Promjena varijable u neodređenom integralu koristi se za pronalaženje integrala u kojima je jedna od funkcija derivacija druge funkcije. Neka postoji integral $ \int f(x) dx $, napravimo zamjenu $ x=\phi(t) $. Imajte na umu da je funkcija $ \phi(t) $ diferencibilna, tako da možemo pronaći $ dx = \phi"(t) dt $.
Sada zamjenjujemo $ \begin(vmatrix) x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end(vmatrix) $ u integral i dobijamo:
$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$
Ovaj je formula za promjenu varijable u neodređenom integralu.
Algoritam metode zamjene varijable
Dakle, ako je problem zadan integralom oblika: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ Preporučljivo je zamijeniti varijablu novom: $$ t = \phi(x) $ $ $$ dt = \phi"(t) dt $$
Nakon ovoga, integral će biti predstavljen u obliku koji se lako može uzeti osnovnim metodama integracije: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t) dt $$
Ne zaboravite da vratite zamijenjenu varijablu nazad na $x$.
Primjeri rješenja
| Primjer 1 |
|
Pronađite neodređeni integral koristeći metodu promjene promjenljive: $$ \int e^(3x) dx $$ |
| Rješenje |
|
Varijablu u integralu zamjenjujemo sa $t = 3x, dt = 3dx $: $$ \int e^(3x) dx = \int e^t \frac(dt)(3) = \frac(1)(3) \int e^t dt = $$ Integral eksponencijala je i dalje isti prema tablici integracije, iako umjesto $ x $ piše $ t $: $$ = \frac(1)(3) e^t + C = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo dati detaljno rješenje. Moći ćete vidjeti napredak izračunavanja i dobiti informacije. Ovo će vam pomoći da blagovremeno dobijete ocjenu od svog nastavnika! |
| Odgovori |
| $$ \int e^(3x) dx = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ |
Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.
Edukativni zadaci:
- naučiti studente da koriste metod integracije supstitucijom;
- nastaviti razvijati vještine u korištenju integracije funkcija;
- nastaviti razvijati interesovanje za matematiku kroz rješavanje problema;
- negovati svjestan odnos prema procesu učenja, usađivati osjećaj odgovornosti za kvalitet znanja, ostvarivati samokontrolu nad procesom rješavanja i osmišljavanja vježbi;
- podsjetiti da će samo svjesna upotreba algoritama za izračunavanje neodređenog integrala omogućiti studentima da kvalitetno savladaju temu koja se proučava.
Pružanje časova:
- tabela osnovnih integracionih formula;
- kartice zadataka za testni rad.
Učenik mora znati: algoritam za izračunavanje neodređenog integrala metodom supstitucije.
Učenik mora biti sposoban da: primijeniti stečeno znanje na izračunavanje neodređenih integrala.
Motivacija kognitivne aktivnosti učenika.
Nastavnik navodi da pored metode direktne integracije postoje i druge metode za izračunavanje neodređenih integrala, od kojih je jedna metoda zamjene. Ovo je najčešći metod integracije složene funkcije, koji se sastoji od transformacije integrala prelaskom na drugu integracijsku varijablu.
Napredak lekcije
I. Organiziranje vremena.
II. Provjera domaćeg.
Frontalna anketa:
III. Ponavljanje osnovnih znanja učenika.
1) Ponovite tabelu osnovnih integracijskih formula.
2) Ponovite šta je metoda direktne integracije.
Direktna integracija je metoda integracije u kojoj se dati integral svodi na jedan ili više tabličnih integrala pomoću identičnih transformacija integrala i primjene svojstava neodređenog integrala.
IV. Učenje novog gradiva.
Nije uvijek moguće izračunati dati integral direktnom integracijom, a ponekad je to povezano s velikim poteškoćama. U tim slučajevima se koriste druge tehnike. Jedna od najefikasnijih tehnika je metoda zamjene ili zamjene integracione varijable. Suština ove metode je da je uvođenjem nove integracione varijable moguće dati integral svesti na novi integral, koji je relativno lako direktno uzeti. Ako nakon promjene varijable integral postane jednostavniji, onda je svrha zamjene postignuta. Integracija metodom supstitucije zasniva se na formuli
Razmotrimo ovu metodu.
Algoritam proračunaneodređeni integral metodom supstitucije:
- Odredite na koji se tablični integral ovaj integral svodi (nakon prve transformacije integrala, ako je potrebno).
- Odredite koji dio integranda treba zamijeniti novom varijablom i zapišite ovu zamjenu.
- Pronađite diferencijale oba dijela zapisa i izrazite diferencijal stare varijable (ili izraza koji sadrži ovaj diferencijal) u terminima diferencijala nove varijable.
- Izvršite zamjenu ispod integrala.
- Pronađite rezultujući integral.
- Kao rezultat, vrši se obrnuta zamjena, tj. idite na staru varijablu. Korisno je provjeriti rezultat diferencijacijom.
Pogledajmo primjere.
Primjeri. Pronađite integrale:
1) )4
Hajde da uvedemo zamenu:
Razlikujući ovu jednakost, imamo:
V. Primjena znanja pri rješavanju tipičnih primjera.
VI. Samostalna primjena znanja, vještina i sposobnosti.
Opcija 1
Pronađite integrale:
Opcija 2
Pronađite integrale:
VII. Sumiranje lekcije.
VIII. Zadaća:
G.N. Jakovljev, dio 1, §13.2, stav 2, br. 13.13 (1,4,5), 13.15 (1,2,3)
Metoda se zasniva na sljedećoj formuli: ò f(x)dx = ò f(j(t)) j`(t) dt, gdje je x = j(t) funkcija diferencibilna na intervalu koji se razmatra.
Dokaz. Nađimo izvode u odnosu na varijablu t s lijeve i desne strane formule.
Imajte na umu da se na lijevoj strani nalazi kompleksna funkcija čiji je međuargument x = j(t). Stoga, da bismo ga diferencirali s obzirom na t, prvo diferenciramo integral s obzirom na x, a zatim uzimamo derivaciju međuargumenata u odnosu na t.
(ò f(x)dx)` t = (ò f(x)dx)` x *x` t = f(x) j`(t)
Derivat sa desne strane:
(ò f(j(t)) j`(t) dt)` t = f(j(t)) j`(t) = f(x) j`(t)
Budući da su ovi derivati jednaki, prema korollaciji Lagrangeovog teorema, lijeva i desna strana formule koja se dokazuje razlikuju se za određenu konstantu. Pošto su sami neodređeni integrali definisani do neodređenog konstantnog člana, ova konstanta se može izostaviti iz konačne notacije. Dokazan.
Uspješna promjena varijable omogućava vam da pojednostavite originalni integral, au najjednostavnijim slučajevima ga svedete na tabelarni. U primjeni ove metode pravi se razlika između metoda linearne i nelinearne zamjene.
a) Razmotrimo metodu linearne zamjene na primjeru.
Primjer 1.. Neka je onda t = 1 – 2x
dx = d(½ - ½ t) = - ½ dt
Treba napomenuti da nova varijabla ne mora biti eksplicitno ispisana. U takvim slučajevima se govori o transformaciji funkcije pod predznakom diferencijala ili o uvođenju konstanti i varijabli pod diferencijalnim predznakom, tj. O implicitna zamjena varijable.
Primjer 2. Na primjer, pronađimo òcos(3x + 2)dx. Prema svojstvima diferencijala
dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), zatim òcos(3x + 2)dx = ò(1/3)cos(3x + 2)d(3x +
+ 2) = (1/3)òcos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) + C.
U oba razmatrana primjera, za pronalaženje integrala korištena je linearna supstitucija t = kx + b (k ¹ 0).
U općem slučaju vrijedi sljedeća teorema.
Teorema linearne zamjene. Neka je F(x) neki antiderivat funkcije f(x). Tada je òf(kx + b)dx = (1/k)F(kx + b) + C, gdje su k i b neke konstante, k ¹ 0.
Dokaz.
Po definiciji integrala, òf(kx + b)d(kx + b) = F(kx + b) + C. Ho
d(kx + b)= (kx + b)`dx = kdx. Uzmimo konstantni faktor k izvan predznaka integrala: kòf(kx + b)dx = F(kx + b) + C. Sada možemo podijeliti lijevu i desnu stranu jednakosti sa k i dobiti tvrdnju koju treba dokazati do oznake konstantnog pojma.
Ova teorema kaže da ako u definiciji integrala ò f(x)dx = F(x) + C umjesto argumenta x zamijenimo izraz (kx + b), to će dovesti do pojave dodatnog faktor 1/k ispred antiderivata.
Koristeći dokazanu teoremu rješavamo sljedeće primjere.
Primjer 3.
Hajde da ga nađemo. Ovdje je kx + b = 3 – x, tj. k = -1, b = 3. Tada
Primjer 4.
Hajde da ga nađemo. Ovdje je kx + b = 4x + 3, tj. k = 4, b = 3. Tada
Primjer 5.
Hajde da ga nađemo. Ovdje je kx + b = -2x + 7, tj. k = -2, b = 7. Tada
.
Primjer 6. Hajde da ga nađemo. Ovdje je kx + b = 2x + 0, tj. k = 2, b = 0.
.
Uporedimo dobijeni rezultat sa primjerom 8, koji je riješen metodom dekompozicije. Rješavajući isti problem koristeći drugu metodu, dobili smo odgovor 
. Uporedimo rezultate: . Dakle, ovi izrazi se međusobno razlikuju po konstantnom članu, tj. Dobijeni odgovori nisu u suprotnosti.
Primjer 7. Naći ćemo 
. Odaberimo savršen kvadrat u nazivniku.
U nekim slučajevima, promjena varijable ne reducira integral direktno na tablični, ali može pojednostaviti rješenje, što omogućava korištenje metode proširenja u sljedećem koraku.
Primjer 8. Na primjer, pronađimo . Zamijenimo t = x + 2, a zatim dt = d(x + 2) = dx. Onda
,
gdje je C = C 1 – 6 (pri zamjeni izraza (x + 2) umjesto t, umjesto prva dva člana dobijamo ½x 2 -2x – 6).
Primjer 9. Hajde da ga nađemo. Neka je t = 2x + 1, tada je dt = 2dx; dx = ½ dt; x = (t – 1)/2.
Zamijenimo izraz (2x + 1) za t, otvorimo zagrade i damo slične.
Imajte na umu da smo u procesu transformacija prešli na drugi konstantni pojam, jer grupa konstantnih termina mogla bi biti izostavljena tokom procesa transformacije.
b) Razmotrimo metodu nelinearne zamjene na primjeru.
Primjer 1.. Neka je t = - x 2 . Zatim bi se moglo izraziti x u terminima t, zatim pronaći izraz za dx i implementirati promjenu varijable u željeni integral. Ali u ovom slučaju je lakše učiniti stvari drugačije. Nađimo dt = d(-x 2) = -2xdx. Imajte na umu da je izraz xdx faktor integranda željenog integrala. Izrazimo to iz rezultirajuće jednakosti xdx = - ½ dt. Onda
= ò (- ½)e t dt = (- ½)ò e t dt = (- ½)e t + C = (- ½) + C
Pogledajmo još nekoliko primjera.
Primjer 2. Hajde da ga nađemo. Neka je t = 1 - x 2 . Onda
Primjer 3. Hajde da ga nađemo. Neka je t = . Onda
;
Primjer 4. U slučaju nelinearne supstitucije, takođe je zgodno koristiti implicitnu supstituciju varijable.
Na primjer, pronađimo . Napišimo xdx =
= (-1/4)d(3 - 2x 2) (implicitno zamijenjeno varijablom t = 3 - 2x 2). Onda
Primjer 5. Naći ćemo 
. Ovdje također uvodimo varijablu pod predznakom diferencijala: 
(implicitna zamjena t = 3 + 5x 3). Onda
Primjer 6. Hajde da ga nađemo. Zbog ,
Primjer 7. Hajde da ga nađemo. Od tada
Pogledajmo nekoliko primjera u kojima postaje potrebno kombinirati različite zamjene.
Primjer 8. Naći ćemo 
. Neka
t = 2x + 1, tada je x = (t – 1)/2; dx = ½ dt.
Primjer 9. Naći ćemo 
. Neka
t = x - 2, tada je x = t + 2; dx = dt.
Integracija promjenom varijable (metoda zamjene) jedna je od najčešćih metoda za pronalaženje integrala.
Svrha uvođenja nove varijable je da se pojednostavi integracija. Najbolja opcija je zamijeniti varijablu i dobiti tabelarni integral u odnosu na novu varijablu. Kako odrediti koju zamjenu treba napraviti? Vještine dolaze s iskustvom. Što se više primjera riješi, brže se rješavaju sljedeći. U početnoj fazi koristimo sljedeće rezonovanje:
To je. ako pod predznakom integrala vidimo proizvod neke funkcije f(x) i njenog izvoda f '(x), onda se ova funkcija f(x) mora uzeti kao nova varijabla t, pošto je diferencijal dt=f '(x )dx već postoji.
Pogledajmo kako funkcioniše metoda zamjene varijable na konkretnim primjerima.
Izračunajte integrale koristeći metodu zamjene varijable:
Ovdje je 1/(1+x²) izvod funkcije arktan x. Stoga, uzimamo arctan x kao novu varijablu t. Zatim ćemo koristiti:
Nakon što smo pronašli integral od t, vršimo obrnutu zamjenu:
Ako uzmemo sinus kao t, onda mora postojati i njegov izvod, kosinus (do predznaka). Ali u integrandu nema kosinusa. Ali ako uzmemo eksponent kao t, sve funkcionira:
Da biste dobili željeni diferencijal dt, promijenite predznak u brojiocu i ispred integrala:
(Ovdje (ln(cosx))’ - . )
Zamjena polinoma ili. Ovdje je polinom stepena, na primjer, izraz je polinom stepena.
Recimo da imamo primjer:
Koristimo metodu zamjene varijable. Šta mislite da bi trebalo uzeti u obzir? U redu, .
Jednačina postaje:
Izvodimo obrnutu promjenu varijabli:
Rešimo prvu jednačinu:
Hajde da odlučimo sekunda jednadžba:
… Šta to znači? Tačno! Da nema rješenja.
Tako smo dobili dva odgovora - ; .
Razumijete li kako koristiti metodu zamjene varijable za polinom? Vježbajte da ovo radite sami:
Odlučili? Hajde sada da proverimo glavne tačke sa vama.
Moraš to uzeti.
Dobijamo izraz:
Rješavajući kvadratnu jednačinu, nalazimo da ona ima dva korijena: i.
Rješenje prve kvadratne jednadžbe su brojevi i
Rješavanje druge kvadratne jednadžbe - brojevi i.
Odgovori: ; ; ;
Hajde da sumiramo
Metoda zamjene varijabli ima glavne tipove zamjene varijabli u jednadžbama i nejednačinama:
1. Zamjena snage, kada uzmemo kao neku nepoznatu, podignutu na stepen.
2. Zamjena polinoma, kada za cijeli izraz uzmemo nepoznanicu.
3. Frakcijsko-racionalna zamjena, kada uzmemo bilo koju relaciju koja sadrži nepoznatu varijablu.
Bitan savjetovati prilikom uvođenja nove varijable:
1. Zamjena varijabli mora se izvršiti odmah, prvom prilikom.
2. Jednačina za novu varijablu se mora riješiti do kraja i tek onda vratiti na staru nepoznanicu.
3. Kada se vraćate na izvornu nepoznatu (i zaista kroz cijelo rješenje), ne zaboravite provjeriti korijene za ODZ.
Nova varijabla se uvodi na sličan način, kako u jednačine tako i u nejednačine.
Pogledajmo 3 problema
Odgovori na 3 problema
1. Neka, tada izraz poprima oblik.
Budući da može biti i pozitivno i negativno.
odgovor:
2. Neka, tada izraz poprima oblik.
nema resenja jer...
odgovor:
3. Grupisanjem dobijamo:
Neka onda izraz poprimi oblik
.
odgovor:
ZAMJENA VARIJABLI. PROSJEČAN NIVO.
Zamjena varijabli- ovo je uvođenje nove nepoznanice, u odnosu na koju jednačina ili nejednačina ima jednostavniji oblik.
Navest ću glavne vrste zamjene.
Zamjena snage
Zamjena snage.
Na primjer, korištenjem zamjene, bikvadratna jednadžba se reducira na kvadratnu: .
U nejednakostima je sve slično.
Na primjer, napravimo zamjenu u nejednakosti i dobijemo kvadratnu nejednakost: .
Primjer (odlučite sami):
Rješenje:
Ovo je frakciono-racionalna jednačina (ponavljanje), ali je rješavanje uobičajenom metodom (svođenje na zajednički nazivnik) nezgodno, jer ćemo dobiti jednačinu stepena, pa se koristi promjena varijabli.
Sve će postati mnogo lakše nakon zamjene: . onda:
Hajde da to uradimo obrnuta zamjena:
Odgovor: ; .
Zamjena polinoma
Zamjena polinoma ili.
Ovdje je polinom stepena, tj. izraz forme
(na primjer, izraz je polinom stepena, tj.).
Najčešće korištena zamjena za kvadratni trinom je: ili.
primjer:
Riješite jednačinu.
Rješenje:
I opet se koristi zamjena varijabli.
Tada će jednačina poprimiti oblik:
Korijeni ove kvadratne jednadžbe su: i.
Imamo dva slučaja. Napravimo obrnutu zamjenu za svaku od njih:
To znači da ova jednadžba nema korijen.
Korijeni ove jednačine su: i.
Odgovori. .
Razlomno-racionalna zamjena
Razlomno-racionalna zamjena.
i su polinomi stepeni i, respektivno.
Na primjer, kod rješavanja recipročnih jednačina, odnosno jednačina oblika
obično se koristi zamjena.
Sada ću vam pokazati kako to funkcionira.
Lako je provjeriti šta nije korijen ove jednačine: na kraju krajeva, ako to zamijenimo u jednačinu, dobićemo ono što je u suprotnosti sa uslovom.
Podijelimo jednačinu na:
Hajde da se pregrupišemo:
Sada pravimo zamjenu: .
Ljepota toga je da kada se kvadrira dvostruki proizvod članova, x se smanjuje:
Iz toga slijedi.
Vratimo se našoj jednadžbi:
Sada je dovoljno riješiti kvadratnu jednačinu i izvršiti obrnutu zamjenu.
primjer:
Riješite jednačinu: .
Rješenje:
Dakle, kada jednakost ne važi. Podijelimo jednačinu na:
Jednačina će poprimiti oblik:
Njegovi koreni:
Napravimo obrnutu zamjenu:
Riješimo rezultirajuće jednačine:
Odgovor: ; .
Drugi primjer:
Riješite nejednakost.
Rješenje:
Direktnom zamjenom smo uvjereni da ona nije uključena u rješenje ove nejednakosti. Podelite brojilac i imenilac svakog razlomka sa:
Sada je zamjena varijable očigledna: .
Tada će nejednakost poprimiti oblik:
Koristimo metodu intervala da pronađemo y:
pred svima, jer
pred svima, jer
Dakle, nejednakost je ekvivalentna sljedećem:
pred svima, jer...
To znači da je nejednakost ekvivalentna sljedećem: .
Dakle, ispada da je nejednakost ekvivalentna agregatu:
Odgovor: .
Zamjena varijabli- jedna od najvažnijih metoda za rješavanje jednačina i nejednačina.
Na kraju ću vam dati nekoliko važnih savjeta:
ZAMJENA VARIJABLI. SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE.
Zamjena varijabli- metoda za rješavanje složenih jednadžbi i nejednačina, koja vam omogućava da pojednostavite izvorni izraz i dovedete ga u standardni oblik.
Vrste varijabilne zamjene:
- Zamjena snage: uzima se kao neka nepoznata, podignuta na stepen - .
- Razlomno-racionalna zamjena: svaka relacija koja sadrži nepoznatu varijablu uzima se kao - , gdje su i polinomi stupnjeva n i m, redom.
- Zamjena polinoma: cijeli izraz koji sadrži nepoznato uzima se kao - ili, gdje je polinom stepena.
Nakon rješavanja pojednostavljene jednačine/nejednačine potrebno je izvršiti obrnutu zamjenu.
