavise; x T (t) - osnovni signalni impuls (vidi sliku 7.3, v).
Koeficijent a 0 određuje udvostručenu prosječnu (u toku perioda) vrijednost signala, preostale koeficijente a k> b k (k= 1, 2, 3, ...) - doprinos To-th harmonik Fourierovog reda (7.24) u formiranju trenutnih vrijednosti signala X(?).
Trigonometrijski Fourierov red (7.24) može se napisati u dva druga oblika: u obliku proširenja u sinusima
i u obliku ekspanzije u kosinusima
gdje A 0/2 = a 0/2 - konstantna komponenta signala; A k - amplituda k-and harmonike serije, izračunate po formuli
Početne faze ovih harmonika se izračunavaju iz relacija
Skup amplituda harmonijskih komponenti periodičnog signala (A do) °? = ( pozvao amplitudnog spektra ovaj signal. Skup početnih faza ovih komponenti (φ / ^) ^ = 1 - fazni spektar signal.
Koristeći 5-Diracovu funkciju 8 (?), oba spektra mogu biti predstavljena rešetkaste funkcije frekvencija
tp amplituda i fazni spektri periodičnog signala su diskretno spektri. Ovo razlikuje periodični signal od drugih signala kontinuiranog spektra.
Dakle, periodični signal se može predstaviti kao zbir harmonika (7.24). U ovom slučaju, frekvencija svake harmonijske komponente Fourierovog reda je višekratnik osnovne frekvencije λ2, koja ovisi o periodu signala T.
Što je više takvih harmonika, manja je greška u aproksimaciji funkcije x (t) konačni zbir Furijeovog reda (7.24). Izuzetak su tačke diskontinuiteta funkcije x (i). U blizini takvih tačaka, tzv Gibbsov fenomen 2 |. Prema ovom fenomenu, u blizini tačaka diskontinuiteta, konačni sumi Fourierovog reda
formiraju oscilirajuće "repove", čija se visina ne smanjuje s povećanjem broja uzetih u obzir harmonika Fourierovog reda N - to je oko 9% vrijednosti skoka funkcije x (t) na tački prekida.
Za izračunavanje amplitude i početne faze k-tog harmonika periodičnog signala, umjesto formula (7.28) i (7.29), mogu se koristiti formule
gdje X t = X t (p) = L (x T (t)) index T varijabla X - Laplaceova slika pulsa osnovnog signala, određena formulom (vidi Dodatak 2)
ja - imaginarna jedinica; & = 0,1,2, ... je pozitivan cijeli broj. Upotreba ovih formula eliminira potrebu za izračunavanjem integrala (7.25), što uvelike pojednostavljuje proračune. Pokažimo primjer takvog izračuna.
Primjer 7.1
Odredite amplitudski spektar periodičnog signala Rješenje
Na sl. 7.3, a, prikazan je grafikon takvog signala. Može se vidjeti da signal ima period T= ja. Prema tome, frekvencija osnovnog harmonika odgovarajućeg Fourierovog reda (7.24) jednaka je Q = 2p / T = 2 s -1. Uzimanje t 0 = 0, x T (t) = greh? (za 0 t 
Rice. 73.
a - talasni oblik; b - amplitudskog spektra signala
dakle, A 0/2 = 2 / n, A k= 4 / i (4 & 2 - 1), SCH= l, gdje k= 1,2,3, tj. proširenje funkcije |sin (?) | u trigonometrijskom Fourierovom redu ima oblik
Bilješka: ovdje smo uzeli f / = l (a ns y k = 0) zbog upotrebe znaka minus ispred zbira harmonika serije.
Na sl. 7.3, b prikazuje amplitudski spektar signala koji se razmatra. Vrijednost amplitude ?-th harmonika serije I to predstavljen vertikalnim segmentom odgovarajuće dužine, u čijoj osnovi je naznačen harmonijski broj.
Treba imati na umu da su amplitude I to neki harmonici Fourierovog reda mogu biti nula. Osim toga, monotono smanjenje amplituda ovih harmonika s povećanjem harmonijskog broja nije obavezno, kao što je slučaj na Sl. 7.3, b.
Međutim, u svim slučajevima uslov lim I to= 0, što proizilazi iz zahtjeva
konvergencija Fourierovog reda.
Rešimo zadatak pomoću formula (7.32). Da bismo to učinili, prvo pronalazimo Laplaceovu sliku osnovnog signalnog impulsa x T (t)
Zamena ovde p = ikQ = 2ik(gde i- imaginarna jedinica, k= 1, 2, 3, ...), dobijamo da se poklapa sa prethodnim rezultatima.
U tehničkim aplikacijama često se koristi složeni oblik zapisa Fourierovog niza
U ovom slučaju kompleksne eksponencijalne funkcije (7.23) se koriste kao osnovne funkcije. Dakle, koeficijenti C n redovi (7.36) postaju kompleks... Izračunavaju se po formuli
gdje je, kao u formuli (7.6), varijabla indeksa P može biti pozitivan ili negativan cijeli broj.
Kada se koristi složeni oblik Fourierovog reda (7.36) amplitudnog spektra periodični signal x (t) nazvati skup apsolutnih vrijednosti kompleksnih Fourierovih koeficijenata C n
a spektar faza- mnogi glavni argumenti ovih koeficijenata
Mnoge količine (SA%) ^> = _ se poziva spektar snage periodični signal i skup kompleksnih brojeva (C n - spektralni niz periodični signal. Upravo ove tri karakteristike (amplitudski spektar, fazni spektar i spektar snage) se odnose na glavne spektralne karakteristike periodičnog signala.
Za razliku od amplitudnog i faznog spektra periodičnog signala, predstavljenog u obliku trigonometrijskog Fourierovog niza (7.24), spektri istog signala, ucrtani pomoću kompleksnih Fourierovih koeficijenata (7.37), pokazuju se kao dvostrano. Ovo je posledica prisustva u (7.36) "negativnih frekvencija" on.(za negativne vrijednosti P). Ovi drugi, naravno, ne postoje u stvarnosti. Oni samo odražavaju reprezentaciju eksponencijalne harmonijske funkcije koja se koristi u formiranju složenog Fourierovog reda f ~ t u obliku jediničnog vektora koji se rotira u smjeru kazaljke na satu ugaonom brzinom ω.
Ako postoji Laplaceova slika osnovnog pulsa periodičnog signala X T (p) = L (x T (t)), tada se amplitudski spektar i fazni spektar periodičnog signala mogu izračunati po formulama
Algoritmi tzv brza Fourierova transformacija, zahvaljujući čemu je moguće smanjiti vrijeme izračunavanja Furijeovih koeficijenata toliko da se spektri signala tokom njihove obrade dobijaju praktično u realnom vremenu.
U zaključku, ističemo tri najvažnija svojstva spektralnih karakteristika periodičnog signala.
- 1. Ako x (t) - je parna funkcija, tada su imaginarne komponente svih kompleksnih Fourierovih koeficijenata Im (C w) jednake nuli i, naprotiv, ako je ova funkcija neparna, tada su realne komponente svih kompleksnih Fourierovih koeficijenata Re (C „) jednak nuli.
- 2. Na tački prekida prve vrste t = t r funkcije x (t) Zbir Fourierove serije S (t) jednak je poluzbiru graničnih vrijednosti funkcije kako se argument približava tački diskontinuiteta t = t r lijevo i desno, tj.
Bilješka: ako funkcija vrijedi x (€) na krajevima + D) osnovnog impulsa x T (t) nisu jednake jedna drugoj, onda sa periodičnim nastavkom pulsa, ove tačke postaju tačke diskontinuiteta prve vrste.
3. Snage periodičnog signala u vremenskom i frekventnom domenu su međusobno jednake, tj.
Ovaj odnos izražava Parsevalova teorema.
Prisutnost u formuli (7.36) "negativnih frekvencija" nQ.(za god
