Proširivanje zagrada je vrsta transformacije izraza. U ovom dijelu ćemo opisati pravila za otvaranje zagrada, a također ćemo pogledati najčešće primjere problema.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Šta su otvorne zagrade?
Zagrade se koriste za označavanje redoslijeda u kojem se radnje izvode u numeričkim, literalnim i varijabilnim izrazima. Pogodno je preći sa izraza sa zagradama na identično jednak izraz bez zagrada. Na primjer, zamijenite izraz 2 · (3 + 4) izrazom oblika 2 3 + 2 4 bez zagrada. Ova tehnika se zove otvaranje zagrada.
Definicija 1
Proširivanje zagrada se odnosi na tehnike za uklanjanje zagrada i obično se razmatra u odnosu na izraze koji mogu sadržavati:
- znakovi “+” ili “-” ispred zagrada koje sadrže zbrojeve ili razlike;
- proizvod broja, slova ili više slova i zbroja ili razlike, koji se stavlja u zagrade.
Ovako smo navikli da posmatramo proces otvaranja zagrada u školskom programu. Međutim, niko nas ne brani da na ovu akciju gledamo šire. Otvaranjem zagrada možemo nazvati prijelaz iz izraza koji sadrži negativne brojeve u zagradama u izraz koji nema zagrade. Na primjer, možemo ići od 5 + (− 3) − (− 7) do 5 − 3 + 7. U stvari, ovo je i otvaranje zagrada.
Na isti način možemo zamijeniti proizvod izraza u zagradama oblika (a + b) · (c + d) sa zbirom a · c + a · d + b · c + b · d. Ova tehnika takođe nije u suprotnosti sa značenjem otvaranja zagrada.
Evo još jednog primjera. Možemo pretpostaviti da se bilo koji izrazi mogu koristiti umjesto brojeva i varijabli u izrazima. Na primjer, izraz x 2 · 1 a - x + sin (b) odgovarat će izrazu bez zagrada u obliku x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b).
Posebnu pažnju zaslužuje još jedna stvar koja se tiče posebnosti evidentiranja odluka prilikom otvaranja zagrada. Početni izraz možemo napisati u zagradama i rezultat koji se dobije nakon otvaranja zagrada kao jednakost. Na primjer, nakon proširenja zagrada umjesto izraza 3 − (5 − 7) dobijamo izraz 3 − 5 + 7 . Oba ova izraza možemo zapisati kao jednakost 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7.
Izvođenje radnji sa glomaznim izrazima može zahtijevati snimanje međurezultata. Tada će rješenje imati oblik lanca jednakosti. Na primjer, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 ili 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Pravila za otvaranje zagrada, primjeri
Pogledajmo pravila za otvaranje zagrada.
Za pojedinačne brojeve u zagradama
Negativni brojevi u zagradama se često nalaze u izrazima. Na primjer, (− 4) i 3 + (− 4) . Pozitivni brojevi u zagradama također imaju svoje mjesto.
Hajde da formulišemo pravilo za otvaranje zagrada koje sadrže pojedinačne pozitivne brojeve. Pretpostavimo da je a bilo koji pozitivan broj. Tada možemo zamijeniti (a) sa a, + (a) sa + a, - (a) sa – a. Ako umjesto a uzmemo određeni broj, tada će prema pravilu: broj (5) biti napisan kao 5 , izraz 3 + (5) bez zagrada će poprimiti oblik 3 + 5 , budući da je + (5) zamijenjeno sa + 5 , a izraz 3 + (− 5) je ekvivalentan izrazu 3 − 5 , jer + (− 5) je zamijenjen sa − 5 .
Pozitivni brojevi se obično pišu bez upotrebe zagrada, jer u ovom slučaju zagrade nisu potrebne.
Sada razmotrite pravilo za otvaranje zagrada koje sadrže jedan negativan broj. + (− a) zamenjujemo sa − a, − (− a) se zamjenjuje sa + a. Ako izraz počinje negativnim brojem (− a), koji je napisan u zagradama, tada se zagrade izostavljaju i umjesto toga (− a) ostaci − a.
Evo nekoliko primjera: (− 5) može se napisati kao − 5, (− 3) + 0, 5 postaje − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) postaje 4 − 3 , a − (− 4) − (− 3) nakon otvaranja zagrada poprima oblik 4 + 3, jer − (− 4) i − (− 3) se zamjenjuje sa + 4 i + 3 .
Treba shvatiti da se izraz 3 · (− 5) ne može zapisati kao 3 · − 5. O tome će biti riječi u sljedećim paragrafima.
Hajde da vidimo na čemu se zasnivaju pravila za otvaranje zagrada.
Prema pravilu, razlika a − b jednaka je a + (− b) . Na osnovu svojstava radnji sa brojevima, možemo kreirati lanac jednakosti (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = ašto će biti pošteno. Ovaj lanac jednakosti, na osnovu značenja oduzimanja, dokazuje da je izraz a + (− b) razlika a − b.
Na osnovu svojstava suprotnih brojeva i pravila za oduzimanje negativnih brojeva, možemo reći da je − (− a) = a, a − (− b) = a + b.
Postoje izrazi koji se sastoje od broja, znakova minusa i nekoliko parova zagrada. Korištenje gornjih pravila omogućuje vam da se uzastopno riješite zagrada, krećući se od unutrašnjih prema vanjskim zagradama ili u suprotnom smjeru. Primjer takvog izraza bi bio − (− ((− (5)))) . Otvorimo zagrade, krećući se iznutra prema van: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Ovaj primjer se također može analizirati u suprotnom smjeru: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Ispod a i b se mogu shvatiti ne samo kao brojevi, već i kao proizvoljni numerički ili abecedni izrazi sa znakom "+" ispred koji nisu zbroji ili razlike. U svim ovim slučajevima možete primijeniti pravila na isti način kao što smo to učinili za pojedinačne brojeve u zagradama.
Na primjer, nakon otvaranja zagrada izraz − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z)će imati oblik 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Kako smo to uradili? Znamo da je − (− 2 x) + 2 x, a pošto je ovaj izraz prvi, onda se + 2 x može zapisati kao 2 x, − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x i − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.
U produktima dva broja
Počnimo s pravilom za otvaranje zagrada u proizvodu dva broja.
Pretvarajmo se to a i b su dva pozitivna broja. U ovom slučaju, proizvod dva negativna broja − a i − b oblika (− a) · (− b) možemo zamijeniti sa (a · b) , a proizvode dva broja sa suprotnim predznacima oblika (− a) · b i a · (− b) može se zamijeniti sa (− a b). Množenje minusa sa minusom daje plus, a množenje minusa sa plusom, kao množenje plusa sa minusom daje minus.
Ispravnost prvog dijela napisanog pravila potvrđuje se pravilom za množenje negativnih brojeva. Za potvrdu drugog dijela pravila možemo koristiti pravila za množenje brojeva s različitim predznacima.
Pogledajmo nekoliko primjera.
Primjer 1
Razmotrimo algoritam za otvaranje zagrada u proizvodu dva negativna broja - 4 3 5 i - 2, oblika (- 2) · - 4 3 5. Da biste to učinili, zamijenite originalni izraz sa 2 · 4 3 5 . Otvorimo zagrade i dobijemo 2 · 4 3 5 .
A ako uzmemo količnik negativnih brojeva (− 4) : (− 2), onda će unos nakon otvaranja zagrada izgledati kao 4:2
Umjesto negativnih brojeva − a i − b može biti bilo koji izrazi sa predznakom minus koji nisu zbroji ili razlike. Na primjer, to mogu biti proizvodi, količniki, razlomci, potenci, korijeni, logaritmi, trigonometrijske funkcije itd.
Otvorimo zagrade u izrazu - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Prema pravilu možemo napraviti sljedeće transformacije: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.
Izraz (− 3) 2 može se pretvoriti u izraz (− 3 2) . Nakon toga možete proširiti zagrade: − 3 2.
2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5
Dijeljenje brojeva s različitim predznacima također može zahtijevati preliminarno proširenje zagrada: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 i 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.
Pravilo se može koristiti za množenje i dijeljenje izraza s različitim predznacima. Navedimo dva primjera.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
sin (x) (- x 2) = (- sin (x) x 2) = - sin (x) x 2
U proizvodima od tri ili više brojeva
Prijeđimo na proizvode i količnike, koji sadrže veći broj brojeva. Za otvaranje zagrada, ovdje će se primijeniti sljedeće pravilo. Ako postoji paran broj negativnih brojeva, možete izostaviti zagrade i zamijeniti brojeve njihovim suprotnostima. Nakon toga, potrebno je da dobijeni izraz priložite u nove zagrade. Ako postoji neparan broj negativnih brojeva, izostavite zagrade i zamijenite brojeve njihovim suprotnim brojevima. Nakon toga, rezultirajući izraz se mora staviti u nove zagrade i ispred njega staviti znak minus.
Primjer 2
Na primjer, uzmite izraz 5 · (− 3) · (− 2) , koji je proizvod tri broja. Postoje dva negativna broja, stoga izraz možemo napisati kao (5 · 3 · 2), a zatim na kraju otvorite zagrade i dobijete izraz 5 · 3 · 2.
U proizvodu (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) pet brojeva je negativnih. dakle (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Kada smo konačno otvorili zagrade, dobijamo −2,5 3:2 4:1,25:1.
Gornje pravilo se može opravdati na sljedeći način. Prvo, takve izraze možemo prepisati kao proizvod, zamjenjujući dijeljenje množenjem recipročnim brojem. Svaki negativan broj predstavljamo kao proizvod množenog broja i - 1 ili - 1 je zamijenjeno sa (− 1) a.
Koristeći komutativno svojstvo množenja, mijenjamo faktore i prenosimo sve faktore jednake − 1 , na početak izraza. Proizvod parnog broja minus jedan jednak je 1, a proizvod neparnog broja jednak je − 1 , što nam omogućava da koristimo znak minus.
Ako ne bismo koristili pravilo, tada bi lanac radnji za otvaranje zagrada u izrazu - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 izgledao ovako:
2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
Gornje pravilo se može koristiti kada otvarate zagrade u izrazima koji predstavljaju proizvode i količnike sa znakom minus koji nisu zbroji ili razlike. Uzmimo za primjer izraz
x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .
Može se svesti na izraz bez zagrada x 2 · x: 1 x · x - 3: 2.
Proširene zagrade kojima prethodi znak +
Razmislite o pravilu koje se može primijeniti na proširene zagrade kojima prethodi znak plus, a "sadržaj" tih zagrada se ne množi niti dijeli nikakvim brojem ili izrazom.
Po pravilu se zagrade, zajedno sa znakom ispred njih, izostavljaju, a znaci svih pojmova u zagradi su sačuvani. Ako nema znaka ispred prvog člana u zagradi, onda morate staviti znak plus.
Primjer 3
Na primjer, dajemo izraz (12 − 3 , 5) − 7 . Izostavljanjem zagrada zadržavamo predznake pojmova u zagradi i stavljamo znak plus ispred prvog člana. Unos će izgledati kao (12 − 3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7. U datom primjeru nije potrebno stavljati znak ispred prvog člana, jer je + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7.
Primjer 4
Pogledajmo još jedan primjer. Uzmimo izraz x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x i izvršimo radnje s njim x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Evo još jednog primjera proširenja zagrada:
Primjer 5
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2
Kako se proširuju zagrade ispred znaka minus?
Razmotrimo slučajeve u kojima se ispred zagrada nalazi znak minus, a koji se ne množe (ili dijele) ni sa jednim brojem ili izrazom. Prema pravilu otvaranja zagrada kojima prethodi znak "-", zagrade sa znakom "-" se izostavljaju, a znaci svih pojmova unutar zagrada su obrnuti.
Primjer 6
npr.:
1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2
Izrazi s varijablama mogu se pretvoriti korištenjem istog pravila:
X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
dobijamo x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .
Otvaranje zagrada pri množenju broja sa zagradama, izrazi sa zagradama
Ovdje ćemo pogledati slučajeve kada trebate proširiti zagrade koje su pomnožene ili podijeljene nekim brojem ili izrazom. Formule oblika (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) ili b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), Gdje a 1 , a 2 , … , a n i b su neki brojevi ili izrazi.
Primjer 7
Na primjer, proširimo zagrade u izrazu (3 − 7) 2. Prema pravilu možemo izvršiti sljedeće transformacije: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Dobijamo 3 · 2 − 7 · 2 .
Otvarajući zagrade u izrazu 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, dobijamo 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.
Množenje zagrada sa zagradama
Razmotrimo proizvod dvije zagrade oblika (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Ovo će nam pomoći da dobijemo pravilo za otvaranje zagrada kada izvodimo množenje zagrada po zagrada.
Da bismo riješili dati primjer, označavamo izraz (b 1 + b 2) kao b. Ovo će nam omogućiti da koristimo pravilo za množenje zagrade izrazom. Dobijamo (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. Izvođenjem obrnute zamjene b pomoću (b 1 + b 2), ponovo primijeni pravilo množenja izraza zagradom: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2
Zahvaljujući nizu jednostavnih tehnika, možemo doći do zbroja proizvoda svakog od članova iz prve zagrade sa svakim od članova iz druge zagrade. Pravilo se može proširiti na bilo koji broj pojmova unutar zagrada.
Hajde da formulišemo pravila za množenje zagrada sa zagradama: da biste pomnožili dva zbroja zajedno, potrebno je da pomnožite svaki od članova prvog zbroja sa svakim od članova drugog zbira i saberete rezultate.
Formula će izgledati ovako:
(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n
Proširimo zagrade u izrazu (1 + x) · (x 2 + x + 6) To je proizvod dva zbroja. Zapišimo rješenje: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6
Vrijedi posebno spomenuti one slučajeve u kojima se u zagradama nalazi znak minus zajedno sa znakovima plus. Na primjer, uzmite izraz (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .
Prvo, predstavimo izraze u zagradama kao sume: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Sada možemo primijeniti pravilo: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))
Otvorimo zagrade: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .
Proširivanje zagrada u proizvodima višestrukih zagrada i izraza
Ako u izrazu postoje tri ili više izraza u zagradama, zagrade se moraju otvarati uzastopno. Morate započeti transformaciju stavljanjem prva dva faktora u zagrade. Unutar ovih zagrada možemo izvršiti transformacije u skladu sa pravilima o kojima smo gore govorili. Na primjer, zagrade u izrazu (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .
Izraz sadrži tri faktora odjednom (2 + 4) , 3 i (5 + 7 8) . Otvaraćemo zagrade redom. Stavimo prva dva faktora u drugu zagradu, koju ćemo učiniti crvenim radi jasnoće: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
U skladu s pravilom za množenje zagrade brojem, možemo izvršiti sljedeće radnje: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .
Pomnožite zagradu po zagradu: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .
Zagrada u naturi
Stupnjevi, čije su osnove neki izrazi napisani u zagradama, sa prirodnim eksponentima mogu se smatrati proizvodom nekoliko zagrada. Štaviše, prema pravilima iz prethodna dva stava, mogu se pisati i bez ovih zagrada.
Razmotrite proces transformacije izraza (a + b + c) 2 . Može se napisati kao proizvod dvije zagrade (a + b + c) · (a + b + c). Pomnožimo zagradu po zagradu i dobijemo a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.
Pogledajmo još jedan primjer:
Primjer 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2
Dijeljenje zagrada brojem i zagrada zagradama
Dijeljenje zagrade brojem zahtijeva da se svi pojmovi u zagradi podijele brojem. Na primjer, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .
Dijeljenje se prvo može zamijeniti množenjem, nakon čega možete koristiti odgovarajuće pravilo za otvaranje zagrada u proizvodu. Isto pravilo vrijedi kada se zagrada dijeli zagradom.
Na primjer, trebamo otvoriti zagrade u izrazu (x + 2) : 2 3 . Da biste to učinili, prvo zamijenite dijeljenje množenjem s recipročnim brojem (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. Pomnožite zagradu brojem (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .
Evo još jednog primjera dijeljenja zagradama:
Primjer 9
1 x + x + 1: (x + 2) .
Zamijenimo dijeljenje množenjem: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.
Učinimo množenje: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .
Redoslijed otvaranja zagrada
Sada razmotrimo redoslijed primjene pravila o kojima smo gore govorili u općim izrazima, tj. u izrazima koji sadrže zbrojeve sa razlikama, proizvode sa količnikima, zagrade u prirodnom stepenu.
Procedura:
- prvi korak je podizanje zagrada na prirodnu snagu;
- u drugoj fazi vrši se otvaranje zagrada u radovima i količnikima;
- Posljednji korak je otvaranje zagrada u zbrojima i razlikama.
Razmotrimo redosled akcija na primeru izraza (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Transformirajmo iz izraza 3 · (− 2) : (− 4) i 6 · (− 7) , koji bi trebao poprimiti oblik (3 2:4) i (− 6 · 7) . Zamjenom dobijenih rezultata u originalni izraz dobijamo: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Otvorite zagrade: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.
Kada se radi o izrazima koji sadrže zagrade unutar zagrada, zgodno je izvršiti transformacije radeći iznutra prema van.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Dakle, ako se numerički izraz sastoji od brojeva i znakova +, −, · i:, onda redom s lijeva na desno prvo morate izvršiti množenje i dijeljenje, a zatim sabiranje i oduzimanje, što će vam omogućiti da pronađete željenu vrijednost izraza.
Dajemo nekoliko primjera za pojašnjenje.
Primjer.
Izračunajte vrijednost izraza 14−2·15:6−3.
Rješenje.
Da biste pronašli vrijednost izraza, morate izvršiti sve radnje navedene u njemu u skladu s prihvaćenim redoslijedom izvođenja ovih radnji. Prvo, redom s lijeva na desno, izvodimo množenje i dijeljenje, dobijamo 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Sada izvodimo i preostale radnje redom s lijeva na desno: 14−5−3=9−3=6. Ovako smo pronašli vrijednost originalnog izraza, jednaka je 6.
odgovor:
14−2·15:6−3=6.
Primjer.
Pronađite značenje izraza.
Rješenje.
U ovom primjeru prvo trebamo izvršiti množenje 2·(−7) i dijeljenje s množenjem u izrazu . Sjećajući se kako , nalazimo 2·(−7)=−14. I da prvo izvršite radnje u izrazu 
, onda 
, i izvršite: 
.
Dobijene vrijednosti zamjenjujemo u originalni izraz: .
Ali šta ako postoji numerički izraz ispod predznaka korijena? Da biste dobili vrijednost takvog korijena, prvo morate pronaći vrijednost radikalnog izraza, pridržavajući se prihvaćenog redoslijeda izvođenja radnji. Na primjer, .
U numeričkim izrazima korijene treba shvatiti kao neke brojeve, te je preporučljivo odmah zamijeniti korijene njihovim vrijednostima, a zatim pronaći vrijednost rezultirajućeg izraza bez korijena, izvodeći radnje u prihvaćenom nizu.
Primjer.
Pronađite značenje izraza s korijenima.
Rješenje.
Prvo pronađimo vrijednost korijena 
. Da bismo to učinili, prvo izračunamo vrijednost radikalnog izraza, koju imamo −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. I drugo, nalazimo vrijednost korijena.
Sada izračunajmo vrijednost drugog korijena iz originalnog izraza: .
Konačno, značenje originalnog izraza možemo pronaći zamjenom korijena njihovim vrijednostima: .
odgovor:
Vrlo često, da bi se pronašlo značenje izraza s korijenima, prvo ga je potrebno transformirati. Pokažimo rješenje primjera.
Primjer.
Šta je značenje izraza 
.
Rješenje.
Nismo u mogućnosti zamijeniti korijen od tri njegovom tačnom vrijednošću, što nas sprečava da izračunamo vrijednost ovog izraza na gore opisan način. Međutim, možemo izračunati vrijednost ovog izraza izvođenjem jednostavnih transformacija. Primjenjivo formula kvadratne razlike: . Uzimajući u obzir, dobijamo 
. Dakle, vrijednost originalnog izraza je 1.
odgovor:
.
Sa diplomama
Ako su baza i eksponent brojevi, onda se njihova vrijednost izračunava određivanjem stepena, na primjer, 3 2 =3·3=9 ili 8 −1 =1/8. Postoje i unosi gdje su baza i/ili eksponent neki izrazi. U tim slučajevima potrebno je pronaći vrijednost izraza u bazi, vrijednost izraza u eksponentu, a zatim izračunati vrijednost samog stepena.
Primjer.
Nađi vrijednost izraza sa stepenom forme 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.
Rješenje.
U originalnom izrazu postoje dva stepena 2 3·4−10 i (1−1/2) 3,5−2·1/4. Njihove vrijednosti moraju se izračunati prije izvođenja drugih radnji.
Počnimo sa stepenom 2 3·4−10. Njegov indikator sadrži numerički izraz, izračunajmo njegovu vrijednost: 3·4−10=12−10=2. Sada možete pronaći vrijednost samog stepena: 2 3·4−10 =2 2 =4.
Baza i eksponent (1−1/2) 3,5−2 1/4 sadrže izraze; izračunavamo njihove vrijednosti da bismo zatim pronašli vrijednost eksponenta. Imamo (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.
Sada se vraćamo na originalni izraz, zamjenjujemo stupnjeve u njemu njihovim vrijednostima i pronalazimo vrijednost izraza koji nam je potreban: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.
odgovor:
2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6.
Vrijedi napomenuti da su češći slučajevi kada je preporučljivo provesti preliminarni pregled pojednostavljenje izraza sa ovlastima na bazi.
Primjer.
Pronađite značenje izraza 
.
Rješenje.
Sudeći po eksponentima u ovom izrazu, neće biti moguće dobiti tačne vrijednosti eksponenata. Pokušajmo pojednostaviti izvorni izraz, možda će to pomoći da pronađemo njegovo značenje. Imamo 
odgovor:
.
Potencije u izrazima često idu ruku pod ruku s logaritmima, ali ćemo govoriti o pronalaženju značenja izraza sa logaritmima u jednom od.
Pronalaženje vrijednosti izraza s razlomcima
Numerički izrazi mogu sadržavati razlomke u svojim zapisima. Kada trebate pronaći značenje ovakvog izraza, razlomke osim razlomaka treba zamijeniti njihovim vrijednostima prije nego što nastavite s ostatkom koraka.
Brojilac i nazivnik razlomaka (koji se razlikuju od običnih razlomaka) mogu sadržavati i neke brojeve i izraze. Da biste izračunali vrijednost takvog razlomka, potrebno je izračunati vrijednost izraza u brojniku, izračunati vrijednost izraza u nazivniku, a zatim izračunati vrijednost samog razlomka. Ovaj redoslijed se objašnjava činjenicom da razlomak a/b, gdje su a i b neki izrazi, u suštini predstavlja količnik oblika (a):(b), budući da .
Pogledajmo primjer rješenja.
Primjer.
Pronađite značenje izraza s razlomcima 
.
Rješenje.
U originalnom numeričkom izrazu postoje tri razlomka 
i . Da bismo pronašli vrijednost originalnog izraza, prvo trebamo zamijeniti ove razlomke njihovim vrijednostima. Hajde da to uradimo.
Brojilac i nazivnik razlomka sadrže brojeve. Da biste pronašli vrijednost takvog razlomka, zamijenite traku razlomaka znakom dijeljenja i izvršite ovu radnju: 
.
U brojiocu razlomka nalazi se izraz 7−2·3, njegovu vrijednost je lako pronaći: 7−2·3=7−6=1. Dakle, . Možete nastaviti s pronalaženjem vrijednosti trećeg razlomka.
Treći razlomak u brojniku i nazivniku sadrži numeričke izraze, stoga prvo morate izračunati njihove vrijednosti, a to će vam omogućiti da pronađete vrijednost samog razlomka. Imamo 
.
Ostaje zamijeniti pronađene vrijednosti u originalni izraz i izvršiti preostale radnje: .
odgovor:
.
Često, kada pronađete vrijednosti izraza s razlomcima, morate izvršiti pojednostavljivanje frakcijskih izraza, baziran na izvođenju operacija s razlomcima i redukcijskim razlomcima.
Primjer.
Pronađite značenje izraza 
.
Rješenje.
Korijen od pet se ne može u potpunosti izdvojiti, pa da bismo pronašli vrijednost originalnog izraza, najprije ga pojednostavimo. Za ovo oslobodimo se iracionalnosti u nazivniku prvi razlomak: 
. Nakon toga, originalni izraz će poprimiti oblik 
. Nakon oduzimanja razlomaka, korijeni će nestati, što će nam omogućiti da pronađemo vrijednost početno zadanog izraza: .
odgovor:
.
Sa logaritmima
Ako numerički izraz sadrži , i ako ih je moguće riješiti, onda se to radi prije izvođenja drugih radnji. Na primjer, kada se pronađe vrijednost izraza log 2 4+2·3, logaritam log 2 4 zamjenjuje se njegovom vrijednošću 2, nakon čega se preostale radnje izvode uobičajenim redoslijedom, odnosno log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.
Kada se pod predznakom logaritma i/ili u njegovoj osnovi nalaze numerički izrazi, prvo se pronalaze njihove vrijednosti, nakon čega se izračunava vrijednost logaritma. Na primjer, razmotrite izraz s logaritmom oblika 
. U osnovi logaritma i pod njegovim znakom nalaze se numerički izrazi čije vrijednosti nalazimo: . Sada nalazimo logaritam, nakon čega završavamo proračune: .
Ako logaritmi nisu precizno izračunati, onda se vrši preliminarno pojednostavljenje pomoću . U ovom slučaju, morate dobro vladati materijalom članka pretvaranje logaritamskih izraza.
Primjer.
Pronađite vrijednost izraza s logaritmima 
.
Rješenje.
Počnimo s izračunavanjem log 2 (log 2 256) . Pošto je 256=2 8, onda je log 2 256=8, dakle, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.
Logaritmi log 6 2 i log 6 3 mogu se grupisati. Zbir logaritama log 6 2+log 6 3 jednak je logaritmu proizvoda log 6 (2 3), dakle, log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.
Pogledajmo sada razlomak. Za početak ćemo prepisati bazu logaritma u nazivniku u obliku običnog razlomka kao 1/5, nakon čega ćemo koristiti svojstva logaritma, što će nam omogućiti da dobijemo vrijednost razlomka: 
.
Sve što preostaje je zamijeniti dobivene rezultate u originalni izraz i završiti pronalaženje njegove vrijednosti: 
odgovor:
Kako pronaći vrijednost trigonometrijskog izraza?
Kada numerički izraz sadrži ili, itd., njihove vrijednosti se izračunavaju prije izvođenja drugih radnji. Ako postoje numerički izrazi pod znakom trigonometrijskih funkcija, tada se prvo izračunavaju njihove vrijednosti, nakon čega se pronalaze vrijednosti trigonometrijskih funkcija.
Primjer.
Pronađite značenje izraza 
.
Rješenje.
Ako se okrenemo članku, dobijamo 
i cosπ=−1 . Ove vrijednosti zamjenjujemo u originalni izraz, on poprima oblik 
. Da biste pronašli njegovu vrijednost, prvo morate izvesti eksponencijaciju, a zatim završiti proračune: .
odgovor:
.
Vrijedi napomenuti da izračunavanje vrijednosti izraza sa sinusima, kosinusima itd. često zahteva prethodno pretvaranje trigonometrijskog izraza.
Primjer.
Kolika je vrijednost trigonometrijskog izraza 
.
Rješenje.
Transformirajmo originalni izraz koristeći , u ovom slučaju će nam trebati formula kosinusa dvostrukog kuta i formula kosinusa sume: 
Transformacije koje smo napravili pomogle su nam da pronađemo značenje izraza.
odgovor:
.
Opšti slučaj
Općenito, numerički izraz može sadržavati korijene, potencije, razlomke, neke funkcije i zagrade. Pronalaženje vrijednosti takvih izraza sastoji se od izvođenja sljedećih radnji:
- prvi korijeni, potenci, razlomci itd. zamjenjuju se njihovim vrijednostima,
- dalje radnje u zagradama,
- a redom s lijeva na desno izvode se preostale operacije - množenje i dijeljenje, a zatim sabiranje i oduzimanje.
Navedene radnje se izvode dok se ne dobije konačni rezultat.
Primjer.
Pronađite značenje izraza 
.
Rješenje.
Forma ovog izraza je prilično složena. U ovom izrazu vidimo razlomke, korijene, stepene, sinus i logaritme. Kako pronaći njegovu vrijednost?
Krećući se kroz zapis s lijeva na desno, nailazimo na djelić forme 
. Znamo da kada radimo sa složenim razlomcima, moramo posebno izračunati vrijednost brojnika, posebno nazivnika i na kraju pronaći vrijednost razlomka.
U brojiocu imamo korijen forme 
. Da biste odredili njegovu vrijednost, prvo morate izračunati vrijednost radikalnog izraza 
. Ovdje postoji sinus. Njegovu vrijednost možemo pronaći tek nakon što izračunamo vrijednost izraza 
. Ovo možemo učiniti: . Onda odakle i odakle 
.
Imenilac je jednostavan: .
dakle, 
.
Nakon zamjene ovog rezultata u originalni izraz, on će poprimiti oblik . Rezultirajući izraz sadrži stepen . Da bismo pronašli njegovu vrijednost, prvo moramo pronaći vrijednost indikatora, koju imamo 
.
Dakle, .
odgovor:
.
Ako nije moguće izračunati točne vrijednosti korijena, snaga itd., Tada ih se možete pokušati riješiti pomoću nekih transformacija, a zatim se vratiti na izračunavanje vrijednosti prema navedenoj shemi.
Racionalni načini izračunavanja vrijednosti izraza
Izračunavanje vrijednosti numeričkih izraza zahtijeva dosljednost i tačnost. Da, potrebno je pridržavati se redoslijeda radnji zabilježenih u prethodnim paragrafima, ali nema potrebe to raditi slijepo i mehanički. Pod ovim mislimo da je često moguće racionalizirati proces pronalaženja značenja izraza. Na primjer, određena svojstva operacija s brojevima mogu značajno ubrzati i pojednostaviti pronalaženje vrijednosti izraza.
Na primjer, znamo ovo svojstvo množenja: ako je jedan od faktora u proizvodu jednak nuli, tada je vrijednost proizvoda jednaka nuli. Koristeći ovo svojstvo, možemo odmah reći da je vrijednost izraza 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) jednako je nuli. Ako bismo slijedili standardni redoslijed operacija, prvo bismo morali izračunati vrijednosti glomaznih izraza u zagradama, što bi oduzelo dosta vremena, a rezultat bi i dalje bio nula.
Takođe je zgodno koristiti svojstvo oduzimanja jednakih brojeva: ako od broja oduzmete jednak broj, rezultat je nula. Ovo svojstvo se može posmatrati šire: razlika između dva identična numerička izraza je nula. Na primjer, bez izračunavanja vrijednosti izraza u zagradama, možete pronaći vrijednost izraza (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), jednak je nuli, pošto je originalni izraz razlika identičnih izraza.
Transformacije identiteta mogu olakšati racionalno izračunavanje vrijednosti izraza. Na primjer, grupiranje pojmova i faktora može biti korisno; stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada nije manje često korišteno. Dakle, vrijednost izraza 53·5+53·7−53·11+5 je vrlo lako pronaći nakon što se faktor 53 izvuče iz zagrada: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Direktno izračunavanje bi potrajalo mnogo duže.
Da zaključimo ovu stvar, obratimo pažnju na racionalan pristup izračunavanju vrijednosti izraza s razlomcima - identični faktori u brojniku i nazivniku razlomka se poništavaju. Na primjer, smanjivanje istih izraza u brojniku i nazivniku razlomka 
omogućava vam da odmah pronađete njegovu vrijednost, koja je jednaka 1/2.
Pronalaženje vrijednosti doslovnog izraza i izraza s varijablama
Vrijednost doslovnog izraza i izraza s varijablama nalazi se za određene zadane vrijednosti slova i varijabli. Odnosno, govorimo o pronalaženju vrijednosti literalnog izraza za date vrijednosti slova, ili o pronalaženju vrijednosti izraza sa varijablama za odabrane vrijednosti varijabli.
Pravilo pronalaženje vrijednosti doslovnog izraza ili izraza sa varijablama za date vrijednosti slova ili odabrane vrijednosti varijabli je kako slijedi: trebate zamijeniti date vrijednosti slova ili varijabli u originalni izraz i izračunati vrijednost rezultirajućeg numeričkog izraza; to je željena vrijednost.
Primjer.
Izračunajte vrijednost izraza 0,5·x−y pri x=2,4 i y=5.
Rješenje.
Da biste pronašli traženu vrijednost izraza, prvo morate zamijeniti date vrijednosti varijabli u originalni izraz, a zatim izvršiti sljedeće korake: 0,5·2,4−5=1,2−5=−3,8.
odgovor:
−3,8 .
Kao konačna napomena, ponekad izvođenje konverzija literalnih i varijabilnih izraza će dati njihove vrijednosti, bez obzira na vrijednosti slova i varijabli. Na primjer, izraz x+3−x može se pojednostaviti, nakon čega će poprimiti oblik 3. Iz ovoga možemo zaključiti da je vrijednost izraza x+3−x jednaka 3 za bilo koju vrijednost varijable x iz njenog raspona dozvoljenih vrijednosti (APV). Drugi primjer: vrijednost izraza je jednaka 1 za sve pozitivne vrijednosti x, tako da je raspon dozvoljenih vrijednosti varijable x u originalnom izrazu skup pozitivnih brojeva, au ovom rasponu jednakost drži.
Bibliografija.
- Matematika: udžbenik za 5. razred. opšte obrazovanje institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematika. 6. razred: obrazovni. za opšte obrazovanje institucije / [N. Ya. Vilenkin i drugi]. - 22. izdanje, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
- algebra: udžbenik za 7. razred opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 17. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- algebra: 9. razred: obrazovni. za opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2009. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 razred. opšte obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. izd. - M.: Obrazovanje, 2004. - 384 str.: ilustr. - ISBN 5-09-013651-3.
Glavna funkcija zagrada je promjena redoslijeda radnji prilikom izračunavanja vrijednosti. Na primjer, u numeričkom izrazu \(5·3+7\) prvo će se izračunati množenje, a zatim sabiranje: \(5·3+7 =15+7=22\). Ali u izrazu \(5·(3+7)\) prvo će se izračunati zbrajanje u zagradama, a tek onda množenje: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Primjer.
Proširite zagradu: \(-(4m+3)\).
Rješenje
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Primjer.
Otvorite zagradu i navedite slične pojmove \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Rješenje
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Primjer.
Proširite zagrade \(5(3-x)\).
Rješenje
: U zagradi imamo \(3\) i \(-x\), a ispred zagrade je petica. To znači da se svaki član zagrade množi sa \(5\) - podsjećam vas na to Znak množenja između broja i zagrade nije napisan u matematici kako bi se smanjila veličina unosa.
Primjer.
Proširite zagrade \(-2(-3x+5)\).
Rješenje
: Kao u prethodnom primjeru, \(-3x\) i \(5\) u zagradi se množe sa \(-2\).
Primjer.
Pojednostavite izraz: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Rješenje
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Ostaje razmotriti posljednju situaciju.
Kada se zagrada množi zagradicom, svaki član prve zagrade se množi sa svakim članom druge zagrade:
\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)
Primjer.
Proširite zagrade \((2-x)(3x-1)\).
Rješenje
: Imamo proizvod zagrada i može se odmah proširiti koristeći gornju formulu. Ali da ne bismo bili zbunjeni, uradimo sve korak po korak.
Korak 1. Uklonite prvu zagradu - pomnožite svaki njen član sa drugom zagradom:
Korak 2. Proširite proizvode zagrada i faktora kao što je gore opisano:
- Krenimo redom...
Onda drugi.
Korak 3. Sada množimo i predstavljamo slične pojmove:
Nije potrebno tako detaljno opisivati sve transformacije, možete ih odmah pomnožiti. Ali ako tek učite kako otvoriti zagrade, pisati detaljno, bit će manje šanse da pogriješite.
Napomena za cijeli odjeljak. U stvari, ne morate zapamtiti sva četiri pravila, samo trebate zapamtiti jedno, ovo: \(c(a-b)=ca-cb\) . Zašto? Jer ako zamijenite jedan umjesto c, dobićete pravilo \((a-b)=a-b\) . A ako zamijenimo minus jedan, dobićemo pravilo \(-(a-b)=-a+b\) . Pa, ako zamijenite drugu zagradu umjesto c, možete dobiti posljednje pravilo.
Zagrada unutar zagrade
Ponekad u praksi postoje problemi sa zagradama ugniježđenim unutar drugih zagrada. Evo primjera takvog zadatka: pojednostavite izraz \(7x+2(5-(3x+y))\).
Za uspješno rješavanje takvih zadataka potrebno vam je:
- pažljivo razumjeti ugniježđenje zagrada - u kojoj se nalazi;
- otvarajte zagrade uzastopno, počevši, na primjer, od one unutrašnje.
Važno je prilikom otvaranja jedne od zagrada ne dirajte ostatak izraza, samo prepisujem kako jeste.
Pogledajmo gore napisan zadatak kao primjer.
Primjer.
Otvorite zagrade i dajte slične pojmove \(7x+2(5-(3x+y))\).
Rješenje:
Primjer.
Otvorite zagrade i navedite slične pojmove \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Rješenje
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Ovdje postoji trostruko ugniježđenje zagrada. Počnimo s najdubljim (označenim zelenom bojom). Ispred nosača je plus, tako da se jednostavno skida. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Sada morate otvoriti drugu zagradu, srednju. Ali prije toga ćemo pojednostaviti izražavanje pojmova sličnih duhovima u ovoj drugoj zagradi. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Sada otvaramo drugu zagradu (označeno plavom bojom). Prije zagrada je faktor - tako da se svaki član u zagradi množi s njim. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
I otvori posljednju zagradu. Ispred zagrade je znak minus, tako da su svi znakovi obrnuti. |
||
Proširivanje zagrada je osnovna vještina u matematici. Bez ove vještine nemoguće je imati ocjenu iznad C u 8. i 9. razredu. Stoga vam preporučujem da dobro shvatite ovu temu.
Ovaj članak govori o zagradama u matematici i raspravlja o vrstama i primjenama, terminima i metodama upotrebe u rješavanju ili opisivanju gradiva. Konačno, slični primjeri će biti riješeni detaljnim komentarima.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Osnovne vrste zagrada, notacija, terminologija
Za rješavanje zadataka iz matematike koriste se tri vrste zagrada: () , , ( ) . Manje uobičajene su zagrade ovog tipa] i [, nazvane zazori, ili< и >, odnosno u obliku ugla. Njihova upotreba je uvijek uparena, odnosno u bilo kojem izrazu postoje početna i završna zagrada, onda ima smisla. zagrade vam omogućavaju da razgraničite i definirate slijed radnji.
Kovrčava neuparena zagrada tipa ( se nalazi pri rješavanju sistema jednadžbi, koja označava sjecište datih skupova, a zagrada [ se koristi pri njihovom kombinovanju. Zatim ćemo razmotriti njihovu primjenu.
Zagrade koje označavaju redosled u kojem se radnje izvode
Glavna svrha zagrada je da naznače redoslijed radnji koje treba izvršiti. Tada izraz može imati jedan ili više parova zagrada. Po pravilu se uvijek prvo izvodi radnja u zagradi, zatim množenje i dijeljenje, a kasnije sabiranje i oduzimanje.
Primjer 1
Pogledajmo dati izraz kao primjer. Ako je naveden primjer kao 5 + 3 - 2, onda je očito da se radnje izvode uzastopno. Kada se isti izraz napiše sa zagradama, onda se njihov redoslijed mijenja. To jest, kada je (5 + 3) - 2, prva akcija se izvodi u zagradama. U ovom slučaju neće biti promjena. Ako je izraz napisan u obliku 5 + (3 - 2), tada se prvo izvode proračuni u zagradama, a zatim sabiranje sa brojem 5. U ovom slučaju to neće utjecati na izvornu vrijednost.
Primjer 2
Pogledajmo primjer koji će pokazati kako promjena položaja zagrada može promijeniti rezultat. Ako je dat izraz 5 + 2 · 4, jasno je da se prvo vrši množenje, a zatim sabiranje. Kada izraz izgleda kao (5 + 2) · 4, prvo će se izvršiti radnja u zagradama, nakon čega će se izvršiti množenje. Rezultati izražavanja će se razlikovati.
Izrazi mogu sadržavati nekoliko parova zagrada, tada izvršavanje radnji počinje s prvim. U izrazu oblika (4 + 5 · 2) − 0, 5: (7 − 2) : (2 + 1 + 12) jasno je da se prvo izvode operacije u zagradi, zatim dijeljenje i na kraju oduzimanje.
Postoje primjeri u kojima postoje ugniježđene složene zagrade oblika 4 6 - 3 + 8: 2 i 5 (1 + (8 - 2 3 + 5) - 2)) - 4. Tada počinje izvršavanje radnji s unutrašnjim zagradama. Zatim, napreduje se prema van.
Primjer 3
Ako imate izraz 4 · 6 - 3 + 8: 2, očito se prvo rade koraci u zagradama. To znači da trebate oduzeti 3 od 6, pomnožiti sa 4 i dodati 8. Na kraju, podijelite sa 2. Ovo je jedini način da dobijete pravi odgovor.
Slovo može koristiti zagrade različitih veličina. To je učinjeno radi praktičnosti i mogućnosti razlikovanja jednog para od drugog. Vanjski nosači su uvijek veći od unutrašnjih. Odnosno, dobijamo izraz oblika 5 - 1: 2 + 1 2 + 3 - 1 3 · 2 · 3 - 4. Rijetko se može vidjeti korištenje istaknutih zagrada (2 + 2 · (2 + (5 · 4 − 4))) · (6: 2 − 3 · 7) · (5 − 3) ili korištenje uglatih, na primjer, [ 3 + 5 · ( 3 − 1) ] · 7 ili kovrčava ( 5 + [ 7 − 12: (8 − 5) : 3 ] + 7 − 2 ): [ 3 + 5 + 6: (5 − 2 − 1) ] .
Prije nego što nastavite s rješenjem, važno je pravilno odrediti redoslijed radnji i razvrstati sve potrebne parove zagrada. Da biste to učinili, dodajte različite vrste zagrada ili promijenite njihovu boju. Označavanje zagrade drugom bojom je zgodno za rješavanje, ali oduzima dosta vremena, pa se u praksi najčešće koriste okrugle, kovrčave i četvrtaste zagrade.
Negativni brojevi u zagradama
Ako je potrebno predstaviti negativne brojeve, onda u izrazu koristite zagrade. Unos kao što je 5 + (− 3) + (− 2) · (− 1) , 5 + - 2 3 , 2 5 7 - 5 + - 6 7 3 · (- 2) · - 3 , 5 je namijenjen za da poredite negativne brojeve u izrazu.
Zagrade se ne koriste za negativan broj kada se pojavljuje na početku bilo kojeg izraza ili razlomka. Ako imamo primjer oblika − 5 4 + (− 4) : 2, onda je očigledno da se znak minus ispred 5 ne može staviti u zagrade, već za 3 - 0, 4 - 2, 2 3 + 7 + 3 - 1:2 na početku je napisan broj 2, 2, što znači da zagrade takođe nisu potrebne. Uz zagrade možete napisati izraz (− 5) 4 + (− 4): 2 ili 3 - 0, 4 - 2, 2 3 + 7 + 3 - 1: 2. Unos sa zagradama smatra se strožijim.
Znak minus se može staviti ne samo ispred broja, već i ispred varijabli, potencija, korijena, razlomaka, funkcija, tada ih treba staviti u zagrade. To su unosi kao što su 5 · (− x) , 12: (− 22) , 5 · - 3 + 7 - 1 + 7: - x 2 + 1 3 , 4 3 4 - - x + 2 x - 1 , 2 · (- (3 + 2 · 4) , 5 · (- log 3 2) - (- 2 x 2 + 4) , sin x · (- cos 2 x) + 1
Zagrade za izraze s kojima se izvode radnje
Upotreba zagrada je povezana s navođenjem u izrazu radnji gdje postoji podizanje na stepen, uzimanje derivacije ili funkcije. Oni vam omogućavaju da organizujete izraze radi lakšeg daljeg rešavanja.
Zagrade u izrazima sa potencijama
Izraz sa stepenom ne treba uvek biti stavljen u zagrade, pošto je stepen u superkriptu. Ako postoji zapis oblika 2 x + 3, onda je očito da je x + 3 eksponent. Kada je stepen napisan kao znak ^, onda ostatak izraza treba napisati sa dodatkom zagrada, odnosno 2 ^ (x + 3) . Ako napišete isti izraz bez zagrada, dobićete potpuno drugačiji izraz. Sa 2 ^ x + 3 izlaz je 2 x + 3.
Za osnovu stepena nisu potrebne zagrade. Dakle, unos ima oblik 0 3, 5 x 2 + 5, y 0, 5. Ako baza ima razlomak, tada se mogu koristiti zagrade. Dobijamo izraze oblika (0, 75) 2, 2 2 3 32 + 1, (3 x + 2 y) - 3, log 2 x - 2 - 1 2 x - 1.
Ako se izraz osnove stepena ne stavi u zagrade, eksponent se može primijeniti na cijeli izraz, što će dovesti do pogrešne odluke. Kada postoji izraz oblika x 2 + y, a - 2 je njegov stepen, onda će unos dobiti oblik (x 2 + y) - 2. Bez zagrada, izraz bi postao x 2 + y - 2, što je potpuno drugačiji izraz.
Ako je osnova stepena logaritam ili trigonometrijska funkcija sa celobrojnim eksponentom, tada zapis postaje sin, cos, t g, c t g, a r c sin, a r c cos, a r c t g, a r c c t g, log, ln ili l g. Prilikom pisanja izraza u obliku sin 2 x, a r c cos 3 y, ln 5 e i log 5 2 x vidimo da zagrade ispred funkcija ne mijenjaju značenje cijelog izraza, odnosno da su ekvivalentne. Dobijamo zapise oblika (sin x) 2, (a r c cos y) 3, (ln e) 5 i log 5 x 2 . Prihvatljivo je izostaviti zagrade.
Zagrade u izrazima s korijenima
Upotreba zagrada u radikalnom izrazu je besmislena, jer su izrazi oblika x + 1 i x + 1 ekvivalentni. Zagrade neće promijeniti rješenje.
Zagrade u izrazima s trigonometrijskim funkcijama
Ako postoje negativni izrazi za funkcije kao što su sinus, kosinus, tangent, kotangens, arksinus, arkosinus, arktangens, arkkotangens, tada se moraju koristiti zagrade. Ovo će vam omogućiti da ispravno odredite da li izraz pripada postojećoj funkciji. Odnosno, dobijamo zapise oblika sin (− 5) , cos (x + 2) , a r c t g 1 x - 2 2 3 .
Kada pišete sin, cos, t g, c t g, a r c sin, a r c cos, a r c t g i a r c c t g, nemojte koristiti zagrade za dati broj. Kada na snimku ima izraza, onda ih ima smisla staviti. To jest, sin π 3, t g x + π 2, a r c sin x 2, a r c t g 3 3 sa korijenima i potencijama, cos x 2 - 1, a r c t g 3 2, c t g x + 1 - 3 i slični izrazi.
Ako izraz sadrži više uglova kao što su x, 2 x, 3 x i tako dalje, zagrade se izostavljaju. Dozvoljeno je pisati u obliku sin 2 x, c t g 7 x, cos 3 α. Da bi se izbjegla dvosmislenost, izrazu se mogu dodati zagrade. Tada dobijamo zapis oblika sin (2 · x) : 2 umjesto sin 2 · x: 2 .
Zagrade u izrazima sa logaritmima
Najčešće se svi izrazi logaritamske funkcije stavljaju u zagrade radi daljeg ispravnog rješenja. Odnosno, dobijamo ln (e − 1 + e 1) , log 3 (x 2 + 3 · x + 7) , l g ((x + 1) · (x − 2)) . Izostavljanje zagrada je dozvoljeno kada je jasno kojem izrazu pripada sam logaritam. Ako postoji razlomak, korijen ili funkcija, možete napisati izraze u obliku log 2 x 5, l g x - 5, ln 5 · x - 5 3 - 5.
Zagrade unutar
Kada postoje ograničenja, koristite zagrade da predstavite izraz samog ograničenja. Odnosno, za zbrojeve, proizvode, količnike ili razlike uobičajeno je pisati izraze u zagradama. Dobijamo da je lim n → 5 1 n + n - 2 i lim x → 0 x + 5 x - 3 x - 1 x + x + 1: x + 2 x 2 + 3. Izostavljanje zagrada se očekuje kada postoji prosti razlomak ili je očigledno na koji izraz se znak odnosi. Na primjer, lim x → ∞ 1 x ili lim x → 0 (1 + x) 1 x.
Zagrade i derivat
Prilikom pronalaženja izvedenice često možete pronaći upotrebu zagrada. Ako postoji složen izraz, onda se cijeli unos stavlja u zagrade. Na primjer, (x + 1) " ili sin x x - x + 1 .
Integrandi u zagradama
Ako trebate integrirati izraz, trebali biste ga napisati u zagradama. Tada će primjer imati oblik ∫ (x 2 + 3 x) d x , ∫ - 1 1 (sin 2 x - 3) d x , ∭ V (3 x y + z) d x d y d z .
Zagrade koje razdvajaju argument funkcije
Kada je funkcija prisutna, zagrade se najčešće koriste za označavanje. Kada je data funkcija f sa varijablom x, tada notacija poprima oblik f (x). Ako postoji nekoliko argumenata funkcije, tada će takva funkcija imati oblik F (x, y, z, t).
Zagrade u periodičnim decimalima
Upotreba tačke je zbog upotrebe zagrada prilikom pisanja. Period samog decimalnog razlomka nalazi se u zagradama. Ako je dat decimalni razlomak oblika 0, 232323... onda je očigledno da stavljamo 2 i 3 u zagrade. Unos ima oblik 0, (23). Ovo je tipično za bilo koju notaciju periodičnog razlomka.
Zagrade za označavanje numeričkih intervala
Za prikaz numeričkih intervala koriste se četiri vrste zagrada: () , (] , [) i . Intervali u kojima funkcija postoji, odnosno ima rješenje, pišu se u zagradama. Zagrada znači da broj nije uključen u područje definicije, uglata zagrada znači da jeste. U prisustvu beskonačnosti, uobičajeno je da se prikaže zagrada.
Odnosno, kada prikazujemo intervale, dobijamo da (0, 5) , [ − 0, 5, 12) , - 10 1 2 , - 5 2 3 , [ 5 , 700 ] , (− ∞ , − 4 ] , (− 3 , + ∞) , (− ∞ , + ∞). Ne koristi sva literatura zagrade na isti način. Postoje slučajevi kada možete vidjeti zapis kao što je ] 0, 1 [, što znači (0, 1) ili [ 0, 1 [, što znači [ 0 , 1) , a značenje izraza se ne mijenja.
Oznake sistema i skupova jednačina i nejednačina
Sistemi jednačina i nejednačina se obično pišu pomoću vitičaste zagrade oblika ( . To znači da su sve nejednačine ili jednačine objedinjene ovom zagradom. Pogledajmo primjer upotrebe zagrade. Sistem jednačina oblika x 2 - 1 = 0 x 2 + x - 2 = 0 ili nejednakosti sa dvije varijable x 2 - y > 0 3 x + 2 y ≤ 3, cos x 1 2 x + π 3 = 0 2 x 2 - 4 ≥ 5 - sistem koji se sastoji od dvije jednačine i jedne nejednačine.
Upotreba vitičastih zagrada odnosi se na predstavljanje presjeka skupova. Prilikom rješavanja sistema sa vitičastom zagradom, zapravo dolazimo do sjecišta datih jednačina. Uglata zagrada se koristi za spajanje.
Jednačine i nejednačine se označavaju sa [ zagradama ako je potrebno prikazati skup. Tada dobijamo primjere oblika (x - 1) (x + 7) = 0 x - 2 = 12 + x 2 - x + 3 i x > 2 x - 5 y = 7 2 x + 3 y ≥ 1
Možete pronaći izraze u kojima postoji i sistem i skup:
x ≥ 5 x< 3 x > 4 , 5
Vitičasta zagrada za označavanje funkcije po komadima
Funkcija po komadima je prikazana pomoću jedne vitičaste zagrade, gdje postoje formule koje definiraju funkciju, koje sadrže potrebne intervale. Pogledajmo primjer formule koja sadrži intervale kao što su x = x, x ≥ 0 - x, x< 0 , где имеется кусочная функция.
Zagrade za označavanje koordinata tačke
Da biste prikazali koordinatne tačke kao intervale, koristite zagrade. Mogu se nalaziti ili na koordinatnoj liniji ili u pravougaonom koordinatnom sistemu ili n-dimenzionalnom prostoru.
Kada je koordinata napisana kao A (1), to znači da tačka A ima koordinatu sa vrednošću 1, tada Q (x, y, z) kaže da tačka Q sadrži koordinate x, y, z.
Zagrade za navođenje elemenata skupa
Skupovi su definisani navođenjem elemenata uključenih u njegovu domenu. To se radi pomoću vitičastih zagrada, gdje su sami elementi odvojeni zarezima. Unos izgleda ovako: A = (1, 2, 3, 4). Može se vidjeti da se skup sastoji od vrijednosti navedenih u zagradama.
Zagrade i vektorske koordinate
Prilikom razmatranja vektora u koordinatnom sistemu koristi se koncept vektorskih koordinata. Odnosno, pri određivanju koriste koordinate koje su napisane kao lista u zagradama.
Udžbenici nude dva tipa notacije: a → 0 ; - 3 ili a → 0 ; - 3. Oba unosa su ekvivalentna i imaju vrijednosti koordinata 0, - 3. Prilikom prikazivanja u trodimenzionalnom prostoru dodaje se još jedna koordinata. Tada unos izgleda ovako: A B → 0, - 3, 2 3 ili A B → 0, - 3, 2 3.
Oznaka koordinata može biti sa ili bez vektorske ikone na samom vektoru. Ali koordinate se bilježe odvojene zarezima u obliku nabrajanja. Unos ima oblik a = (2, 4, − 2, 6, 1 2), pri čemu je vektor označen u petodimenzionalnom prostoru. Rjeđe možete vidjeti oznaku dvodimenzionalnog prostora u obliku a = 3 - 7
Zagrade za označavanje elemenata matrice
Česta upotreba zagrada je data u matricama. Svi elementi su fiksirani pomoću zagrada oblika A = 4 2 3 - 3 0 0 12.
Manje je uobičajeno vidjeti upotrebu uglastih zagrada.
Tada matrica poprima oblik A = 4 2 3 - 3 0 0 12.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Numerički izraz– ovo je bilo koji zapis brojeva, aritmetičkih simbola i zagrada. Numerički izraz se može jednostavno sastojati od jednog broja. Podsjetimo da su osnovne aritmetičke operacije “sabiranje”, “oduzimanje”, “množenje” i “dijeljenje”. Ove radnje odgovaraju znakovima “+”, “-”, “∙”, “:”.
Naravno, da bismo dobili numerički izraz, zapis brojeva i aritmetičkih simbola mora biti smislen. Tako se, na primjer, takav unos 5: + ∙ ne može nazvati numeričkim izrazom, jer je to nasumični skup simbola koji nema značenje. Naprotiv, 5 + 8 ∙ 9 je već pravi numerički izraz.
Vrijednost numeričkog izraza.
Recimo odmah da ako izvršimo radnje naznačene u numeričkom izrazu, onda ćemo kao rezultat dobiti broj. Ovaj broj se zove vrijednost numeričkog izraza.
Pokušajmo izračunati što ćemo dobiti kao rezultat izvođenja radnji našeg primjera. Prema redosledu kojim se izvode aritmetičke operacije, prvo izvodimo operaciju množenja. Pomnožite 8 sa 9. Dobijamo 72. Sada dodajte 72 i 5. Dobijamo 77.
Dakle, 77 - značenje numerički izraz 5 + 8 ∙ 9.
Brojčana jednakost.
Možete to napisati na sljedeći način: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Ovdje smo prvi put koristili znak “=” („Jednako”). Takva notacija u kojoj su dva numerička izraza odvojena znakom "=" naziva se brojčana jednakost. Štoviše, ako se vrijednosti lijeve i desne strane jednakosti poklapaju, tada se jednakost naziva vjerni. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – tačna jednakost.
Ako zapišemo 5 + 8 ∙ 9 = 100, to će već biti lažna jednakost, budući da se vrijednosti lijeve i desne strane ove jednakosti više ne poklapaju.
Treba napomenuti da u numeričkom izrazu možemo koristiti i zagrade. Zagrade utiču na redosled izvođenja radnji. Tako, na primjer, modificirajmo naš primjer dodavanjem zagrada: (5 + 8) ∙ 9. Sada prvo treba sabrati 5 i 8. Dobijamo 13. A onda pomnožimo 13 sa 9. Dobijamo 117. Dakle, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – značenje numerički izraz (5 + 8) ∙ 9.
Da biste ispravno pročitali izraz, morate odrediti koja se radnja izvodi posljednja da biste izračunali vrijednost datog numeričkog izraza. Dakle, ako je posljednja radnja oduzimanje, onda se izraz naziva "razlika". Prema tome, ako je posljednja radnja zbir - "zbir", dijeljenje - "količnik", množenje - "proizvod", stepenovanje - "potencijal".
Na primjer, numerički izraz (1+5)(10-3) glasi ovako: "proizvod zbira brojeva 1 i 5 i razlike brojeva 10 i 3."
Primjeri numeričkih izraza.
Evo primjera složenijeg numeričkog izraza:
\[\levo(\frac(1)(4)+3,75 \desno):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\]
Ovaj numerički izraz koristi proste brojeve, obične razlomke i decimale. Koriste se i znaci sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja. Razlomak također zamjenjuje znak podjele. Unatoč prividnoj složenosti, pronalaženje vrijednosti ovog numeričkog izraza je prilično jednostavno. Glavna stvar je biti u stanju izvoditi operacije s razlomcima, kao i pažljivo i precizno napraviti proračune, promatrajući redoslijed kojim se radnje izvode.
U zagradama imamo izraz $\frac(1)(4)+3.75$ . Pretvorite decimalni razlomak 3,75 u običan razlomak.
$3,75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$
dakle, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$
Zatim, u brojiocu razlomka \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\] imamo izraz 1,25+3,47+4,75-1,47. Da bismo pojednostavili ovaj izraz, primjenjujemo komutativni zakon sabiranja, koji kaže: "Zbir se ne mijenja promjenom mjesta članova." To jest, 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.
U nazivniku razlomka izraz $4\centerdot 0.5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$
Dobijamo $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1$
Kada numerički izrazi nemaju smisla?
Pogledajmo još jedan primjer. U nazivniku razlomka $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ vrijednost izraza $3\centerdot 3-9$ je 0. A, kao što znamo, dijeljenje sa nulom je nemoguće. Dakle, razlomak $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ nema značenje. Za numeričke izraze koji nemaju značenje kaže se da nemaju značenje.
Ako koristimo slova pored brojeva u numeričkom izrazu, onda ćemo imati
