Matrica A -1 naziva se inverzna matrica u odnosu na matricu A ako je A * A -1 = E, gdje je E jedinična matrica n-tog reda. Inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice.
Svrha usluge... Uz pomoć ove usluge na mreži možete pronaći algebarske komplemente, transponovanu matricu A T, adjuint matricu i inverznu matricu. Rješenje se provodi direktno na web stranici (online) i besplatno je. Rezultati proračuna se prikazuju u Word izvještaju iu Excel formatu (tj. moguće je provjeriti rješenje). pogledajte primjer dizajna.
Uputstvo. Za dobivanje rješenja potrebno je postaviti dimenziju matrice. Zatim, u novom dijaloškom okviru, popunite matricu A.
Vidi također Inverzna matrica korištenjem Jordan-Gaussove metode
Algoritam za pronalaženje inverzne matrice
- Pronalaženje transponirane matrice A T.
- Definicija algebarskih komplementa. Zamijenite svaki element matrice njegovim algebarskim komplementom.
- Sastavljanje inverzne matrice od algebarskih sabiranja: svaki element rezultirajuće matrice se dijeli determinantom originalne matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna originalnoj matrici.
- Odredite da li je matrica kvadratna. Ako ne, onda za to ne postoji inverzna matrica.
- Izračunavanje determinante matrice A. Ako nije jednako nuli, nastavljamo sa rješenjem, u suprotnom inverzna matrica ne postoji.
- Definicija algebarskih komplementa.
- Popunjavanje matrice unije (recipročne, adjuint) C.
- Sastavljanje inverzne matrice od algebarskih komplementa: svaki element adjunktirane matrice C dijeli se determinantom originalne matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna originalnoj matrici.
- Provjerava se: originalna i rezultirajuća matrica se množe. Rezultat bi trebao biti matrica identiteta.
Primjer #1. Zapišimo matricu na sljedeći način:
Algebarski komplementi.
| A 1,1 = (-1) 1 + 1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1 + 2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1,3 = (-1) 1 + 3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2 + 1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2,2 = (-1) 2 + 2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2 + 3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3,1 = (-1) 3 + 1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3,2 = (-1) 3 + 2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3,3 = (-1) 3 + 3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Onda inverzna matrica može se napisati kao:
| A -1 = 1/10 |
|
| A -1 = |
|
Još jedan algoritam za pronalaženje inverzne matrice
Dajemo još jednu šemu za pronalaženje inverzne matrice.- Pronađite determinantu date kvadratne matrice A.
- Naći algebarske komplemente svim elementima matrice A.
- Zapisujemo algebarske komplemente elemenata reda u stupce (transpozicija).
- Svaki element rezultirajuće matrice dijelimo determinantom matrice A.
Poseban slučaj: Inverzna matrica identiteta E je matrica identiteta E.
Ovdje ćemo nastaviti temu operacija nad matricama započetu u prvom dijelu i analizirati nekoliko primjera u kojima ćete morati primijeniti nekoliko operacija odjednom.
Eksponencijacija matrice.
Neka je k nenegativan cijeli broj. Za bilo koju kvadratnu matricu $ A_ (n \ puta n) $ imamo: $$ A ^ k = \ underbrace (A \ cdot A \ cdot \ ldots \ cdot A) _ (k \; puta) $$
U ovom slučaju pretpostavljamo da je $ A ^ 0 = E $, gdje je $ E $ matrica identiteta odgovarajućeg reda.
Primjer br. 4
Matrica $ A = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \ kraj (niz) \ desno) $ je data. Pronađite matrice $ A ^ 2 $ i $ A ^ 6 $.
Prema definiciji, $ A ^ 2 = A \ cdot A $, tj. da bismo pronašli $ A ^ 2 $ samo trebamo pomnožiti matricu $ A $ sa sobom. Operacija množenja matrice razmatrana je u prvom dijelu teme, pa ćemo ovdje jednostavno zapisati proces rješavanja bez detaljnih objašnjenja:
$$ A ^ 2 = A \ cdot A = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \ kraj (niz) \ desno) \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 1 \ cdot 1 + 2 \ cdot (-1) & 1 \ cdot 2 +2 \ cdot (-3) \\ -1 \ cdot 1 + (- 3) \ cdot (-1) & -1 \ cdot 2 + (- 3) \ cdot (-3) \ kraj (niz) \ desno ) = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ kraj (niz) \ desno). $$
Za pronalaženje matrice $ A ^ 6 $ imamo dvije opcije. Prva opcija: bezobrazno je nastaviti množenje $ A ^ 2 $ sa matricom $ A $:
$$ A ^ 6 = A ^ 2 \ cdot A \ cdot A \ cdot A \ cdot A. $$
Međutim, možete ići malo jednostavnijim putem, koristeći svojstvo asocijativnosti množenja matrice. Postavimo zagrade u izraz za $ A ^ 6 $:
$$ A ^ 6 = A ^ 2 \ cdot A \ cdot A \ cdot A \ cdot A = A ^ 2 \ cdot (A \ cdot A) \ cdot (A \ cdot A) = A ^ 2 \ cdot A ^ 2 \ cdot A ^ 2. $$
Ako bi rješavanje prve metode zahtijevalo četiri operacije množenja, onda za drugu metodu - samo dvije. Dakle, idemo drugim putem:
$$ A ^ 6 = A ^ 2 \ cdot A ^ 2 \ cdot A ^ 2 = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ kraj (niz) \ desno) \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ kraj (niz) \ desno) \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ kraj (niz) \ desno) = \\ = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -1 \ cdot (-1) + (- 4) \ cdot 2 & -1 \ cdot (-4 ) + (- 4) \ cdot 7 \\ 2 \ cdot (-1) +7 \ cdot 2 & 2 \ cdot (-4) +7 \ cdot 7 \ kraj (niz) \ desno) \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \ kraj ( niz) \ desno) \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ kraj (niz) \ desno) = \\ = \ lijevo (\ početak (niz) (cc ) -7 \ cdot (-1) + (- 24) \ cdot 2 & -7 \ cdot (-4) + (- 24) \ cdot 7 \\ 12 \ cdot (-1) +41 \ cdot 2 & 12 \ cdot (-4) +41 \ cdot 7 \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \ kraj (niz) \ desno). $$
Odgovori: $ A ^ 2 = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ kraj (niz) \ desno) $, $ A ^ 6 = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \ kraj (niz) \ desno) $.
Primjer br. 5
Zadate matrice $ A = \ lijevo (\ početak (niz) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ kraj (niz) \ desno) $, $ B = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ kraj (niz) \ desno) $, $ C = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \ kraj (niz) \ desno) $. Pronađite matricu $ D = 2AB-3C ^ T + 7E $.
Počinjemo računati matricu $ D $ pronalaženjem rezultata proizvoda $ AB $. Matrice $ A $ i $ B $ mogu se množiti, pošto je broj kolona u matrici $ A $ jednak broju redova u matrici $ B $. Označavamo $ F = AB $. U ovom slučaju, $F $ matrica će imati tri kolone i tri reda, tj. će biti kvadratna (ako ovaj zaključak ne izgleda očigledan, pogledajte opis množenja matrice u prvom dijelu ove teme). Pronađimo matricu $ F $ izračunavanjem svih njenih elemenata:
$$ F = A \ cdot B = \ lijevo (\ početak (niz) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ kraj (niz) \ desno) \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ kraj (niz) \ desno) \\ \ početak (poravnano) & f_ (11) = 1 \ cdot (-9) +0 \ cdot 2 + (- 1) \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 = -7; \\ & f_ (12) = 1 \ cdot 1 + 0 \ cdot (-1) + (- 1) \ cdot (-2) +2 \ cdot 5 = 13; \\ & f_ (13) = 1 \ cdot 0 + 0 \ cdot 4 + (- 1) \ cdot 3 + 2 \ cdot 0 = -3; \\ \\ & f_ (21) = 3 \ cdot (-9 ) + (- 2) \ cdot 2 + 5 \ cdot 0 + 0 \ cdot 1 = -31; \\ & f_ (22) = 3 \ cdot 1 + (- 2) \ cdot (-1) +5 \ cdot (-2) +0 \ cdot 5 = -5; \\ & f_ (23) = 3 \ cdot 0 + (- 2) \ cdot 4 + 5 \ cdot 3 + 0 \ cdot 0 = 7; \\ \\ & f_ (31) = - 1 \ cdot (-9) +4 \ cdot 2 + (- 3) \ cdot 0 + 6 \ cdot 1 = 23; \\ & f_ (32) = - 1 \ cdot 1 + 4 \ cdot (-1) + (- 3) \ cdot (-2) +6 \ cdot 5 = 31; \\ & f_ (33) = - 1 \ cdot 0 + 4 \ cdot 4 + (- 3) \ cdot 3 + 6 \ cdot 0 = 7. \ kraj (poravnano) $$
Dakle $ F = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ kraj (niz) \ desno) $. Idemo dalje. $ C ^ T $ matrica je transpozicija $ C $ matrice, tj. $ C ^ T = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \ kraj (niz) \ desno) $. Što se tiče matrice $ E $, ovo je matrica identiteta. U ovom slučaju, redoslijed ove matrice je tri, tj. $ E = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ kraj (niz) \ desno) $.
U principu, možemo nastaviti ići korak po korak, ali je bolje razmotriti preostali izraz u cijelosti, a da nas ne ometaju pomoćne radnje. U stvari, preostale su nam samo operacije množenja matrica brojem, kao i operacije sabiranja i oduzimanja.
$$ D = 2AB-3C ^ T + 7E = 2 \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ kraj (niz) \ desno) -3 \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \ kraj (niz) \ desno) +7 \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ kraj (niz) \ desno) $$
Pomnožimo matrice na desnoj strani jednakosti odgovarajućim brojevima (tj. 2, 3 i 7):
$$ 2 \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ kraj (niz) \ desno) -3 \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \ kraj (niz) \ desno) +7 \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ kraj (niz) \ desno) = \\ = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \ kraj (niz) \ desno) - \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \ kraj (niz) \ desno) + \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \ kraj (niz) \ desno) $$
Izvodimo posljednje korake: oduzimanje i sabiranje:
$$ \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \ kraj (niz) \ desno) - \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \ kraj (niz) \ desno) + \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \ kraj (niz) \ desno) = \\ = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -14 - (- 15) +7 & 26-30 + 0 & -6-9 + 0 \\ -62 - (- 60) +0 & -10-36 + 7 & 14 - (- 45) +0 \\ 46-39 + 0 & 62-27 +0 & 14-24 + 7 \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \ kraj (niz) \ desno). $$
Problem riješen, $ D = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \ kraj (niz) \ desno) $ ...
Odgovori: $ D = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \ kraj (niz) \ desno) $.
Primjer br. 6
Neka je $ f (x) = 2x ^ 2 + 3x-9 $ i matrica $ A = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ kraj (niz) \ desno) $. Pronađite vrijednost $ f (A) $.
Ako je $ f (x) = 2x ^ 2 + 3x-9 $, tada pod $ f (A) $ mislimo na matricu:
$$ f (A) = 2A ^ 2 + 3A-9E. $$
Ovako se definiše polinom matrice. Dakle, trebamo zamijeniti matricu $ A $ u izraz za $ f (A) $ i dobiti rezultat. Budući da su sve radnje detaljno razmotrene ranije, ovdje ću samo dati rješenje. Ako vam proces izvođenja operacije $ A ^ 2 = A \ cdot A $ nije jasan, onda vam savjetujem da pogledate opis množenja matrice u prvom dijelu ove teme.
$$ f (A) = 2A ^ 2 + 3A-9E = 2A \ cdot A + 3A-9E = 2 \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ kraj (niz) \ desno) \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ kraj (niz) \ desno) +3 \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ kraj (niz) \ desno) -9 \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ kraj (niz) \ desno) = \\ = 2 \ lijevo ( \ begin (niz) (cc) (-3) \ cdot (-3) +1 \ cdot 5 & (-3) \ cdot 1 + 1 \ cdot 0 \\ 5 \ cdot (-3) +0 \ cdot 5 & 5 \ cdot 1 + 0 \ cdot 0 \ kraj (niz) \ desno) +3 \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ kraj (niz) \ desno) -9 \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ kraj (niz) \ desno) = \\ = 2 \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \ kraj (niz) \ desno) +3 \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ kraj (niz) \ desno) -9 \ lijevo (\ početak (niz) ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \ kraj (niz) \ desno) + \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \ kraj (niz) \ desno) - \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \ kraj (niz) \ desno). $$
Odgovori: $ f (A) = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \ kraj (niz) \ desno) $.
Kako ubaciti matematičke formule u web stranicu?
Ako ikada trebate dodati jednu ili dvije matematičke formule na web stranicu, najlakši način da to učinite je kako je opisano u članku: matematičke formule se lako ubacuju na stranicu u obliku slika koje Wolfram Alpha automatski generiše. Osim jednostavnosti, ova svestrana metoda će vam pomoći da poboljšate vidljivost vaše stranice u pretraživačima. Radi već dugo (i mislim da će raditi zauvijek), ali je moralno zastarjelo.
Ako redovno koristite matematičke formule na svojoj web stranici, preporučujem vam da koristite MathJax, posebnu JavaScript biblioteku koja prikazuje matematičke zapise u web pretraživačima koristeći oznake MathML, LaTeX ili ASCIIMathML.
Postoje dva načina da počnete koristiti MathJax: (1) pomoću jednostavnog koda možete brzo povezati MathJax skriptu na svoju web lokaciju, koja će se automatski učitati sa udaljenog servera u pravo vrijeme (listu servera); (2) prenesite MathJax skriptu sa udaljenog servera na vaš server i povežite ga sa svim stranicama vašeg sajta. Druga metoda, koja je složenija i dugotrajnija, ubrzaće učitavanje stranica vašeg sajta, a ako roditeljski MathJax server iz nekog razloga postane privremeno nedostupan, to ni na koji način neće uticati na vašu veb lokaciju. Unatoč ovim prednostima, odabrao sam prvi metod jer je jednostavniji, brži i ne zahtijeva tehničke vještine. Slijedite moj primjer i za 5 minuta moći ćete koristiti sve mogućnosti MathJaxa na svojoj stranici.
Možete povezati skriptu MathJax biblioteke sa udaljenog servera koristeći dvije verzije koda preuzete sa glavne MathJax stranice ili sa stranice dokumentacije:
Jedna od ovih varijanti koda mora biti kopirana i zalijepljena u kod vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka
i ili odmah nakon oznake ... Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako unesete prvi kod, morat ćete ga povremeno ažurirati. Ako umetnete drugi kod, stranice će se učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.Najlakši način da povežete MathJax je u Bloggeru ili WordPressu: na kontrolnoj tabli vaše stranice dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte prvu ili drugu verziju koda za učitavanje prikazanu iznad u njega i postavite widget bliže početak šablona (usput, to uopće nije potrebno jer se MathJax skripta učitava asinhrono). To je sve. Sada naučite MathML, LaTeX i ASCIIMathML sintaksu označavanja i spremni ste da ugradite matematičke formule u web stranice svoje web stranice.
Svaki fraktal se gradi prema određenom pravilu, koje se dosljedno primjenjuje neograničen broj puta. Svako takvo vrijeme naziva se iteracija.
Iterativni algoritam za konstruisanje Mengerovog sunđera je prilično jednostavan: originalna kocka sa stranom 1 podeljena je ravninama paralelnim sa njenim plohama na 27 jednakih kocki. Iz nje se uklanjaju jedna centralna kocka i 6 susjednih kocki. Rezultat je set koji se sastoji od preostalih 20 manjih kockica. Učinivši isto sa svakom od ovih kockica, dobijamo set koji se već sastoji od 400 manjih kockica. Nastavljajući ovaj proces beskonačno, dobijamo Menger sunđer.
Operacija podizanja na stepen n može se formalno primijeniti na kvadratne matrice. Za ovo, n mora biti cijeli broj. Rezultat ove operacije prikazan je u tabeli. 9.1. Operator za podizanje matrice m na stepen n možete unijeti na isti način kao i za skalar: klikom na tipku Raise to Power na panelu Kalkulatora ili pritiskom na<А>... Kada se pojavi čuvar mjesta, morate unijeti vrijednost n.
Tabela 9.1. Rezultati eksponencijacije matrice
0 je matrica identiteta dimenzije matrice M
1 sama matrica M
1 M -1 - matrica inverzna od M
2,3, ... MM, (MM) M, ...
2, -3, ... M -1 M -1, (M -1 M -1) M -1, ...
Neki primjeri eksponencijacije matrica prikazani su u Listingu 9-15.
Listing 9.15. Primjeri podizanja kvadratne matrice na cijeli broj
Vektorizacija niza
Mathcadova vektorska algebra uključuje pomalo neobičan operator koji se zove vektorizirajući operator. Ovaj operator je u pravilu namijenjen za rad s nizovima. Omogućava vam da izvršite istu vrstu operacije na svim elementima niza (tj. matrici ili vektoru), čime se pojednostavljuje programiranje petlji. Na primjer, ponekad želite da pomnožite svaki element jednog vektora odgovarajućim elementom drugog vektora. Ne postoji takva operacija direktno u Mathcadu, ali je lako izvesti vektorizacijom (Listing 9.16). Za ovo:
· Unesite vektorski izraz kao što je prikazano u drugom redu liste (imajte na umu da u ovom obliku simbol množenja označava operator vektorskog proizvoda).
· Pomerite kursor tako da linije unosa ističu ceo izraz koji treba vektorizovati (slika 9.3).
Unesite operator vektorizacije klikom na dugme Vectorize na panelu Matrix (Slika 9.3) ili korišćenjem prečice na tastaturi
· Enter<=>da dobijete rezultat.
Rice. 9.3. Operator vektorizacije
Listing 9.16. Upotreba vektorizacije za množenje elemenata vektora
Operator vektorizacije može se koristiti samo sa vektorima i matricama iste veličine.
Većina nespecifičnih Mathcad funkcija ne zahtijeva vektorizaciju da bi izvršili istu operaciju na svim elementima vektora. Na primjer, argument trigonometrijskih funkcija je po definiciji skalar. Ako pokušate da izračunate sinus vektorske količine, Mathcad će po defaultu vektorizirati izračunavanjem sinusa svakog elementa i vraćanjem odgovarajućeg vektora kao rezultatom. Primjer je prikazan u Listingu 9.17.
Listing 9.17. Vektorizacija je opciona za većinu Mathcad funkcija
Simboličke operacije na matricama
Svi gore navedeni matrični i vektorski operatori mogu se koristiti u simboličkim proračunima. Moć simboličkih operacija leži u mogućnosti da se one izvode ne samo na određenim brojevima, već i na varijablama. Neki primjeri su prikazani u Listingu 9.18.
Listing 9.18. Primjeri simboličkih operacija na vektorima i matricama
Slobodno koristite procesor simbola kao moćnu matematičku referencu. Na primjer, kada želite da se setite definicije iz oblasti linearne algebre (na primer, pravila za množenje i invertovanje matrica prikazana su u prvim redovima Listinga 9.18).
Matrične funkcije
Nabrojimo glavne ugrađene funkcije dizajnirane da olakšaju rad s vektorima i matricama. Potrebni su za kreiranje matrica, spajanje i odvajanje dijela matrica, dobijanje osnovnih svojstava matrica itd.
Funkcije kreiranja matrice
Najintuitivniji način za kreiranje matrice ili vektora je korištenje prvog gumba na traci s alatima Matrix. Međutim, u većini slučajeva, posebno kod programiranja složenih projekata, prikladnije je kreirati nizove pomoću ugrađenih funkcija.
Određivanje matričnih elemenata kroz funkciju
Matrica (M, N, f) - Kreira matricu veličine M * N, čiji je svaki i, j element f (i, j) (Listing 9.19).
o M - broj linija;
o N - broj kolona;
o f (i, j) je funkcija.
Listing 9.19. Kreiranje matrice
Postoje još dvije specifične funkcije za kreiranje matrica, koje se uglavnom koriste za brzo i efikasno predstavljanje svih zavisnosti u obliku trodimenzionalnih grafova (kao što su površina ili prostorna kriva). Svi njihovi argumenti osim prvog (funkcije) su opcioni. Razmotrimo prvu od funkcija.
SgeateSrace (F (ili f1, f2, f3), t0, t1, tgrid, fmap) - kreiranje ugniježđenog niza koji predstavlja x-, y- i z-koordinate parametarske prostorne krive date funkcijom p;
- F (t) je vektorska funkcija od tri elementa definirana parametarski u odnosu na jedan argument t;
- f1 (t), f2 (t), f3 (t) - skalarne funkcije;
- t0 - donja granica t (podrazumevano -5);
- t1 - gornja granica t (podrazumevano 5);
- tgrid - broj tačaka mreže po promenljivoj t (podrazumevano 2o);
- fmap je vektorska funkcija sa tri argumenta koja specificira transformaciju koordinata.
Rice. 9.4. Korištenje CreateSpacea s različitim skupovima parametara
Primjer korištenja funkcije CreateSpace prikazan je na Sl. 9.4. Imajte na umu da nije bio potreban dodatni kod za crtanje spirale osim definiranja parametarske ovisnosti u vektorskoj funkciji F.
Funkcija kreiranja matrice za 3D prikaz površine radi na potpuno isti način, osim što ne zahtijeva jednu, već dvije varijable za definiranje površine. Primjer njegove upotrebe ilustrovan je na Sl. 9.5.
Rice. 9.5. Korištenje funkcije CreateMesh s različitim skupom parametara
CreateMesh (F (ili g, ili f1, f2, f3), s0, s1, t0, t1, sgrid, tgrid, fmap) - kreiranje ugniježđenog niza koji predstavlja x-, y- i z-koordinate specificirane parametarske površine po funkciji F;
- F (s, t) je vektorska funkcija od tri elementa definirana parametarski u odnosu na dva argumenta s i t;
- g (s, t) - skalarna funkcija;
- f1 (s, t), f2 (s, t), f3 (s, t) - skalarne funkcije;
- s0, t0 - donje granice argumenata s, t (podrazumevano -5);
- s1, t1 - gornje granice argumenata s, t (podrazumevano 5);
- sgrid, tgrid - broj tačaka mreže po varijablama s i t (20 po defaultu);
- fmap je vektorska funkcija sa tri elementa i tri argumenta koja specificira transformaciju koordinata.
Primjeri ugniježđenih nizova koje kreiraju funkcije CreateMesh i CreateSpace prikazani su u Listingu 9.20. Svaka od tri ugniježđene matrice koje čine niz definira x-, y- i z-koordinate tačaka na površini ili krivulji, respektivno.
Listing 9.20. Rezultat djelovanja funkcija CreateMesh i CreateSpace (sl. 9.4 - 9.5)
Kreiranje posebnih matrica
U Mathcadu je lako kreirati matrice određene vrste koristeći jednu od ugrađenih funkcija. Primjeri korištenja ovih funkcija prikazani su u Listingu 9.21.
Identitet (N) - matrica identiteta veličine N * N;
· Diag (v) - dijagonalna matrica, na čijoj su dijagonali elementi vektora v;
Geninv (A) - kreiranje matrice inverzne (levo) od matrice A;
· Rref (A) - transformacija matrice ili vektora A u stepenasti oblik;
- N je cijeli broj;
- v je vektor;
- A je matrica realnih brojeva.
Veličina N * M matrice A za funkciju geninv treba da bude takva da je N> M.
Listing 9.21. Kreiranje posebnih matrica
