«Теория информации и кодирования. Прямая теорема шеннона для источника общего вида

Для эффективного использования канала (повышения коэффициента нагрузки λ→1) необходимо его согласование с источником информации на входе. Такое согласование возможно как для каналов без помех, так и с помехами, на основании теорем кодирования для канала, предложенных Шенноном.

Теорема о кодировании для канала без помех.

Если источник сообщений имеет производительность [бит/сек], а канал связи – пропускную способность [бит/сек], то можно закодировать сообщение таким образом, чтобы передавать информацию по каналу связи со средней скоростью, сколь угодно близкой к величине , но не превзойти её.

Шеннон предположил и метод такого кодирования, который получил название оптимального кодирования. В дальнейшем идея такого кодирования была развита в работах Фано и Хаффмана. В настоящее время такие коды широко используются на практике (эффективное и оптимальное кодирование).

Прямая теорема Шеннона о кодировании для канала с помехами.

При любой производительности источника сообщения [бит/сек] меньшей, чем пропускная способность [бит/сек], существует такой способ кодирования, который позволяет обеспечить передачу всей информации, создаваемой источником сообщений со сколь угодно малой вероятностью ошибки ε.

Обратная теорема кодирования для канала с помехами.

Не существует способа кодирования, позволяющего вести передачу информацию со сколь угодно малой вероятностью ошибки, если производительность источника сообщений больше пропускной способности канала.

Доказательство теоремы кодирования для канала с помехами довольно объемно математически, поэтому ограничимся общим обсуждением физических аспектов её практического применения:

1. Теорема устанавливает теоретический предел возможной эффективности системы при достоверной передаче информации. Из теоремы следует, что помехи в канале не накладывают ограничений на точность передачи. Ограничения накладываются только на скорость передачи, при которой может быть достигнута сколь угодно высокая достоверность передачи.

При этом достоверность дискретного канала обычно оценивается значением вероятности ошибочного приема одного символа. Чем меньше вероятность ошибки, тем выше достоверность канала. Достоверность в свою очередь характеризует помехоустойчивость информационной системы.

Скорость передачи информации характеризует эффективность системы.

2. Теорема не затрагивает вопрос о путях построения кодов, обеспечивающих указанную идеальную передачу. Обосновав принципиальную возможность такого кодирования, она мобилизовала усилия ученых на разработку конкретных кодов.

3. При любой конечной скорости передачи информации, вплоть до пропускной способности, сколь угодно малая вероятность ошибки достигается лишь при безграничном увеличении длительностей кодируемых последовательностей знаков. Таким образом, безошибочная передача при наличии помех возможна лишь теоретически. Обеспечение передачи информации с весьма малой вероятностью ошибки и с достаточно высокой эффективностью возможна при кодировании чрезвычайно длинных последовательностей знаков.

Прямая теорема Шеннона для источника общего вида Не следует путать с другими теоремами Шеннона .

Теоремы Шеннона для источника общего вида описывают возможности кодирования источника общего вида с помощью разделимых кодов. Другими словами, описываются максимально достижимые возможности кодирования без потерь.

Прямая теорема

В применении к побуквенному кодированию прямая теорема может быть сформулирована следующим образом:

В качестве доказательства теоремы исследуются характеристики кода Шеннона-Фано . Данный код удовлетворяет условиям теоремы, и он обладает указанными свойствами.

Обратная теорема

Обратная теорема ограничивает максимальную степень сжатия, достигаемую с помощью кодирования без потерь. В применении к побуквенному кодированию, описывает ограничение на среднюю длину кодового слова для любого разделимого кода.

Для любого разделимого кода с длинами w 1 ,w 2 ,...,w K средняя длина сообщений больше или равна энтропии источника U , нормированный на двоичный логарифм от числа букв D в алфавите кодера:

Литература

• Габидулин, Э. М. , Пилипчук, Н. И. §3.4 Теоремы Шеннона для источника // Лекции по теории информации. - М .: МФТИ , 2007. - С. 49-52. - 214 с. - ISBN 5-7417-0197-3

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Прямая теорема Шеннона для источника общего вида" в других словарях:

Не следует путать с другими теоремами Шеннона. Теоремы Шеннона для источника общего вида описывают возможности кодирования источника общего вида с помощью разделимых кодов. Другими словами, описываются максимально достижимые возможности… … Википедия

В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Шеннон. Клод Элвуд Шеннон Claude Elwood Shannon … Википедия

Клод Элвуд Шеннон (англ. Claude Elwood Shannon; родился 30 апреля 1916, Петоцки (Petoskey, Michigan) Мичиган, США, умер 24 февраля 2001, Медфорд, Массачусетс, США) американский математик и электротехник, один из создателей математической теории… … Википедия

Клод Элвуд Шеннон (англ. Claude Elwood Shannon; родился 30 апреля 1916, Петоцки (Petoskey, Michigan) Мичиган, США, умер 24 февраля 2001, Медфорд, Массачусетс, США) американский математик и электротехник, один из создателей математической теории… … Википедия

- (англ. Claude Elwood Shannon; родился 30 апреля 1916, Петоцки (Petoskey, Michigan) Мичиган, США, умер 24 февраля 2001, Медфорд, Массачусетс, США) американский математик и электротехник, один из создателей математической теории информации, в… … Википедия

Клод Элвуд Шеннон (англ. Claude Elwood Shannon; родился 30 апреля 1916, Петоцки (Petoskey, Michigan) Мичиган, США, умер 24 февраля 2001, Медфорд, Массачусетс, США) американский математик и электротехник, один из создателей математической теории… … Википедия

Клод Элвуд Шеннон (англ. Claude Elwood Shannon; родился 30 апреля 1916, Петоцки (Petoskey, Michigan) Мичиган, США, умер 24 февраля 2001, Медфорд, Массачусетс, США) американский математик и электротехник, один из создателей математической теории… … Википедия

Клод Элвуд Шеннон (англ. Claude Elwood Shannon; родился 30 апреля 1916, Петоцки (Petoskey, Michigan) Мичиган, США, умер 24 февраля 2001, Медфорд, Массачусетс, США) американский математик и электротехник, один из создателей математической теории… … Википедия

Программа курса

«Теория информации и кодирования»

Лекции читаются на 4-м курсе, VII-семестр,

51 час, лектор доцент

Понятие информации, энтропии. Системы связи. Дискретные источники. Описание источника при помощи случайного процесса. Статистическая независимость. Марковские источники. Эргодичность. Эргодичность бернуллиевского источника.

Вывод формулы энтропии (по Фадееву). Взаимная информация, и её свойства. Свойства энтропии. Теорема о максимальном значении энтропии. Энтропия в единицу времени источника сообщений.

Задача кодирования дискретного источника кодами равной длины. Скорость кодирования. Высоковероятностные множества. Прямая и обратная теоремы кодирования дискретного источника кодами равной длины.

Задача кодирования источника кодами неравной длины. Стоимость кодирования. Однозначно дешифрируемые коды. Префиксные коды. Побуквенное кодирование. Необходимое и достаточное условие однозначной дешифрируемости кода. Полные коды. Теорема кодирования дискретного источника кодами неравной длины. Алгоритмы построения оптимальных кодов (Фано, Шеннона, Хаффмена). Построение бинарного оптимального кода при равновероятностном распределении входных вероятностей. Приложение результатов теории информации при доказательстве нижних и верхних оценок сложности реализации булевых функций в некоторых классах управляющих систем. Метод построения оптимального кода при условии, что неизвестно распределение вероятностей букв источника. Теорема Маркова об однозначной дешифрируемости кода. Адаптивные алгоритмы сжатия информации.

Дискретный канал без памяти. Двоичный симметричный канал. Скорость передачи информации в канале. Пропускная способность канала. Расширенный канал и его пропускная способность. Решающие схемы и группировки наблюдений. Вероятность ошибочной передачи информации. Неравенство Файнстейна. Прямая теорема кодирования канала без памяти. Неравенство Фано. Теорема обработки информации . Обращение теоремы кодирования.

Теория помехоустойчивого кодирования. Критерий максимального правдоподобия. Кодовое расстояние. Коды с проверкой на четность. Порождающая и проверочные матрицы. Синдром. Алгоритм декодирования для кодов с проверкой на четность. Линейные коды и алгоритм их декодирования. Граница Хэмминга. Код Хэмминга. Циклические коды. Кодирования и декодирование циклических кодов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Галлагер Р. Теория информации и надежная связь., М., Сов. Радио, 1979.

2. Кричевский Е. Лекции по теории и информации, Новосибирск, НГУ, 1966.

3. Колесник В., Полтырев Г. Курс теории информации, Наука, 1982.

4. Файнстейн А. Основы теории информации, М., ИЛ, 1960.

5. Питерсон В., Уэлдон Ф. Коды, исправляющие ошибки, М., Мир, 1976.

6. Бэрлекамп Алгебраическая теория кодирования, М., Мир, 1971.

Информационная емкость дискретного (4.4) и пропускная способность непрерывного (4.7) каналов характеризует их предельные возможности как средств передачи информации. Они раскрываются в фундаментальных теоремах теории информации, которые известны как основные теоремы кодирования Шеннона. Применительно к дискретному каналу она гласит:

Теорема 4.4.1. (Прямая теорема кодирования для ДКБП.) Для дискретного канала без памяти при скоростях кода R , меньших информационной емкости , всегда существует код, для которого средняя вероятность ошибки стремится к нулю с ростом длины кодового слова.

В случае же непрерывного канала она формулируется как

Теорема 4.4.2. (Прямая теорема кодирования для АБГШ-канала). По АБГШ–каналу с неограниченной полосой информация может передаваться со сколь угодно малой вероятностью ошибки, если скорость передачи меньше пропускной способности.

Обратная же теорема утверждает:

Теорема 4.4.3. При скорости передачи
, большей пропускной способности канала связиC , никакой код не обеспечит произвольно малой вероятности ошибки декодирования, т.е. абсолютно надежной передачи сообщений.

Следует отметить, что если обратная теорема доказывается для произвольной модели канала связи, то прямая только лишь для конкретных типов каналов.

Результаты теорем кодирования для канала с шумами в определенной степени неожиданны. В самом деле, на первый взгляд кажется, что уменьшение вероятности ошибок в передаче сообщений требует соответствующего уменьшения скорости передачи и что последняя должна стремиться к нулю вместе с вероятностью ошибок. Такой вывод, в частности, вытекает из рассмотрения многократной повторной передачи символов по каналу как способа уменьшения вероятности ошибок в передаче сообщений. В этом случае при наличии помех в канале связи обеспечить стремление к нулю вероятности ошибки в передаче сообщения можно только при стремлении скорости передачи к нулю.

Однако теорема кодирования показывает, что в принципе можно вести передачу со скоростью, сколь угодно близкой к C , достигая при этом сколь угодно малой вероятности ошибки. К сожалению, теоремы, указывая на принципиальное существование помехоустойчивого кода, не дают рецепта его нахождения. Можно лишь отметить, что для этого необходимо применять коды большой длины. При этом по мере приближения скорости передачи к пропускной способности и уменьшения вероятности ошибок код усложняется вследствие увеличения длины блоков, что приводит к резкому усложнению кодирующего и декодирующего устройств, а также запаздыванию выдачи информации при декодировании. Применяемые в настоящее время способы кодирования, которые будут рассмотрены в дальнейшем, не реализуют потенциальных возможностей системы связи. Единственным исключением служат открытые в последнее время турбо-коды.

1Этот результат справедлив для любых симметричных каналов.

Кодирование информации

Основные понятия

Выше упоминались теоремы Шеннона о кодировании сообщений. Интуитивно понятно, что кодирование – это операция преобразования информации в форму, требуемую для последующей обработки (передачи по каналу связи, хранения в памяти вычислительной системы, использования для принятия решения и т.д.). Также понятно, что при построении любой информационной системы обойтись без кодирования невозможно: любое представление информации подразумевает использование каких-нибудь кодов. Поэтому далее подробно разберем теоретические основы кодирования информации.

Пусть A – произвольный алфавит. Элементы алфавита A называют буквами (или символами), а конечные последовательности, составленные из букв, – словами в A . При этом считается, что в любом алфавите существует пустое слово, не содержащее букв.

Слово α 1 называют началом (префиксом) слова α , если существует слово α 2 , такое, что α = α 1 α 2 ; при этом слово α 1 называют собственным началом слова α , если α 2 – не пустое слово. Длина слова – это число букв в слове (пустое слово имеет длину 0). Запись α 1 α 2 обозначает соединение (конкатенацию) слов α 1 и α 2 . Слово α 2 называют окончанием (суффиксом) слова α , если существует слово α 1 , такое, что α = α 1 α 2 ; при этом слово α 2 называют собственным окончанием слова α , если α 1 – не пустое слово. Пустое слово по определению считается началом и окончанием любого слова α .

Рассмотрим алфавит B = {0, 1, …, D – 1}, где D ≥ 2, и произвольное множество C . Произвольное отображение множества C в множество слов в алфавите B называют D -ичным кодированием множества C (при D = 2 кодирование будет двоичным). Обратное отображение называют декодированием. Приведем примеры кодирований.

1. Кодирование множества натуральных чисел, при котором числу n = 0 ставится в соответствие слово e (0) = 0, а числу n ≥ 1 двоичное слово

e (n ) = b 1 b 2 … b l ( n )

наименьшей длины, удовлетворяющее условию

Очевидно, что b 1 = 1, 2 l ( n ) – 1 ≤ n < 2 l ( n ) и, следовательно

l (n ) = + 1 = ]log(n + 1)[,

где [x ] и ]x [ обозначает соответственно наибольшее целое число, не превосходящее x , и наименьшее целое число, превосходящее x . Слово e (n ) называют двоичной записью числа n , а данное кодирование – представление чисел в двоичной системе счисления. Данное кодирование является взаимно однозначным, поскольку при n 1 ≠ n 2 слова e (n 1) и e (n 2) различны. В таблице 5.1 приведено представление первых 16 натуральных чисел в двоичной системе счисления.

Таблица 5.1

Кодирование e (n )

n	e (n )	n	e (n )	n	e (n )	n	e (n )

2. Кодирование первых 2 k натуральных чисел, при котором каждому числу n (0 ≤ n < 2 k ) ставится в соответствие слово

e k (n ) = 0 k – l ( n ) e (n ),

где запись 0 k – l ( n ) обозначает слово, состоящее из k – l (n ) нулей, e (n ) – представление числа n в двоичной системе счисления, рассмотренное выше. Данное кодирование для первых 16 натуральных чисел (k = 4) приведено в таблице 5.2.

Таблица 5.2

Кодирование e k (n )

n	e k (n )	n	e k (n )	n	e k (n )	n	e k (n )

Пусть A = {a i , i = 1, 2, …} – конечный или счетный алфавит, буквы которого занумерованы натуральными числами. В этом случае кодирование букв алфавита A можно задать последовательностью D -ичных слов V = {v i , i = 1, 2, …}, где v i есть образ буквы a i . Такие последовательности слов (из множества V ) называют кодами (алфавита А ). Если задан код V алфавита А , то кодирование слов, при котором каждому слову a i 1 a i 2 …a ik ставится в соответствие слово v i 1 v i 2 …v ik , называют побуквенным кодированием.

При переходе от взаимно однозначного кодирования букв алфавита к побуквенному кодированию слов в алфавите свойство взаимной однозначности может не сохраниться. Например, кодирование e (n ) не сохраняет данное свойство, а кодирование e k (n ) его сохраняет. Свойство взаимной однозначности сохраняют разделимые коды. Код V = {v i , i = 1, 2, …} называют разделимым, если из каждого равенства вида

v i 1 v i 2 …v ik = v j 1 v j 2 …v jl

следует, что l = k и v i 1 = v j 1 , v i 2 = v j 2 , … , v ik = v jl . Разделимые коды называют также однозначно декодируемыми кодами.

К классу разделимых кодов принадлежат префиксные коды. Код V = {v i , i = 1, 2, …} называют префиксным, если никакое слово v k не является началом (префиксом) никакого слова v l , l ≠ k . Если каждое слово префиксного кода заменить наименьшим его началом, которое не является началом других кодовых слов, то полученный код также будет префиксным. Такую операцию называют усечением префиксного кода.

Для произвольного кода V , состоящего из различных слов, можно построить кодовое дерево. Это ориентированный граф, не содержащий циклов, в котором вершина β 1 соединена с вершиной β 2 ребром, направленным от β 1 к β 2 , тогда и только тогда, когда β 2 = β 1 b , где b Î B = {0, 1, …, D – 1}, D ≥ 2. Для префиксных кодов (и только для них) множество кодовых слов совпадает с множеством концевых вершин (вершин, из которых не исходят ребра) кодового дерева.

Основные теоремы кодирования

Свойства кодов, полезные для их практического применения, определяются основными теоремами кодирования.

Теорема 5.1. Неравенство Крафта. Для существования однозначно декодируемого (разделимого) кода, содержащего N кодовых слов в множестве {0, 1, D – 1} с длинами n 1 , n 2 , …, n N , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Доказательство. Представим, что имеется кодовое дерево для префиксного кода. Корень кодового дерева образует уровень 0, вершины, связанные с корнем, – уровень 1 и т.д. Возможное количество вершин на k -м уровне обозначим как D k . Каждая вершина k -го уровня порождает точно D n – k вершин n -го уровня.

n 1 ≤ n 2 ≤…≤ n N = n .

Очевидно, что кодовое слово длины k запрещает в точности D n – k возможных концевых вершин (вершин последнего уровня). Тогда все кодовые слова префиксного кода запрещают концевых вершин. Так как общее число концевых вершин равно D n , то справедливо неравенство

,

из которого следует, что

Таким образом, неравенство Крафта доказано.

В результате доказательства теоремы 5.1 делается вывод о том, что существуют хотя бы префиксные коды, которые являются однозначно декодируемыми кодами, с длинами кодовых слов n 1 , n 2 , …, n N , удовлетворяющими неравенству Крафта. Следующая теорема, называемая утверждением Мак-Миллана, обобщает данный вывод на все однозначно декодируемые коды.

Теорема 5.2. Неравенство Мак-Миллана. Каждый однозначно декодируемый код удовлетворяет неравенству Крафта.

Доказательство. Возведем сумму в степень L :

. (5.1)

Пусть A k – число комбинаций, содержащих L кодовых слов с суммарной длиной k . Тогда выражение (6.1) можно представить в виде

,

где L max – максимальная длина сообщения, содержащего L кодовых слов. Если код является однозначно декодируемым, то все последовательности из L кодовых слов суммарной длины k различны. Так как имеется всего D k возможных последовательностей, то A k ≤ D k и тогда

Так как L – это число независимых кодовых слов, которые используются для построения всех возможных последовательностей длины, не превышающей L max . Поэтому L ≤ L max и . А из этого следует, что

Поскольку приведенные рассуждения справедливы для каждого однозначно декодируемого кода, а не только для префиксных кодов, то утверждение Мак-Миллана доказано.

Следующие теоремы связывают энтропию источника сообщений и среднюю длину кодового слова.

Теорема 5.3. Теорема кодирования источников I. Для любого дискретного источника без памяти X с конечным алфавитом и энтропией H (X ) существует D -ичный префиксный код, в котором средняя длина кодового слова удовлетворяет неравенству

. (5.2)

Доказательство. Прежде всего, поясним, что дискретный источник без памяти, описывается моделью, в которой не учитываются связи между символами сообщения. Теперь докажем левую часть неравенства (6.2):

Для этого используем определение энтропии и неравенство Крафта:

Для доказательства правой части неравенства (6.2) перепишем неравенство Крафта в следующем виде:

.

Затем выберем для каждого слагаемого такое наименьшее целое n i , при котором

Так как неравенство Крафта при таком выборе сохраняется, то можно построить соответствующий префиксный код. Так как n i – наименьшее целое, то для n i – 1 справедливо

Таким образом, теорема кодирования источников I доказана. Она определяет, что средняя длина кодового слова не может быть меньше энтропии источника сообщений. Отметим, что при доказательстве теоремы использовались те же обозначения, что и при рассмотрении неравенства Крафта.

Теорема 5.4. Теорема кодирования источников II. Для блока длины L существует D -ичный префиксный код, в котором средняя длина кодового слова на один символ удовлетворяет неравенству

,

где .

Доказательство. Здесь в качестве единиц сообщений рассматриваются блоки символов и H (X 1 , X 2 , …, X L) – это энтропия источника сообщений, приходящаяся на блок из L символов. Для доказательства теоремы можно воспользоваться теоремой о кодировании источников I:

Кроме того, так как минимально достижимой длиной кодового слова на символ является величина , то при D = 2 избыточность кода можно определить по формуле .

1 | |