Iracionalna funkcija varijable je funkcija koja se formira od varijable i proizvoljnih konstanti korištenjem konačnog broja operacija sabiranja, oduzimanja, množenja (povišenja na cijeli broj), dijeljenja i vađenja korijena. Iracionalna funkcija se razlikuje od racionalne po tome što iracionalna funkcija sadrži operacije za vađenje korijena.
Postoje tri glavna tipa iracionalnih funkcija, čiji se neodređeni integrali svode na integrale racionalnih funkcija. To su integrali koji sadrže korijene proizvoljnih cijelih stupnjeva iz linearne frakcijske funkcije (korijeni mogu biti različitih stupnjeva, ali iz iste linearne frakcijske funkcije); integrali diferencijalnog binoma i integrali s kvadratnim korijenom kvadratnog trinoma.
Važna napomena. Korijeni su dvosmisleni!
Prilikom izračunavanja integrala koji sadrže korijene, često se susreću izrazi oblika, gdje je neka funkcija varijable integracije. Treba to imati na umu. To jest, za t> 0, |t | = t... Na t< 0, |t | = - t. Stoga je prilikom izračunavanja ovakvih integrala potrebno posebno razmotriti slučajeve t> 0 i t< 0 ... To se može učiniti ispisivanjem znakova ili gdje je potrebno. Uz pretpostavku da se gornji znak odnosi na slučaj t> 0 , a donji - na slučaj t< 0 ... Daljnjom transformacijom ovi znakovi se po pravilu međusobno poništavaju.
Moguć je i drugi pristup, u kojem se integrand i rezultat integracije mogu posmatrati kao složene funkcije kompleksnih varijabli. Tada ne možete pratiti znakove u radikalnim izrazima. Ovaj pristup je primjenjiv ako je integrand analitičan, odnosno diferencijabilna funkcija kompleksne varijable. U ovom slučaju, i integrand i njegov integral su viševrijedne funkcije. Dakle, nakon integracije, prilikom zamjene numeričkih vrijednosti, potrebno je odabrati jednoznačnu granu (Rimannova površina) integrala, a za nju odabrati odgovarajuću granu rezultata integracije.
Frakcijska linearna iracionalnost
Ovo su integrali s korijenima iste linearne frakcijske funkcije:
,
gdje je R racionalna funkcija, su racionalni brojevi, m 1, n 1, ..., m s, n s su cijeli brojevi, α, β, γ, δ su realni brojevi.
Takvi se integrali supstitucijom svode na integral racionalne funkcije:
, gdje je n zajednički imenitelj brojeva r 1, ..., r s.
Korijeni ne moraju nužno biti iz linearne frakcijske funkcije, već i iz linearne (γ = 0, δ = 1), ili na varijablu integracije x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).
Evo primjera takvih integrala:
,
.
Integrali diferencijalnih binoma
Integrali diferencijalnih binoma su:
,
gdje su m, n, p racionalni brojevi, a, b realni brojevi.
Takvi se integrali svode na integrale racionalnih funkcija u tri slučaja.
1) Ako je p cijeli broj. Zamjena x = t N, gdje je N zajednički imenitelj razlomaka m i n.
2) Ako - cijeli. Zamjena a x n + b = t M, gdje je M imenilac p.
3) Ako - cijeli. Zamjena a + b x - n = t M, gdje je M imenilac p.
U drugim slučajevima, takvi integrali se ne izražavaju u terminima elementarnih funkcija.
Ponekad se takvi integrali mogu pojednostaviti korištenjem redukcijskih formula:
;
.
Integrali koji sadrže kvadratni korijen kvadratnog trinoma
Takvi integrali su u obliku:
,
gdje je R racionalna funkcija. Postoji nekoliko metoda rješenja za svaki takav integral.
1)
Uz pomoć transformacija dovesti do jednostavnijih integrala.
2)
Primijenite trigonometrijske ili hiperboličke zamjene.
3)
Primijenite Eulerove zamjene.
Pogledajmo bliže ove metode.
1) Transformacija integranda
Primjenom formule i izvođenjem algebarskih transformacija dovodimo integrand u oblik:
,
gdje su φ (x), ω (x) racionalne funkcije.
Tip I
Integral forme:
,
gdje je P n (x) polinom stepena n.
Takvi integrali se nalaze metodom nedefiniranih koeficijenata koristeći identitet:
.
Diferencirajući ovu jednačinu i izjednačavajući lijevu i desnu stranu, nalazimo koeficijente A i.
II tip
Integral forme:
,
gdje je P m (x) polinom stepena m.
Zamjena t = (x - α) -1 ovaj integral se svodi na prethodni tip. Ako je m ≥ n, tada treba odabrati cijeli dio razlomka.
III tip
Ovdje vršimo zamjenu:
.
Tada će integral poprimiti oblik:
.
Nadalje, konstante α, β moraju biti odabrane tako da koeficijenti na t u nazivniku nestanu:
B = 0, B 1 = 0.
Tada se integral razlaže u zbir integrala dva tipa:
,
,
koji su integrisani supstitucijama:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2.
2) Trigonometrijske i hiperboličke zamjene
Za integrale oblika, a > 0
,
imamo tri glavne zamjene:
;
;
;
Za integrale, a > 0
,
imamo sljedeće zamjene:
;
;
;
I konačno, za integrale, a > 0
,
zamjene su sljedeće:
;
;
;
3) Ojlerove zamjene
Također, integrali se mogu svesti na integrale racionalnih funkcija jedne od tri Eulerove zamjene:
, za a> 0;
, za c> 0;
, gdje je x 1 korijen jednačine a x 2 + b x + c = 0. Ako ova jednadžba ima realne korijene.
Eliptički integrali
U zaključku, razmotrite integrale oblika:
,
gdje je R racionalna funkcija,. Takvi integrali se nazivaju eliptični. Općenito, one se ne izražavaju u terminima elementarnih funkcija. Međutim, postoje slučajevi kada postoje relacije između koeficijenata A, B, C, D, E u kojima su takvi integrali izraženi u terminima elementarnih funkcija.
Ispod je primjer koji se odnosi na povratne polinome. Izračunavanje takvih integrala vrši se korištenjem supstitucija:
.
Primjer
Izračunaj integral:
.
Rješenje
Napravićemo zamenu.
.
Evo, za x> 0
(u> 0
) uzimamo gornji znak ′ + ′. Za x< 0
(u< 0
) - niže ' - '.
.
Odgovori
Reference:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka iz više matematike, "Lan", 2003.
Recimo Ahilej trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči ovu udaljenost, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahilej pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.
Ovo razmišljanje je bilo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju i sada, naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike ; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje za ovo pitanje..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu je obmana.
Sa stanovišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz od veličine do. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za korišćenje promenljivih mernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne mjerne jedinice vremena na recipročno. Sa fizičke tačke gledišta, to izgleda kao dilatacija vremena dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada je Ahilej u ravni sa kornjačom. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može prestići kornjaču.
Ako preokrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept „beskonačnosti“, tada bi bilo ispravno reći „Ahilej će beskrajno brzo sustići kornjaču“.
Kako možete izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u stalnim vremenskim jedinicama i ne vraćajte se unazad. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:
Za vrijeme u kojem će Ahilej pretrčati hiljadu koraka, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. U sljedećem vremenskom intervalu, jednakom prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahil osamsto koraka ispred kornjače.
Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o neprevaziđenosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Još moramo proučiti, preispitati i riješiti ovaj problem. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.
Još jedna zanimljiva aporija Zenona govori o letećoj streli:
Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.
U ovoj aporiji logički paradoks je prevaziđen vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela počiva na različitim tačkama u prostoru, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Da bi se utvrdila činjenica kretanja automobila, potrebne su dvije fotografije, snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali je nemoguće odrediti udaljenost od njih. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih tačaka u svemiru u isto vrijeme, ali one ne mogu utvrditi činjenicu kretanja (naravno, dodatni podaci su i dalje potrebni za proračune, pomoći će vam trigonometrija). Ono na šta želim da skrenem posebnu pažnju jeste da su dve tačke u vremenu i dve tačke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.
Srijeda, 4. jula 2018
Razlika između skupa i višeskupa je veoma dobro dokumentovana na Wikipediji. Gledamo.
Kao što vidite, "ne mogu postojati dva identična elementa u skupu", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiset". Takvu logiku apsurda razumna bića nikada neće razumjeti. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, kojima nedostaje inteligencija od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.
Jednom su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta tokom ispitivanja mosta. Ako se most srušio, nesposobni inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Kada bi most mogao da izdrži opterećenje, talentovani inženjer bi izgradio druge mostove.
Koliko god se matematičari krili iza fraze "čur, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.
Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo na kasi i dijelimo plate. Dolazi nam matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i rasporedimo na našem stolu u različite hrpe, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim sa svake gomile uzimamo po jednu novčanicu i predajemo matematičaru njegov „matematički set plate“. Objasnimo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.
Prije svega, funkcionirat će logika poslanika: "Možete primijeniti na druge, ne možete primijeniti na mene!" Nadalje, počećemo da nas uvjeravamo da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Dobro, računajmo platu u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar početi mahnito prisjećati fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma u svakom novčiću je jedinstven...
A sada imam najzanimljivije pitanje: gdje je linija iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka ovde nije ležala ni blizu.
Pogledati ovdje. Odabiremo fudbalske stadione sa istim terenom. Površina polja je ista, što znači da imamo multiset. Ali ako uzmemo u obzir imena istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što možete vidjeti, isti skup elemenata je i skup i višestruki skup u isto vrijeme. Kako je to tačno? I ovdje matematičar-šaman-šuler vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.
Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazaću vam, bez ikakvog "zamislivog kao ni jedne celine" ili "nezamislivog kao celine".
Nedjelja, 18.03.2018
Zbir cifara broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na časovima matematike nas uče da pronađemo zbir cifara broja i koristimo ga, ali zato su oni šamani da bi svoje potomke naučili svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.
Trebate dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu Suma cifara broja. Ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbir cifara bilo kojeg broja. Na kraju krajeva, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a na jeziku matematike zadatak zvuči ovako: "Pronađi zbir grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani - to je elementarno.
Hajde da vidimo šta i kako radimo da bismo pronašli zbir cifara datog broja. I tako, neka nam je broj 12345. Šta treba učiniti da se nađe zbir cifara ovog broja? Prođimo kroz sve korake redom.
1. Zapisujemo broj na komad papira. Šta smo uradili? Konvertovali smo broj u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.
2. Jednu rezultirajuću sliku izrežemo na nekoliko slika koje sadrže odvojene brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.
3. Pretvorite pojedinačne grafičke simbole u brojeve. Ovo nije matematička operacija.
4. Zbrojite rezultirajuće brojeve. To je matematika.
Zbir cifara 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.
Sa stanovišta matematike, nije bitno u kom sistemu brojeva zapisujemo broj. Dakle, u različitim brojevnim sistemima, zbir cifara istog broja će biti različit. U matematici, sistem brojeva je označen kao indeks desno od broja. Sa velikim brojem 12345, ne želim da se zavaravam, razmislite o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sistemu. Nećemo svaki korak gledati pod mikroskopom, to smo već uradili. Da vidimo rezultat.
Kao što vidite, u različitim brojevnim sistemima, zbir cifara istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze sa matematikom. To je isto kao da biste dobili potpuno drugačije rezultate pri određivanju površine pravokutnika u metrima i centimetrima.
Nula u svim brojevnim sistemima izgleda isto i nema zbir cifara. Ovo je još jedan argument za činjenicu da. Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava nešto što nije broj? Šta za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dozvoliti, ali za naučnike - ne. Realnost nije sve u brojevima.
Dobijeni rezultat treba smatrati dokazom da su sistemi brojeva mjerne jedinice za brojeve. Uostalom, ne možemo porediti brojeve sa različitim mernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različitih rezultata nakon poređenja, onda to nema nikakve veze s matematikom.
Šta je prava matematika? Ovo je kada rezultat matematičke radnje ne zavisi od veličine broja, korišćene jedinice mere i od toga ko izvodi ovu radnju.
Jao! Zar ovo nije ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorija za proučavanje neselektivne svetosti duša tokom uzašašća na nebo! Halo na vrhu i strelica usmjerena prema gore. Koji drugi toalet?
Ženka ... Nimb iznad i strelica dolje je muški.
Ako vam ovakva dizajnerska umjetnost bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,
Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:
Lično se trudim da u osobi koja kaki (jedna slika) vidim minus četiri stepena (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stepeni). I ne mislim da je ova devojka budala koja ne zna fiziku. Ona samo ima stereotip percepcije grafičkih slika. I matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.
1A nije "minus četiri stepena" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset šest" u heksadecimalnom zapisu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sistemu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.
Poziva se funkcija F (x) koja se može diferencirati u datom intervalu X antiderivat za funkciju f (x), ili integral od f (x), ako za bilo koji x ∈X vrijedi sljedeća jednakost:
F "(x) = f (x). (8.1)
Pronalaženje svih antiderivata za datu funkciju naziva se njenom integracija. Neodređeni integral funkcije f (x) na datom intervalu X je skup svih antiderivata za funkciju f (x); oznaka -
Ako je F (x) neka primitiva za funkciju f (x), onda je ∫ f (x) dx = F (x) + C, (8.2)
gdje je C proizvoljna konstanta.
Integralna tablica
Direktno iz definicije dobijamo glavna svojstva neodređenog integrala i listu tabelarnih integrala:
1) d∫f (x) dx = f (x)
2) ∫df (x) = f (x) + C
3) ∫af (x) dx = a∫f (x) dx (a = const)
4) ∫ (f (x) + g (x)) dx = ∫f (x) dx + ∫g (x) dx
Lista tabličnih integrala
1.∫x m dx = x m + 1 / (m + 1) + C; (m ≠ -1)
3.∫a x dx = a x / ln a + C (a> 0, a ≠ 1)
4.∫e x dx = e x + C
5.∫sin x dx = cosx + C
6.∫cos x dx = - sin x + C
7. = arktan x + C
8. = arcsin x + C
10. = - ctg x + C
Zamjena varijable
Za integraciju mnogih funkcija koristite metodu promjene varijable ili zamjene, omogućavajući svođenje integrala u tabelarni oblik.
Ako je funkcija f (z) kontinuirana na [α, β], funkcija z = g (x) ima kontinuirani izvod i α ≤ g (x) ≤ β, tada
∫ f (g (x)) g "(x) dx = ∫f (z) dz, (8.3)
osim toga, nakon integracije, treba izvršiti zamjenu z = g (x) na desnoj strani.
Za dokaz je dovoljno originalni integral napisati u obliku:
∫ f (g (x)) g "(x) dx = ∫ f (g (x)) dg (x).
Na primjer:
Integracija po dijelovima
Neka su u = f (x) i v = g (x) funkcije koje su kontinuirane. Zatim, prema radu,
d (uv)) = udv + vdu ili udv = d (uv) - vdu.
Za izraz d (uv), antiderivat će očito biti uv, tako da vrijedi sljedeća formula:
∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)
Ova formula izražava pravilo integracija po dijelovima... On dovodi integraciju izraza udv = uv "dx do integracije izraza vdu = vu" dx.
Neka je, na primjer, potrebno pronaći ∫xcosx dx. Stavite u = x, dv = cosxdx, dakle du = dx, v = sinx. Onda
∫xcosxdx = ∫x d (sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.
Pravilo integracije po dijelovima ima ograničeniji opseg od zamjene varijabli. Ali postoje čitave klase integrala, npr.
∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax i drugi, koji se računaju integracijom po dijelovima.
Definitivni integral
Koncept određenog integrala uvodi se na sljedeći način. Neka je funkcija f (x) definirana na segmentu. Podijelimo segment [a, b] na n dijelove po tačkama a = x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 ,
x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i)
Δx i где
Δ x i = x i - x i-1. Zove se zbir oblika f (ξ i) Δ x i integralni zbir, a njegova granica kao λ = maxΔx i → 0, ako postoji i konačna je, naziva se definitivni integral funkcija f (x) od a prije b i označeno je sa:
F (ξ i) Δx i (8.5).
Funkcija f (x) u ovom slučaju se poziva integrabilan na segmentu, brojevi a i b se zovu donja i gornja granica integrala.
Sljedeća svojstva vrijede za određeni integral:
4), (k = const, k∈R);
5)
6)
7) f (ξ) (b-a) (ξ∈).
Posljednje svojstvo se zove teorema srednje vrijednosti.
Neka je f (x) kontinuirano. Tada na ovom segmentu postoji neodređeni integral
∫f (x) dx = F (x) + C
i odvija se Newton-Leibnizova formula, povezujući određeni integral sa neodređenim:
Ž (b) - Ž (a). (8.6)
Geometrijska interpretacija: definitivni integral je površina zakrivljenog trapeza omeđena odozgo krivom y = f (x), pravim linijama x = a i x = b i segmentom ose Ox.
Nepravilni integrali
Pozivaju se integrali s beskonačnim granicama i integrali diskontinuiranih (neograničenih) funkcija neprikladan. Nepravilni integrali prve vrste - ovo su integrali u beskonačnom intervalu, definisani na sljedeći način:
(8.7)
Ako ova granica postoji i konačna je, onda se zove konvergentni nepravilan integral od f (x) na intervalu [a, + ∞), a funkcija f (x) se poziva integrabilan na beskonačnom intervalu[a, + ∞). Inače se kaže da je integral ne postoji ili se razlikuje.
Nepravilni integrali na intervalima (-∞, b] i (-∞, + ∞) definiraju se slično:
Definirajmo pojam integrala neograničene funkcije. Ako je f (x) kontinuirano za sve vrijednosti x segment, osim tačke c, u kojoj f (x) ima beskonačan diskontinuitet, onda nepravilan integral druge vrste f (x) u rasponu od a do b nazvao iznos:
ako ove granice postoje i konačne su. Oznaka:
Primjeri izračunavanja integrala
Primjer 3.30. Izračunajte ∫dx / (x + 2).
Rješenje. Označavamo t = x + 2, zatim dx = dt, ∫dx / (x + 2) = ∫dt / t = ln |t | + C = ln | x + 2 | + C.
Primjer 3.31... Pronađite ∫ tgxdx.
Rješenje.∫ tgxdx = ∫sinx / cosxdx = - ∫dcosx / cosx. Neka je t = cosx, tada je ∫ tgxdx = -∫ dt / t = - ln |t | + C = -ln | cosx | + C.
Primjer3.32 ... Pronađite ∫dx / sinxRješenje.
Primjer3.33. Pronađite .
Rješenje. = .
Primjer3.34 ... Pronađite ∫arctgxdx.
Rješenje. Integriramo po dijelovima. Postavljamo u = arctgx, dv = dx. Tada je du = dx / (x 2 +1), v = x, odakle je ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx / (x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln (x 2 +1) + C; jer
∫xdx / (x 2 +1) = 1/2 ∫d (x 2 +1) / (x 2 +1) = 1/2 ln (x 2 +1) + C.
Primjer3.35 ... Izračunajte ∫lnxdx.
Rješenje. Primjenom formule za integraciju po dijelovima dobijamo:
u = lnx, dv = dx, du = 1 / x dx, v = x. Tada je ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1 / x dx =
= xlnx - ∫dx + C = xlnx - x + C.
Primjer3.36 ... Procijenite ∫e x sinxdx.
Rješenje. Označimo u = e x, dv = sinxdx, zatim du = e x dx, v = ∫sinxdx = - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Integral ∫e x cosxdx je također integrabilan po dijelovima: u = e x, dv = cosxdx, du = e x dx, v = sinx. Imamo:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Dobili smo relaciju ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, odakle je 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + S.
Primjer 3.37. Izračunajte J = ∫cos (lnx) dx / x.
Rješenje. Pošto je dx / x = dlnx, onda je J = ∫cos (lnx) d (lnx). Zamijenivši lnx sa t, dolazimo do tabelarnog integrala J = ∫ costdt = sint + C = sin (lnx) + C.
Primjer 3.38 ... Izračunajte J =.
Rješenje. Uzimajući u obzir da je = d (lnx), zamjenjujemo lnx = t. Tada je J = 
.
Primjer 3.39
... Izračunajte integral J = 
.
Rješenje. Imamo: 
... Stoga =
=
=. uneseno ovako sqrt (tan (x / 2)).
A ako kliknete na Prikaži korake u gornjem desnom uglu prozora rezultata, dobit ćete detaljno rješenje.
Pronalaženje neodređenog integrala je vrlo čest problem u višoj matematici i drugim tehničkim granama nauke. Čak i rješenje najjednostavnijih fizičkih problema često nije potpuno bez izračunavanja nekoliko jednostavnih integrala. Stoga nas od školskog uzrasta uče tehnikama i metodama rješavanja integrala, daju se brojne tablice s integralima najjednostavnijih funkcija. Međutim, vremenom se sve to sigurno zaboravlja, ili nemamo dovoljno vremena za proračune ili nam je potrebno naći rješenje za neodređeni integral od veoma složene funkcije. Da biste riješili ove probleme, naša usluga će vam biti neophodna, koja vam omogućava da precizno pronađete neodređeni integral na mreži.
Riješiti neodređeni integral
Online usluga uključena site omogućava vam da pronađete integralno rješenje online brzo, besplatno i kvalitetno. Pretraživanje po tabelama traženog integrala možete zamijeniti našom uslugom, gdje ćete brzim unosom tražene funkcije dobiti rješenje neodređenog integrala u tabelarnoj verziji. Nisu sve matematičke stranice u stanju brzo i efikasno izračunati neodređene integrale funkcija na mreži, posebno ako trebate pronaći neodređeni integral iz složene funkcije ili funkcija koje nisu uključene u opšti kurs više matematike. Site siteće pomoći riješiti integral online i nositi se sa zadatkom koji je pred vama. Koristeći online rešenje integrala na sajtu sajta, uvek ćete dobiti tačan odgovor.
Čak i ako želite sami da izračunate integral, zahvaljujući našoj usluzi lako ćete provjeriti svoj odgovor, pronaći grešku ili grešku ili se uvjeriti da je zadatak besprijekorno obavljen. Ako rješavate problem i trebate izračunati neodređeni integral kao pomoćnu radnju, zašto onda gubite vrijeme na ove radnje, koje ste, možda, već hiljadu puta izvodili? Štaviše, dodatni proračuni integrala mogu biti uzrok pogrešnog pisanja ili male greške, što je kasnije dovelo do pogrešnog odgovora. Samo koristite naše usluge i pronađite neodređeni integral na mreži bez ikakvog truda. Za praktične zadatke pronalaženja integralni funkcije online ovaj server je od velike pomoći. Potrebno je unijeti navedenu funkciju, dobiti online neodređeno integralno rješenje i uporedi odgovor sa svojim rješenjem.
