Koji je prošireni oblik pisanja broja. Koji je prošireni oblik pisanja broja?

Osnova pozicionog brojevnog sistema je cijeli broj q, koji je podignut na stepen.

Osnova pozicionog brojevnog sistema je niz brojeva, od kojih svaki određuje kvantitativni ekvivalent (težinu) simbola u zavisnosti od njegovog mesta u kodu brojeva.

Decimalna baza: …10 n, 10n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – m ,…

Osnova proizvoljnog pozicionog brojevnog sistema: ... qn, qn –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – m, …

Baza u bilo kojem sistemu je predstavljena kao 10, ali ima drugačiju kvantitativnu vrijednost. Pokazuje koliko se puta mijenja kvantitativna vrijednost cifre kada se pomakne na susjednu poziciju. Mogući su mnogi pozicioni sistemi, jer se bilo koji broj ne manji od 2 može uzeti kao osnova brojevnog sistema.

Naziv brojevnog sistema odgovara njegovoj bazi (decimalni, binarni, kvinarni, itd.).

U brojevnom sistemu sa osnovom q (q-arnog brojevnog sistema) jedinice cifara su uzastopne potencije broja q, drugim riječima, q jedinice bilo koje kategorije čine jedinicu sljedeće kategorije.

Za upisivanje brojeva q- potreban je ari sistem brojeva q razni znakovi (cifre) koji predstavljaju brojeve 0, 1, ..., q – 1.

Dakle, osnova pozicionog brojevnog sistema jednaka je broju simbola (znakova) u njegovom alfabetu. Pisanje broja q V q-arni brojevni sistem ima oblik 10.

Primjer 1. Oktalni sistem brojeva.

baza: q = 8.

Abeceda: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7.

Brojevi: na primjer, 45023.152 8 ; 751.001 8 .

Primjer 2. Petostruki sistem brojeva .

baza: q = 5.

Abeceda: 0, 1, 2, 3 i 4.

Brojevi: na primjer, 20304 5 ; 324,03 5.

Primjer 3. Heksadecimalni sistem brojeva.

baza: q = 16.

Abeceda: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Ovdje samo deset od šesnaest cifara ima općeprihvaćenu oznaku 0-9. Za pisanje preostalih znakova abecede (10, 11, 12, 13, 14 i 15) obično se koristi prvih pet slova latinice.

Brojevi: na primjer, V5S3,1A2 16; 355.0FA01 8 .

U pozicijskom brojevnom sistemu, svaki realan broj se može predstaviti u sljedećem obliku:

A q = ±( a n–1 × qn –1 + a n–2 × qn –2 +…+ a 0 × q 0 + a–1 × q –1 + a–2 × q –2 +…+ a –m × q–m), (1) ili ±.

Evo A - sam broj; q- radix;
i ja- brojevi koji pripadaju abecedi datog brojevnog sistema; P - broj cijelih cifara; T - broj razlomaka cifara broja.

Dekompozicija broja prema formuli (1) se zove prošireni obrazac za prijavu . Inače, ovaj oblik snimanja se naziva polinom ili smireno.

Primjer 1. Decimalni broj A 10 = 5867,91 prema formuli (1) je predstavljen na sljedeći način:

A 10 = 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 –1 + 1 × 10 –2.

Primjer 2. Formula (1) za oktalni brojevni sistem ima oblik:

A 8 = ±( a n–1 × 8 n –1 + a n–2 × 8 n –2 +…+ a 0 × 8 0 + a–1 ×8 –1 + a–2 ×8 –2 +…+ a–m×8 – m),

Gdje i ja- brojevi 0–7.

Oktalni broj A 8 = 7064,3 u obliku (1) biće zapisan na sledeći način:

A 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 –1.

Primjer 3. Petostruki broj A 5 = 2430,21 prema formuli (1) biće zapisano na sljedeći način:

A 5 = 2 × 5 3 + 4 × 5 2 + 3 × 5" + 0 × 5° + 2 × 5 –1 + 1 × 5 –2.

Izračunavanjem ovog izraza možete dobiti decimalni ekvivalent navedenog petostrukog broja: 365,44 10.

Primjer 4. U heksadecimalnom sistemu brojeva unos je 3 A.F. 16 znači:

3A.F. 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.

Neka Aq- broj u osnovnom sistemu q, ai - cifre datog brojevnog sistema prisutne u brojevnom zapisu A, n+ 1 - broj cifara celog dela broja, m- broj cifara razlomka broja:

Prošireni oblik broja A se naziva zapisom u obliku:

Na primjer, za decimalni broj:

Sljedeći primjeri pokazuju prošireni oblik heksadecimalnih i binarnih brojeva:

U bilo kom brojevnom sistemu, njegova baza je zapisana kao 10.

Ako su svi pojmovi u proširenom obliku nedekadskog broja predstavljeni u decimalnom sistemu i dobijeni izraz se izračuna prema pravilima decimalne aritmetike, tada će se dobiti broj u decimalnom sistemu jednak zadatom. Ovaj princip se koristi za pretvaranje iz ne-dekadnog sistema u decimalni sistem. Na primjer, pretvaranje gornjih brojeva u decimalni sistem radi se na sljedeći način:

Pretvaranje decimalnih brojeva u druge sisteme brojeva

Cjelobrojna konverzija

Cijeli decimalni broj X treba konvertovati u sistem sa osnovom q: X = (a n a n-1... a 1 a 0) q Trebate pronaći značajne cifre broja: Predstavimo broj u proširenom obliku i izvršimo identičnu transformaciju:

Iz ovoga je jasno da a 0 je ostatak prilikom dijeljenja broja X po broju q. Izraz u zagradama je cjelobrojni kvocijent ove podjele. Označimo ga sa X 1. Provodeći slične transformacije, dobijamo:

dakle, a 1 je ostatak podjele X 1 per q. Nastavljajući dijeljenje s ostatkom, dobićemo niz cifara željenog broja. Broj an u ovom lancu podjela bit će posljednji količnik, manji q.

Formulirajmo rezultirajuće pravilo: da biste konvertovali celobrojni decimalni broj u brojevni sistem sa drugom osnovom, potreban vam je:

1) osnovu novog brojevnog sistema izrazi u decimalnom brojevnom sistemu i izvrši sve naredne radnje po pravilima decimalne aritmetike;

2) sekvencijalno podelimo dati broj i dobijene nepotpune količnike sa osnovom novog brojevnog sistema dok ne dobijemo nepotpun količnik manji od delioca;

3) dobijena stanja, koja su cifre broja u novom brojevnom sistemu, uskladi sa azbukom novog brojevnog sistema;

4) sastaviti broj u novom brojevnom sistemu, zapisujući ga počevši od poslednjeg količnika.

Primjer 1. Pretvorite broj 37 10 u binarni.

Za označavanje cifara u broju koristimo simboliku: a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0

Dakle: 37 10 = l00l0l 2

Primjer 2. Pretvorite decimalni broj 315 u oktalni i heksadecimalni sistem:

Slijedi: 315 10 = 473 8 = 13B 16. Podsjetimo da je 11 10 = B 16.

Decimalni razlomak X < 1 требуется перевести в систему с основанием q: X = (0, a –1 a –2 … a–m+1 a–m) q Trebate pronaći značajne cifre broja: a –1 ,a –2 , …, a–m . Predstavite broj u proširenom obliku i pomnožite ga sa q:

Iz ovoga je jasno da a–1postoji cijeli dio posla X po broju q. Označimo sa X 1 razlomak proizvoda i pomnožite ga sa q:

dakle, a–2 je cijeli dio posla X 1 po broju q. Nastavljajući množenje, dobićemo niz brojeva. Sada formulirajmo pravilo: da biste decimalni razlomak pretvorili u brojevni sistem sa drugom bazom, potreban vam je:

1) sukcesivno množi dati broj i dobijene razlomke proizvoda sa osnovom novog brojevnog sistema sve dok razlomak proizvoda ne postane jednak nuli ili se ne postigne potrebna tačnost predstavljanja broja u novom brojevnom sistemu;

2) dobijene celobrojne delove radova, koji su cifre broja u novom brojevnom sistemu, dovede u saglasnost sa azbukom novog brojevnog sistema;

3) sastaviti razlomak broja u novom brojevnom sistemu, počevši od celobrojnog dela prvog proizvoda.

Primjer 3. Pretvorite decimalni razlomak 0,1875 u binarni, oktalni i heksadecimalni sistem.

Ovdje lijeva kolona sadrži cijeli dio brojeva, a desna kolona sadrži razlomak.

Dakle: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Pretvaranje mješovitih brojeva koji sadrži cjelobrojne i razlomke izvodi se u dvije faze. Cjelobrojni i razlomački dijelovi originalnog broja se prevode odvojeno pomoću odgovarajućih algoritama. U konačnom zapisu broja u novom brojevnom sistemu, cijeli broj se odvaja zarezom (tačkom).

Tema „Bravni sistemi“ je direktno povezana sa matematičkom teorijom brojeva. Međutim, po pravilu se ne izučava u školskim predmetima matematike. Potreba za proučavanjem ove teme na kursu informatike povezana je sa činjenicom da su brojevi u memoriji računara predstavljeni u binarnom brojevnom sistemu, a heksadecimalni ili oktalni sistemi se koriste za eksterno predstavljanje sadržaja memorije i memorijskih adresa. Ovo je jedna od tradicionalnih tema kursa informatike ili programiranja. Budući da je pored matematike, ova tema doprinosi i temeljnom matematičkom obrazovanju učenika.

Za kurs informatike, glavni interes je poznavanje binarnog brojevnog sistema. Upotreba binarnog brojevnog sistema u računaru može se posmatrati u dva aspekta: 1) binarno numerisanje, 2) binarna aritmetika, tj. izvođenje aritmetičkih proračuna na binarnim brojevima.

Binarno numerisanje

Učenici se susreću s binarnim numeriranjem u temi “Predstavljanje teksta u memoriji računara”. Kada se govori o tablici kodiranja, nastavnik treba da kaže učenicima da je interni binarni kod simbola njegov serijski broj u binarnom brojevnom sistemu. Na primjer, broj slova S u ASCII tabeli je 83. Osmobitni binarni kod slova S jednak je vrijednosti ovog broja u binarnom brojevnom sistemu: 01010011.

Binarni proračuni

Prema principu Džona fon Nojmana, računar obavlja proračune u binarnom brojevnom sistemu. U okviru osnovnog kursa, dovoljno je da se ograničimo na razmatranje proračuna sa binarnim celim brojevima. Da biste izvršili proračune sa višecifrenim brojevima, morate znati pravila sabiranja i pravila množenja jednocifrenih brojeva. Ovo su pravila:

Princip komutabilnosti sabiranja i množenja radi u svim brojevnim sistemima. Tehnike izvođenja računanja sa višecifrenim brojevima u binarnom sistemu slične su decimalnom sistemu. Drugim riječima, postupci sabiranja, oduzimanja i množenja „kolonicom“ i dijeljenja „uglom“ u binarnom sistemu se sprovode na isti način kao i u decimalnom sistemu.

Pogledajmo pravila za oduzimanje i dijeljenje binarnih brojeva. Operacija oduzimanja je inverzna sabiranja. Iz gornje tabele sabiranja slijede pravila oduzimanja:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Evo primjera oduzimanja višecifrenih brojeva:

Dobijeni rezultat se može provjeriti dodavanjem razlike sa oduzetim. Rezultat bi trebao biti opadajući broj.

Deljenje je inverzna operacija množenja.
Ni u jednom brojevnom sistemu ne možete dijeliti sa 0. Rezultat dijeljenja sa 1 jednak je dividendi. Deljenjem binarnog broja sa 10 2 decimalo se pomera za jedno mesto ulevo, slično kao kada decimalu podelite sa deset. Na primjer:

Deljenje sa 100 pomera decimalni zarez za 2 mesta ulevo, itd. U osnovnom kursu ne morate razmatrati složene primjere dijeljenja višecifrenih binarnih brojeva. Iako sposobni učenici mogu da se nose sa njima, razumevajući opšta načela.

Predstavljanje informacija pohranjenih u memoriji računala u pravom binarnom obliku prilično je glomazno zbog velikog broja cifara. To se odnosi na snimanje takvih informacija na papir ili njihovo prikazivanje na ekranu. U ove svrhe uobičajeno je koristiti mješovite binarno-oktalne ili binarno-heksadecimalne sisteme.

Postoji jednostavan odnos između binarne i heksadecimalne reprezentacije broja. Prilikom pretvaranja broja iz jednog sistema u drugi, jedna heksadecimalna znamenka odgovara četverocifrenom binarnom kodu. Ova korespondencija se ogleda u binarno-heksadecimalnoj tabeli:

Binarna heksadecimalna tabela

Ova veza se zasniva na činjenici da je 16 = 2 4 i da je broj različitih četverocifrenih kombinacija brojeva 0 i 1 16: od 0000 do 1111. Stoga konverzija brojeva iz heksadecimalne u binarne i obrnuto vrši se formalnom konverzijom pomoću binarno-heksadecimalne tablice.

Evo primjera pretvaranja 32-bitne binarne u heksadecimalno:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Ako je dat heksadecimalni prikaz internih informacija, onda ga je lako pretvoriti u binarni kod. Prednost heksadecimalne reprezentacije je u tome što je 4 puta kraća od binarne. Preporučljivo je da učenici zapamte binarno-heksadecimalnu tabelu. Tada će zaista za njih heksadecimalna reprezentacija postati ekvivalentna binarnoj.

U binarnom oktalnom sistemu, svaka oktalna cifra odgovara trijadi binarnih cifara. Ovaj sistem vam omogućava da smanjite binarni kod za 3 puta.

Notacija

Notacija - ovo je način predstavljanja brojeva i odgovarajućih pravila za rad s brojevima. Različiti sistemi brojeva koji su postojali u prošlosti i koji se danas koriste mogu se podijeliti na ne-pozicioni I pozicioni. Znakovi koji se koriste prilikom pisanja brojeva, su pozvani u brojevima.

IN nepozicioni brojevni sistemi značenje cifre ne zavisi od njenog položaja u broju.

Primjer nepozicionog brojevnog sistema je rimski sistem (rimski brojevi). U rimskom sistemu, latinična slova se koriste kao brojevi:

Primjer 1. Broj CCXXXII se sastoji od dvije stotine, tri desetice i dvije jedinice i jednak je dvjesta trideset i dvije.

U rimskim brojevima brojevi se pišu s lijeva na desno u opadajućem redoslijedu. U ovom slučaju, njihove vrijednosti se zbrajaju. Ako je s lijeve strane napisan manji broj, a s desne veći, tada se njihove vrijednosti oduzimaju.

Primjer 2.

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.

Primjer 3.

MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

IN pozicioni brojevni sistemi vrijednost označena cifrom u zapisu brojeva ovisi o njenom položaju. Broj korištenih cifara naziva se baza pozicionog brojevnog sistema.

Brojevni sistem koji se koristi u modernoj matematici je pozicioni decimalni sistem. Njegova osnova je deset, jer Bilo koji brojevi se pišu sa deset cifara:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Pozicionu prirodu ovog sistema je lako razumjeti na primjeru bilo kojeg višecifrenog broja. Na primjer, u broju 333 prva tri znači tri stotine, druga - tri desetice, treća - tri jedinice.

Za pisanje brojeva u pozicionom sistemu sa radiksom n Mora imati abeceda od n brojevi Obično za ovo n < 10 используют n prvi arapski brojevi i kada n> 10 slova se dodaje na deset arapskih brojeva. Evo primjera abecede nekoliko sistema:

Ako treba da naznačite bazu sistema kojoj pripada broj, tada se ovom broju dodeljuje indeks. Na primjer:

101101 2, 3671 8, 3B8F 16.

U brojevnom sistemu sa osnovom q (q-arnog brojevnog sistema) jedinice cifara su uzastopne potencije broja q. q jedinice bilo koje kategorije čine jedinicu sljedeće kategorije. Da upišete broj q- potreban je ari sistem brojeva q razni znakovi (cifre) koji predstavljaju brojeve 0, 1, ..., q– 1. Pisanje broja q V q-arni brojevni sistem ima oblik 10.

Prošireni oblik pisanja broja

Neka Aq- broj u osnovnom sistemu q, ai - cifre datog brojevnog sistema prisutne u brojevnom zapisu A, n+ 1 - broj cifara celog dela broja, m- broj cifara razlomka broja:

Prošireni oblik broja A se naziva zapisom u obliku:

Na primjer, za decimalni broj:

Sljedeći primjeri pokazuju prošireni oblik heksadecimalnih i binarnih brojeva:

U bilo kom brojevnom sistemu, njegova baza je zapisana kao 10.

Ako su svi pojmovi u proširenom obliku nedekadskog broja predstavljeni u decimalnom sistemu i dobijeni izraz se izračuna prema pravilima decimalne aritmetike, tada će se dobiti broj u decimalnom sistemu jednak zadatom. Ovaj princip se koristi za pretvaranje iz ne-dekadnog sistema u decimalni sistem. Na primjer, pretvaranje gornjih brojeva u decimalni sistem radi se na sljedeći način:

Kako preći sa skupljenog oblika pisanja decimalnog broja u njegov prošireni oblik?

Odgovori

Razmotrimo decimalni broj 14351.1. Njegov skupljeni oblik zapisa toliko je poznat da ne primjećujemo kako u našim mislima prelazimo na proširenu notaciju, množeći znamenke broja s "težinama" znamenki i zbrajamo rezultirajuće proizvode:

1 10 4 + 4 10 3 + 3 10 2 + 5 10 1 + 1 10 0 + 1 10 -1.

Prijelaz iz skupljenog oblika u prošireni oblik

1. Pogledajte broj koji vam je dat i odredite broj njegovih cifara.

primjer:
Upišite 5827 u proširenom obliku.

Pročitajte broj naglas: pet hiljada osam stotina dvadeset sedam.

Imajte na umu da ovaj broj ima četiri cifre. Kao rezultat toga, prošireni obrazac će sadržavati četiri pojma.

2. Prepišite broj kao zbir njegovih cifara, ostavljajući razmak između njih da pomnožite svaku cifru određenom cifrom (više o tome kasnije).

primjer:
5827 prepiši to ovako:

3. Cifre broja se nalaze na određenim pozicijama koje odgovaraju (s desna na lijevo) jedinicama, deseticama, stotinama, hiljadama itd. Odredite naziv pozicije i njegovo značenje za svaku cifru (s desna na lijevo).

primjer:
Pošto ovaj broj ima četiri cifre, potrebno je odrediti nazive četiriju pozicija (s desna na lijevo).

7 odgovara jedinicama (vrijednost = 1 = 10 0).
2 odgovara deseticama (vrijednost = 10 = 10 1).
8 odgovara stotinama (vrijednost = 100 = 10 2).
5 odgovara hiljadama (vrijednost = 1000 = 10 3).

4. Pomnožite svaku cifru datog broja sa vrednošću odgovarajuće pozicije.

primjer:
5 10 3 + 8 10 2 + 2 10 1 + 7 10 0

Ključne riječi:

• notacija
• broj
• abeceda
• pozicioni brojevni sistem
• baza
• prošireni oblik pisanja broja
• skupljeni oblik pisanja broja
• binarni sistem brojeva
• oktalni brojevni sistem
• heksadecimalni brojni sistem

1.1.1. Opće informacije o brojevnim sistemima

Rice. 1.1.
Znakovi koji se koriste za pisanje brojeva u različitim brojevnim sistemima

U bilo kom sistemu brojeva, cifre se koriste za označavanje brojeva koji se nazivaju brojevi čvorova; preostali brojevi (algoritamski) se dobijaju kao rezultat nekih operacija iz brojeva čvorova.

Primjer 1. Među Vaviloncima, ključni brojevi su bili 1, 10, 60; u rimskom brojevnom sistemu, ključni brojevi su 1, 5, 10, 50, 100, 500 i 1000, označeni kao I, V, X, L, C, D, M, respektivno.

Brojni sistemi se razlikuju po izboru nodalnih brojeva i metodama generisanja algoritamskih brojeva. Mogu se razlikovati sljedeće vrste brojevnih sistema:

1. unarni sistemi;
2. nepozicioni sistemi;
3. pozicioni sistemi.

Najjednostavniji i najstariji sistem je takozvani unarni brojevni sistem. Koristi samo jedan simbol za pisanje brojeva - štap, čvor, zarez, kamenčić. Dužina broja u ovom kodiranju direktno je povezana s njegovom vrijednošću, što ovu metodu čini sličnim geometrijskom predstavljanju brojeva u obliku segmenata. To je unarni sistem koji leži u osnovi aritmetike, a upravo taj sistem još uvijek uvodi prvašiće u svijet brojanja. Unarni sistemi se takođe nazivaju sistemi oznaka.

U nepozicionim sistemima brojeva, brojevi se formiraju dodavanjem brojeva čvorova.

Primjer 2. U drevnom egipatskom brojevnom sistemu, brojevi 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 su označeni na sljedeći način:

Isti brojevi u rimskom numeričkom sistemu označeni su na sljedeći način: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Ovdje se algoritamski brojevi dobijaju sabiranjem i oduzimanjem ključnih brojeva, uzimajući u obzir sljedeće pravilo: svaki manji znak koji se nalazi desno od većeg dodaje se njegovoj vrijednosti, a svaki manji znak koji se nalazi lijevo od većeg se oduzeto od toga.

Decimalni brojevni sistem, koji smo navikli koristiti u svakodnevnom životu, koji nam je poznat od djetinjstva, u kojem vršimo sve naše proračune, primjer je pozicijskog brojevnog sistema. U njemu se algoritamski brojevi formiraju na sljedeći način: vrijednosti znamenki se množe s "težinama" odgovarajućih znamenki i sve rezultirajuće vrijednosti se dodaju. To se jasno može vidjeti u brojevima ruskog jezika, na primjer: "trista pet deset sedam".

Osnova pozicionog brojevnog sistema može biti bilo koji prirodan broj q > 1.

Abeceda decimalnog sistema sastoji se od brojeva 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Abeceda proizvoljnog pozicionog brojevnog sistema sa osnovom q su brojevi 0, 1, .. ., q-1, od kojih se svaki može napisati pomoću jednog jedinstvenog znaka; Najniža cifra je uvijek O.

Glavne prednosti bilo kojeg pozicionog brojevnog sistema su jednostavnost izvođenja aritmetičkih operacija i ograničen broj simbola potrebnih za pisanje bilo kojeg broja.

a 1 - brojevi koji pripadaju abecedi datog brojevnog sistema;

q 1 - “težina” i-te cifre.

Pisanje broja pomoću formule (1) naziva se prošireni oblik pisanja. Sažeti oblik pisanja broja je njegov prikaz u obliku ±a n-1 a n-2 ...a 1 a 0 ,a -1 ...a -m 1

1 U nastavku će se razmatrati samo pozitivni cijeli brojevi.

Primjer 3. Razmotrimo decimalni broj 14351.1. Njegov skupljeni oblik zapisa toliko je poznat da ne primjećujemo kako u našim mislima prelazimo na proširenu notaciju, množeći znamenke broja s "težinama" znamenki i zbrajamo rezultirajuće proizvode:

1 10 4 + 4 10 3 + 3 10 2 + 5 10 1 + 1 10 0 + 1 10 -1 .

1.1.2. Binarni sistem brojeva

Binarni brojevni sistem je pozicioni brojevni sistem sa bazom 2. Za pisanje brojeva u binarnom brojevnom sistemu koriste se samo dve cifre: 0 i 1.

Na osnovu formule (1) za binarne cijele brojeve možemo napisati:

Na primjer:

10011 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 19 10 .

Ovaj oblik pisanja „predlaže“ pravilo za pretvaranje prirodnih binarnih brojeva u decimalni brojevni sistem: potrebno je izračunati zbir stepena dva koji odgovaraju jedinicama u sažetom obliku pisanja binarnog broja.

Iz formule (1") dobijamo pravilo za pretvaranje celobrojnih decimalnih brojeva u binarni sistem brojeva.

Hajde da se podelimo

a n-1 2 n-1 + a n-2 2 n-2 + ... + a 0 2 0 sa 2.

Kvocijent će biti jednak

a n-1 2 n-2 + ... + a 1 ,

a ostatak će biti jednak 0.

Podijelimo ponovo dobijeni količnik sa 2, ostatak podjele će biti jednak 1.

Ako nastavimo sa ovim procesom dijeljenja, tada u n-tom koraku dobivamo skup brojeva:

a 0 , a 1 , a 2 , ..., a n-1

koji su uključeni u binarni prikaz originalnog broja i poklapaju se sa ostatcima kada se on uzastopno podeli sa 2. Prilikom upisivanja originalnog broja u binarni brojevni sistem, treba uzeti u obzir da smo ostatke dobili deljenjem sa 2 obrnutim redoslijedom od rasporeda odgovarajućih cifara u binarnom prikazu originalnog broja.

Primjer 4. Pretvorimo decimalni broj 11 u binarni brojevni sistem. Redoslijed radnji o kojima se raspravljalo (algoritam prijevoda) može se opisati na sljedeći način:

Zapisujući ostatke dijeljenja u smjeru koji pokazuje strelica, dobijamo: 11 10 = 1011 2.

Primjer 5. Ako je decimalni broj dovoljno velik, onda je prikladniji sljedeći način pisanja algoritma o kojem smo gore govorili:

363 10 = 101101011 2

1.1.3. Oktalni sistem brojeva

Oktalni brojevni sistem je pozicioni brojevni sistem sa osnovom 8. Za pisanje brojeva u oktalnom brojevnom sistemu koriste se ovi brojevi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Na osnovu formule (1) za oktalni cijeli broj možemo napisati:

Na primjer: 1063 8 = 1 8 3 + 0 8 2 + 6 8 1 + 3 8 0 = 563 10

Dakle, da biste konvertovali celobrojni oktalni broj u decimalni brojevni sistem, trebalo bi da pređete na njegov prošireni oblik i izračunate vrednost rezultirajućeg izraza.

Da biste pretvorili cjelobrojni decimalni broj u oktalni brojevni sistem, morate uzastopno podijeliti dati broj i rezultirajuće cjelobrojne količnike sa 8 dok ne dobijete količnik jednak nuli. Originalni broj u novom brojevnom sistemu sastavlja se uzastopnim bilježenjem rezultirajućeg stanja, počevši od posljednjeg.

Primjer 6. Pretvorimo decimalni broj 103 u oktalni brojevni sistem.

1.1.4. Heksadecimalni sistem brojeva

Baza: q = 16.

Abeceda: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Ovdje samo deset od šesnaest cifara ima općeprihvaćenu oznaku 0,..., 9. Za pisanje brojeva s decimalnim kvantitativnim ekvivalentima 10, 11, 12, 13, 14, 15, obično je prvih pet slova latinice korišteno.

Dakle, unos 3AF16 znači:

3AF 16 = 3 16 2 + 10 16 1 + 15 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.

Primjer 7. Pretvorimo decimalni broj 154 u heksadecimalni brojevni sistem.

1.1.5. Pravilo za pretvaranje cijelih decimalnih brojeva u brojevni sistem sa osnovom q

Da konvertujete celobrojni decimalni broj u sistem brojeva sa osnovom q:

1. sekvencijalno podijelimo dati broj i rezultirajuće cjelobrojne količnike sa osnovom novog brojevnog sistema dok ne dobijemo količnik jednak nuli;
2. rezultirajuća stanja, koja su cifre broja u novom brojevnom sistemu, treba uskladiti sa alfabetom novog brojevnog sistema;
3. sastaviti broj u novom brojevnom sistemu, zapisujući ga počevši od posljednjeg primljenog ostatka.

Napravimo tabelu korespondencije između decimalnih, binarnih, oktalnih i heksadecimalnih brojeva od 0 do 20.

Jedinstvena zbirka digitalnih obrazovnih resursa (http://school-collection.edu.ru/) sadrži interaktivnu animaciju „Pretvaranje decimalnog broja u drugi brojevni sistem“. Uz njegovu pomoć možete promatrati prevođenje proizvoljnog cijelog broja od 0 do 512 u pozicijski brojevni sistem, čija baza ne prelazi 16.

U virtuelnoj laboratoriji “Digitalne vage” koja se nalazi tamo, možete naučiti još jedan način pretvaranja cijelih decimalnih brojeva u druge brojevne sisteme - metodu razlika.

1.1.6. Binarna aritmetika

Aritmetika binarnog brojevnog sistema zasniva se na korišćenju sledećih tablica sabiranja i množenja:

Primjer 8. Tabela binarnog sabiranja je izuzetno jednostavna. Pošto je 1 + 1 = 10, onda 0 ostaje u ovoj cifri, a 1 se prenosi na sljedeću znamenku.

Primjer 9. Operacija množenja se izvodi prema uobičajenoj šemi koja se koristi u decimalnom brojevnom sistemu, uz sekvencijalno množenje množitelja sa sljedećom cifrom množitelja.

Tako se u binarnom sistemu množenje svodi na pomake množenika i sabiranja.

1.1.7. „Kompjuterski“ sistemi brojeva

Računarska tehnologija koristi binarni brojevni sistem, koji pruža niz prednosti u odnosu na druge sisteme:

• binarni brojevi su predstavljeni u kompjuteru koristeći prilično jednostavne tehničke elemente sa dva stabilna stanja;
• prezentacija informacija kroz samo dva stanja je pouzdana i otporna na buku;
• binarna aritmetika je najjednostavnija;
• Postoji matematički aparat koji omogućava logičke transformacije binarnih podataka.

Razmjena informacija između kompjuterskih uređaja vrši se prijenosom binarnih kodova. Za osobu je nezgodno koristiti takve kodove zbog njihove velike dužine i vizuelne uniformnosti. Stoga stručnjaci (programeri, inženjeri) u nekim fazama razvoja, stvaranja i konfiguracije računalnih sistema zamjenjuju binarne kodove ekvivalentnim vrijednostima u oktalnim ili heksadecimalnim sistemima brojeva. Kao rezultat toga, dužina originalne riječi se smanjuje za tri, odnosno četiri puta. Ovo čini informacije pogodnijim za pregled i analizu.

Koristeći resurs „Interaktivna knjiga zadataka, odjeljak „Sistemi brojeva““ (http://school-collection.edu.ru/), možete provjeriti koliko ste dobro savladali materijal koji se proučava u ovom odlomku.

Najvažniji

Brojevni sistem je sistem znakova u kojem se usvajaju određena pravila za pisanje brojeva. Znakovi kojima se zapisuju brojevi nazivaju se cifre, a njihova kombinacija se naziva abeceda brojevnog sistema.

Brojevni sistem se naziva pozicijskim ako kvantitativni ekvivalent cifre u broju zavisi od njegove pozicije u zapisu broja. Osnova pozicionog brojevnog sistema jednaka je broju cifara koje čine njegovu abecedu.

Osnova pozicionog brojevnog sistema može biti bilo koji prirodan broj q > 1.

U pozicionom brojevnom sistemu sa osnovom q, bilo koji broj se može predstaviti kao:

Broj;

q - osnova brojevnog sistema;

i i su brojevi koji pripadaju abecedi datog brojevnog sistema;

n - broj cijelih cifara;

m - broj razlomaka broja;

q i - “težina” i-te cifre.

Pitanja i zadaci