Napone karakterizira numerička vrijednost i smjer, odnosno naprezanje je vektor nagnut pod jednim ili drugim uglom u odnosu na presjek koji se razmatra.
Neka sila F deluje u tački M nekog preseka tela duž neke male površine A pod određenim uglom u odnosu na površinu (slika 63, a). Podijeleći ovu silu F sa površinom A, nalazimo prosječni napon koji nastaje u tački M (slika 63, b):
Pravi naponi u tački M određuju se pri prelasku do granice
Vektorska količina R pozvao puna napetost u tački.
Puna napetost R može se razložiti na komponente: duž normale (okomito) na mjesto A i tangencijalno na njega (slika, 63, c).
Komponenta normalnog naprezanja naziva se normalni napon u datoj tački presjeka i označava se grčkim slovom (sigma); tangencijalna komponenta naziva se posmično naprezanje i označava se grčkim slovom (tau).
Normalno naprezanje usmjereno iz presjeka smatra se pozitivnim, usmjereno prema presjeku - negativnim.
Normalni naponi nastaju kada, pod djelovanjem vanjskih sila, čestice koje se nalaze s obje strane presjeka teže da se udalje jedna od druge ili da se približe jedna drugoj. Tangencijalni naponi nastaju kada se čestice pomjeraju jedna u odnosu na drugu u ravnini presjeka.
Tangencijalni napon se može razložiti duž koordinatnih osa na dvije komponente i (slika 1.6, c). Prvi indeks kod pokazuje koja je osa okomita na presjek, a drugi - paralelno s kojom osom djeluje napon. Ako smjer posmičnog naprezanja nije bitan u proračunima, označava se bez indeksa.
Postoji veza između ukupnog stresa i njegovih komponenti
Napon pri kojem se materijal raspada ili dolazi do primjetnih plastičnih deformacija naziva se granični napon.
Kao što je gore navedeno, unutrašnje sile koje djeluju u određenom presjeku sa strane odbačenog dijela tijela mogu se svesti na glavni vektor i glavni moment. Popravi točku M u odsjeku koji se razmatra sa jediničnim normalnim vektorom n... U blizini ove tačke odaberite malo područje F... Glavni vektor unutrašnjih sila koje djeluju na ovo mjesto je označen sa P(sl. 1 a). Sa smanjenjem veličine stranice, respektivno
Slika 1. Sastav vektora naprezanja.
a) vektor ukupnog napona b) vektor normalnih i tangencijalnih napona
glavni vektor i glavni moment unutrašnjih sila opadaju, a glavni moment u većoj mjeri opada. U limitu na dobijamo
Slično ograničenje za glavni obrtni moment je nula. Vektor uveden na ovaj način p n pozvao vektor napona u tački. Ovaj vektor ne ovisi samo o vanjskim silama koje djeluju na tijelo i koordinatama dotične tačke, već i o orijentaciji mjesta u prostoru. F karakteriziran vektorom NS... Skup svih vektora naprezanja u jednoj tački M za sve moguće smjerove vektora NS određuje stanje naprezanja u ovom trenutku.
U općem slučaju, smjer vektora naprezanja p n ne odgovara smjeru normalnog vektora NS. Projekcija vektora n na pravac vektora n naziva se normalnim naprezanjem, a projekcija na ravan koja prolazi kroz tačku M i ortogonalna je na vektor n , napon smicanja(sl. 1 b).
Dimenzija napona jednaka je omjeru dimenzije sile i dimenzije površine. U međunarodnom sistemu jedinica SI jedinica, naponi se mjere u paskalima: 1 Pa = 1 N / m 2.
Pod djelovanjem vanjskih sila, uz pojavu naprezanja, mijenja se volumen tijela i njegov oblik, odnosno tijelo se deformiše. Istovremeno se razlikuju početno (nedeformisano) i konačno (deformisano) stanje tela.
Nedeformisano telo upućujemo na Dekartov koordinatni sistem Oxyz(sl. 2). Položaj tačke M u ovom koordinatnom sistemu je određen radijus vektorom r (x, y, z). U deformisanom stanju, tačka Mće zauzeti novu poziciju M /, karakteriše radijus vektor r" (x, y, z). Vector u = r"—r pozvao vektor, pomak bodova M. Vektorske projekcije u komponente vektora pomaka određene su na koordinatnim osa u (x, y, z), v (x, y, z), w (x, y, z), jednake razlike kartezijanskih koordinata tačke tijela nakon i prije deformacije.
Kretanje, u kojem se relativni položaj tačaka tijela ne mijenja, nije praćeno deformacijama. U ovom slučaju kažu da se tijelo kreće kao kruta cjelina (linearno kretanje u prostoru ili rotacija oko neke tačke). S druge strane, deformacija povezana s promjenom oblika tijela i njegovog volumena je nemoguća bez pomicanja njegovih točaka.
Slika 2. Kompozicija vektora pomaka
Deformacije tijela karakteriziraju se promjenom relativnog položaja tačaka tijela prije i nakon deformacije. Razmotrite, na primjer, poentu M i tačka blizu toga N, rastojanje između njih u nedeformisanom stanju duž pravca vektora s biće označeno sa (slika 2). U deformisanom stanju tačke M i N premjestit će se na novu poziciju (poeni M " i N '), udaljenost između kojih je označena sa s ". Granica omjera
pozvao relativna linearna deformacija u tački M u pravcu vektora s, slika 3. Uzimajući u obzir tri međusobno okomita smjera, na primjer, duž koordinatnih osa Ooh ooh i Oz, dobijamo tri komponente relativnih linearnih deformacija koje karakterišu promjenu volumena tijela u procesu deformacije.
Da biste opisali deformacije povezane s promjenom oblika tijela, razmotrite točku M i dvije tačke blizu njega N i R, nalazi u nedeformisanom stanju u pravcu dva međusobno ortogonalna vektora s 1 i s 2... Rastojanja između tačaka će biti označena sa i (slika 4). U deformiranom stanju, položaj tačaka se označava sa M ", N" i R". Ugao između segmenata M "N" i GOSPODIN" u opštem slučaju će se razlikovati od direktnog. At , naziva se promjena ugla između dva ortogonalna pravca prije deformacije ugaona deformacija. Kao što se vidi sa Sl. 4, ugaona deformacija je zbir dva ugla i povezana je sa rotacijama segmenata linije M'N " i GOSPODIN""u ravni koju formiraju vektori s 1 i s 2, u odnosu na ove vektore. Ako su data tri međusobno ortogonalna vektora usmjerena duž koordinatnih osa, tada postoje tri kutne deformacije, i , koji, zajedno sa tri linearne deformacije, i potpuno odrediti deformirano stanje u tački.
Slika 3. Linearni deformacioni sastav 
Rice. 4. Sastav ugaone deformacije
STRESNO STANJE U TAČKU. STRESS TENSOR
Vektor stresa p n je fizički objekt koji ima dužinu, smjer i tačku vezivanja. U tom smislu, ima vektorska svojstva. Međutim, ovaj objekt ima neka svojstva koja nisu tipična za vektore. Konkretno, veličina i smjer vektora naprezanja zavise od orijentacije vektora n normale infinitezimalnog elementa površine dF. Zbirka svih mogućih parova vektora n, p n u tački definiše napetom stanju na ovom mjestu. Međutim, za potpuni opis stanja naprezanja u tački, nije potrebno specificirati beskonačan skup pravaca vektora n, dovoljno je odrediti vektore naprezanja na tri međusobno okomita elementarna područja. Naponi na proizvoljno orijentiranim jastučićima mogu se izraziti u terminima ova tri vektora naprezanja. U budućnosti, predavač namjerno mijenja orijentaciju koordinata. Tako da je osovina Z- uzdužnu os drveta, i X i Y- koordinate bilo koje tačke njenog poprečnog presjeka.
Hajde da prođemo kroz tačku M tri međusobno okomite ravni sa normalnim vektorima, čiji se pravci poklapaju sa pravcima koordinatnih osa. Elementarne platforme su formirane dodatnim sekcijama paralelnim s prvobitnim ravnima i udaljenim od njih na beskonačno malim udaljenostima dx, dy, dz. Kao rezultat toga, u blizini tačke M dobijamo beskonačno mali paralelepiped čiju površinu čine elementarne površine dF x = dydz, dF n == dxdz, dF i = dxdy. Vektori stresa p x , p y , p z, koji rade na elementarnim lokacijama prikazani su na sl. 5.
Razložimo svaki vektor napona na komponente duž koordinatnih osa (slika 6). Svaka stranica ima jednu normalan napon , , , gdje indeks označava smjer vektora normale prema mjestu i dva naponi smicanja sa dva indeksa, od kojih prvi označava smjer djelovanja komponente naprezanja, drugi - smjer vektora normale prema mjestu.
Rice. 5. Stanje ravnoteže beskonačno malog paralelepipeda 
Slika 6. Komponente tenzora naprezanja
Skup od devet komponenti naprezanja (po tri na svakoj od tri međusobno okomite površine) je fizički objekt tzv. tenzor naprezanja u tački. Tenzor se može predstaviti kao matrica raspoređivanjem devet komponenti u skladu s tim:
Za komponente tenzora napona općenito je prihvaćeno sljedeće pravilo predznaka: komponenta se smatra pozitivnom ako je na području s pozitivnom vanjskom normalom (tj. usmjerenom duž jedne od koordinatnih osa) ova komponenta usmjerena prema pozitivan smjer odgovarajuće ose. Na sl. 6 sve komponente tenzora napona prikazane su kao pozitivne. Na područjima s negativnom vanjskom normalom (lice paralelepipeda, koje se ne vide na slikama 5 i 6), pozitivna komponenta je usmjerena u suprotnom smjeru. Naponi na tri međusobno ortogonalna područja s negativnim normalnim smjerovima također karakteriziraju stanje naprezanja u tački. Ovi naponi, koji su komponente tenzora naprezanja, određuju se slično naponima na područjima s pozitivnom normalom. Označeni su istim simbolima i imaju pozitivan smjer suprotan onom prikazanom na sl. 6.
voltaža naziva se intenzitet djelovanja unutrašnjih sila u nekoj tački tijela, odnosno stres je unutrašnji napor po jedinici površine. Po svojoj prirodi, napetost je ona koja nastaje na unutrašnjim površinama dodirnih dijelova tijela. Napon, kao i intenzitet vanjskog površinskog opterećenja, izražava se u jedinicama sile po jedinici površine: Pa = N / m 2 (MPa = 10 6 N / m 2, kgf / cm 2 = 98 066 Pa ≈ 10 5 Pa, tf/m2, itd.).
Odaberimo malo područje ∆A... Unutrašnja sila koja djeluje na njega označava se sa ∆ \ vec (R). Ukupni prosječni napon na ovoj lokaciji je \ vec (p) = ∆ \ vec (R) / ∆A. Nađimo granicu ovog omjera na ∆A \ prema 0. To će biti puna napetost na datom mjestu (tački) tijela.
\ textstyle \ vec (p) = \ lim _ (\ Delta A \ do 0) (\ Delta \ vec (R) \ preko \ Delta A)
Ukupni napon \ vec p, kao i rezultanta unutrašnjih sila primijenjenih na elementarnom mjestu, je vektorska veličina i može se razložiti na dvije komponente: okomito na mjesto koje se razmatra - normalno naprezanje σ n i tangenta na mjesto - posmično naprezanje \ tau_n. Evo n- normalno na odabrano područje.
Zauzvrat, tangencijalni napon se može razložiti na dvije komponente paralelne s koordinatnim osa x, y povezan s poprečnim presjekom - \ tau_ (nx), \ tau_ (ny). U nazivu posmičnog naprezanja, prvi indeks označava normalu na mjesto, drugi indeks pokazuje smjer posmičnog napona.
$$ \ vec (p) = \ lijevo [\ matrica (\ sigma _n \\ \ tau _ (nx) \\ \ tau _ (nx)) \ desno] $$
Imajte na umu da se u nastavku nećemo baviti uglavnom ukupnim naprezanjem \ vec p, već njegovim komponentama σ_x, \ tau _ (xy), \ tau _ (xz). U općem slučaju na mjestu se mogu pojaviti dvije vrste naprezanja: normalni σ i tangencijalni τ .
Tenzor napona
Prilikom analize napona u blizini tačke koja se razmatra, beskonačno mali volumetrijski element (paralelepiped sa stranicama dx, dy, dz), na čijoj svakoj strani, u opštem slučaju, djeluju tri napona, na primjer, za lice okomito na os x (površinu x) - σ_x, \ tau _ (xy), \ tau _ (xz)Komponente naprezanja duž tri okomite strane elementa formiraju sistem naprezanja opisan posebnom matricom - tenzor naprezanja
$$ T _ \ sigma = \ lijevo [\ matrica (
\ sigma _x & \ tau _ (yx) & \ tau _ (zx) \\
\ tau _ (xy) & \ sigma _y & \ tau _ (zy) \\ \ tau _ (xz) & \ tau _ (yz) & \ sigma _z
) \ desno] $$
Ovdje prvi stupac predstavlja komponente naprezanja na jastučićima,
normalna na os x, druga i treća na os y i z, respektivno.
Prilikom rotacije koordinatnih osa koje se poklapaju s normalama na lica odabranih
elementa, komponente naprezanja se mijenjaju. Rotacijom odabranog elementa oko koordinatnih osa možete pronaći poziciju elementa na kojoj su sva posmična naprezanja na rubovima elementa jednaka nuli.
Područje na kojem su posmična naprezanja jednaka nuli naziva se glavna platforma .
Normalni napon na glavnoj lokaciji naziva se glavni stres
Zove se normala na glavnu lokaciju glavna osa naprezanja .
U svakoj tački mogu se nacrtati tri međusobno okomita glavna mjesta.
Kada se rotiraju koordinatne ose, komponente napona se mijenjaju, ali se naponsko-deformacijsko stanje tijela (SSS) ne mijenja.
Unutrašnje sile su rezultat dovođenja unutrašnjih sila primijenjenih na elementarne površine do centra poprečnog presjeka. Napon je mjera koja karakterizira raspodjelu unutrašnjih sila po presjeku.
Pretpostavimo da znamo napon na svakom elementarnom mjestu. Tada možete napisati:
Uzdužna sila na gradilištu dA: dN = σ z dA
Smična sila duž x-ose: dQ x = \ tau (zx) dA
Smična sila duž y-ose: dQ y = \ tau (zy) dA
Elementarni momenti oko x, y, z osi: $$ \ begin (niz) (lcr) dM _x = σ _z dA \ cdot y \\ dM _y = σ _z dA \ cdot x \\ dM _z = dM _k = \ tau _ (zy) dA \ cdot x - \ tau _ (zx) dA \ cdot y \ end (niz) $$
Nakon integracije po površini poprečnog presjeka, dobijamo:
Odnosno, svaki unutrašnji napor je ukupan rezultat djelovanja naprezanja na cijelom poprečnom presjeku tijela.
Mjera intenziteta unutrašnjih sila raspoređenih po presjecima su naponi - sile po jedinici površine presjeka. Odaberite u blizini tačke B mala površina Δ F(sl. 3.1). Neka bude Δ R- rezultanta unutrašnjih sila koje djeluju na ovoj lokaciji. Zatim prosječna vrijednost unutrašnjih sila po jedinici površine Δ F razmatrane lokacije će biti jednak:
Rice. 3.1. Prosječan napon na lokaciji
Magnituda strm pozvao srednji napon... Karakterizira prosječan intenzitet unutrašnjih sila. Smanjenjem veličine površine, u granici dobijamo
Magnituda str naziva se pravi napon ili jednostavno napon u datoj tački datog presjeka.
Jedinica naprezanja je paskal, 1 Pa = 1 N / m 2. Budući da će stvarne vrijednosti napona biti izražene u vrlo velikim brojevima, treba koristiti višestruke vrijednosti jedinica, na primjer, MPa (megapascal) 1 MPa = 106 N / m 2.
Naponi su, kao i sile, vektorske veličine. Na svakoj tački dijela tijela totalni stres str može se razložiti na dvije komponente (slika 3.2):
1) komponenta normalna na ravninu presjeka. Ova komponenta se zove normalan napon i označeno σ ;
2) komponenta koja leži (u ravnini preseka. Ova komponenta se označava τ i pozvao napon smicanja... Tangencijalni napon, ovisno o djelovanju sila, može imati bilo koji smjer u ravnini presjeka. Radi pogodnosti τ predstavljaju u obliku dvije komponente u smjeru koordinatnih osa. Prihvaćene oznake napona prikazane su na sl. 3.2
Normalni napon ima indeks koji pokazuje koja je koordinatna osa paralelna datom naprezanju. Vlačni normalni napon se smatra pozitivnim, tlačni - negativnim... Oznake tangencijalnih napona imaju dva indeksa: prvi označava koja je os paralelna s normalom na područje djelovanja ovog napona, a drugi označava koja je os paralelna sa samim naponom. Dekompozicija ukupnog naprezanja na normalno i tangencijalno ima određeno fizičko značenje. Normalno naprezanje nastaje kada se čestice materijala udaljavaju jedna od druge ili, obrnuto, približavaju se. Smična naprezanja su povezana sa posmikom čestica materijala duž ravnine presjeka.
Rice. 3.2. Dekompozicija vektora ukupnog napona
Ako mentalno izrežete element u obliku beskonačno male kocke oko neke točke tijela, tada će u općenitom slučaju naprezanja prikazana na sl. 3.3. Skup naprezanja na svim elementarnim mjestima koji se mogu povući kroz bilo koju tačku tijela pozvao stresno stanje u datom trenutku.
Izračunavamo zbir momenata svih elementarnih sila koje djeluju na element (slika 3.3), u odnosu na koordinatne osi, pa npr. za os x uzimajući u obzir ravnotežu elementa, imamo:
