Сложные интегралы. Интегралы от иррациональных функций

Определение 1

Совокупность всех первообразных заданной функции $y=f(x)$, определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от заданной функции $y=f(x)$. Неопределенный интеграл обозначается символом $\int f(x)dx $.

Замечание

Определение 2 можно записать следующим образом:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

Не от всякой иррациональной функции можно выразить интеграл через элементарные функции. Однако большинство таких интегралов с помощью подстановок можно привести к интегралам от рациональных функций, которые можно выразить интеграл через элементарные функции.

$\int R\left(x,x^{m/n} ,...,x^{r/s} \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d} \right)^{m/n} ,...,\left(\frac{ax+b}{cx+d} \right)^{r/s} \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt{ax^{2} +bx+c} \right)dx $.

I

При нахождении интеграла вида $\int R\left(x,x^{m/n} ,...,x^{r/s} \right)dx $ необходимо выполнить следующую подстановку:

При данной подстановке каждая дробная степень переменной $x$ выражается через целую степень переменной $t$. В результате чего подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от переменной $t$.

Пример 1

Выполнить интегрирование:

\[\int \frac{x^{1/2} dx}{x^{3/4} +1} .\]

Решение:

$k=4$ - общий знаменатель дробей $\frac{1}{2} ,\, \, \frac{3}{4} $.

\ \[\begin{array}{l} {\int \frac{x^{1/2} dx}{x^{3/4} +1} =4\int \frac{t^{2} }{t^{3} +1} \cdot t^{3} dt =4\int \frac{t^{5} }{t^{3} +1} dt =4\int \left(t^{2} -\frac{t^{2} }{t^{3} +1} \right)dt =4\int t^{2} dt -4\int \frac{t^{2} }{t^{3} +1} dt =\frac{4}{3} \cdot t^{3} -} \\ {-\frac{4}{3} \cdot \ln |t^{3} +1|+C} \end{array}\]

\[\int \frac{x^{1/2} dx}{x^{3/4} +1} =\frac{4}{3} \cdot \left+C\]

II

При нахождении интеграла вида $\int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d} \right)^{m/n} ,...,\left(\frac{ax+b}{cx+d} \right)^{r/s} \right)dx $ необходимо выполнить следующую подстановку:

где $k$ - общий знаменатель дробей $\frac{m}{n} ,...,\frac{r}{s} $.

В результате данной подстановки подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от переменной $t$.

Пример 2

Выполнить интегрирование:

\[\int \frac{\sqrt{x+4} }{x} dx .\]

Решение:

Сделаем следующую подстановку:

\ \[\int \frac{\sqrt{x+4} }{x} dx =\int \frac{t^{2} }{t^{2} -4} dt =2\int \left(1+\frac{4}{t^{2} -4} \right)dt =2\int dt +8\int \frac{dt}{t^{2} -4} =2t+2\ln \left|\frac{t-2}{t+2} \right|+C\]

Сделав обратную замену, получим окончательный результат:

\[\int \frac{\sqrt{x+4} }{x} dx =2\sqrt{x+4} +2\ln \left|\frac{\sqrt{x+4} -2}{\sqrt{x+4} +2} \right|+C.\]

III

При нахождении интеграла вида $\int R\left(x,\sqrt{ax^{2} +bx+c} \right)dx $ выполняется так называемая подстановка Эйлера (используется одна из трех возможных подстановок).

Первая подстановка Эйлера

Для случая $a>

Взяв перед $\sqrt{a} $ знак «+», получим

Пример 3

Выполнить интегрирование:

\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +c} } .\]

Решение:

Сделаем следующую подстановку (случай $a=1>0$):

\[\sqrt{x^{2} +c} =-x+t,\, \, x=\frac{t^{2} -c}{2t} ,\, \, dx=\frac{t^{2} +c}{2t^{2} } dt,\, \, \sqrt{x^{2} +c} =-\frac{t^{2} -c}{2t} +t=\frac{t^{2} +c}{2t} .\] \[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +c} } =\int \frac{\frac{t^{2} +c}{2t^{2} } dt}{\frac{t^{2} +c}{2t} } =\int \frac{dt}{t} =\ln |t|+C\]

Сделав обратную замену, получим окончательный результат:

\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +c} } =\ln |\sqrt{x^{2} +c} +x|+C.\]

Вторая подстановка Эйлера

Для случая $c>0$ необходимо выполнить следующую подстановку:

Взяв перед $\sqrt{c} $ знак «+», получим

Пример 4

Выполнить интегрирование:

\[\int \frac{(1-\sqrt{1+x+x^{2} })^{2} }{x^{2} \sqrt{1+x+x^{2} } } dx .\]

Решение:

Сделаем следующую подстановку:

\[\sqrt{1+x+x^{2} } =xt+1.\]

\ \[\sqrt{1+x+x^{2} } =xt+1=\frac{t^{2} -t+1}{1-t^{2} } \] \

$\int \frac{(1-\sqrt{1+x+x^{2} })^{2} }{x^{2} \sqrt{1+x+x^{2} } } dx =\int \frac{(-2t^{2} +t)^{2} (1-t)^{2} (1-t^{2})(2t^{2} -2t+2)}{(1-t^{2})^{2} (2t-1)^{2} (t^{2} -t+1)(1-t^{2})^{2} } dt =\int \frac{t^{2} }{1-t^{2} } dt =-2t+\ln \left|\frac{1+t}{1-t} \right|+C$Сделав обратную замену, получим окончательный результат:

\[\begin{array}{l} {\int \frac{(1-\sqrt{1+x+x^{2} })^{2} }{x^{2} \sqrt{1+x+x^{2} } } dx =-2\cdot \frac{\sqrt{1+x+x^{2} } -1}{x} +\ln \left|\frac{x+\sqrt{1+x+x^{2} } -1}{x-\sqrt{1+x+x^{2} } +1} \right|+C=-2\cdot \frac{\sqrt{1+x+x^{2} } -1}{x} +} \\ {+\ln \left|2x+2\sqrt{1+x+x^{2} } +1\right|+C} \end{array}\]

Третья подстановка Эйлера

Калькулятор решает интегралы c описанием действий ПОДРОБНО на русском языке и бесплатно!

Решение неопределённых интегралов

Это онлайн сервис в один шаг :

Решение определённых интегралов

Это онлайн сервис в один шаг :

• Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
• Ввести нижний предел для интеграла
• Ввести верхний предел для интеграла

Решение двойных интегралов

• Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)

Решение несобственных интегралов

• Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
• Введите верхнюю область интегрирования (или + бесконечность)
• Ввести нижнюю область интегрирования (или - бесконечность)

Перейти: Онлайн сервис "Несобственный интеграл" →

Решение тройных интегралов

• Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
• Ввести нижний и верхний пределы для первой области интегрирования
• Ввести нижний и верхний предел для второй области интегрирования
• Ввести нижний и верхний предел для третьей области интегрирования

Перейти: Онлайн сервис "Тройной интеграл" →

Данный сервис позволяет проверить свои вычисления на правильность

Возможности

• Поддержка всех возможных математических функций: синус, косинус, экспонента, тангенс, котангенс, корень квадратный и кубический, степени, показательные и другие.
• Есть примеры для ввода, как для неопределённых интегралов, так и для несобственных и определённых.
• Исправляет ошибки в ведённых вами выражениях и предлагает свои варианты для ввода.
• Численное решение для определённых и несобственных интегралов (в том числе для двойных и тройных интегралов).
• Поддержка комплексных чисел, а также различных параметров (вы можете указывать в подинтегральном выражении не только переменную интегрирования, но и другие переменные-параметры)

Иррациональная функция от переменной - это функция, которая образована из переменной и произвольных постоянных с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения (возведения в целочисленную степень), деления и извлечения корней. Иррациональная функция отличается от рациональной тем, что иррациональная функция содержит операции извлечения корней.

Существует три основных типа иррациональных функций, неопределенные интегралы от которых приводятся к интегралам от рациональных функций. Это интегралы, содержащие корни произвольных целочисленных степеней из дробно-линейной функции (корни могут быть различных степеней, но от одной и той же, дробно-линейной функции); интегралы от дифференциального бинома и интегралы с квадратным корнем из квадратного трехчлена.

Важное замечание. Корни многозначны!

При вычислении интегралов, содержащих корни, часто встречаются выражения вида , где - некоторая функция от переменной интегрирования . При этом следует иметь в виду, что . То есть, при t > 0 , |t| = t . При t < 0 , |t| = - t . Поэтому, при вычислении подобных интегралов, нужно отдельно рассматривать случаи t > 0 и t < 0 . Это можно сделать, если писать знаки или там, где это необходимо. Подразумевая, что верхний знак относится к случаю t > 0 , а нижний - к случаю t < 0 . При дальнейшем преобразовании, эти знаки, как правило, взаимно сокращаются.

Возможен и второй подход, при котором подынтегральную функцию и результат интегрирования можно рассматривать как комплексные функции от комплексных переменных. Тогда можно не следить за знаками в подкоренных выражениях. Этот подход применим, если подынтегральная функция является аналитической, то есть дифференцируемой функцией от комплексной переменной. В этом случае и подынтегральная функция и интеграл от нее являются многозначными функциями. Поэтому после интегрирования, при подстановке численных значений, нужно выделить однозначную ветвь (риманову поверхность) подынтегральной функции, и для нее выбрать соответствующую ветвь результата интегрирования.

Дробно-линейная иррациональность

Это интегралы с корнями от одной и той же дробно-линейной функции:
,
где R - рациональная функция, - рациональные числа, m 1 , n 1 , ..., m s , n s - целые числа, α, β, γ, δ - действительные числа.
Такие интегралы сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой:
, где n - общий знаменатель чисел r 1 , ..., r s .

Корни могут быть не обязательно от дробно-линейной функции, но и от линейной (γ = 0 , δ = 1 ), или от переменной интегрирования x (α = 1 , β = 0 , γ = 0 , δ = 1 ).

Вот примеры таких интегралов:
, .

Интегралы от дифференциальных биномов

Интегралы от дифференциальных биномов имеют вид:
,
где m, n, p - рациональные числа, a, b - действительные числа.
Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях.

1) Если p - целое. Подстановка x = t N , где N - общий знаменатель дробей m и n .
2) Если - целое. Подстановка a x n + b = t M , где M - знаменатель числа p .
3) Если - целое. Подстановка a + b x - n = t M , где M - знаменатель числа p .

В остальных случаях, такие интегралы не выражаются через элементарные функции.

Иногда такие интегралы можно упростить с помощью формул приведения:
;
.

Интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена

Такие интегралы имеют вид:
,
где R - рациональная функция. Для каждого такого интеграла имеется несколько методов решения.
1) С помощью преобразований привести к более простым интегралам.
2) Применить тригонометрические или гиперболические подстановки.
3) Применить подстановки Эйлера.

Рассмотрим эти методы более подробно.

1) Преобразование подынтегральной функции

Применяя формулу , и выполняя алгебраические преобразования, приводим подынтегральную функцию к виду:
,
где φ(x), ω(x) - рациональные функции.

I тип

Интеграл вида:
,
где P n (x) - многочлен степени n .

Такие интегралы находятся методом неопределенных коэффициентов, используя тождество:

.
Дифференцируя это уравнение и приравнивая левую и правую части, находим коэффициенты A i .

II тип

Интеграл вида:
,
где P m (x) - многочлен степени m .

Подстановкой t = (x - α) -1 этот интеграл приводится к предыдущему типу. Если m ≥ n , то у дроби следует выделить целую часть.

III тип

Здесь мы делаем подстановку:
.
После чего интеграл примет вид:
.
Далее, постоянные α, β нужно выбрать такими, чтобы в знаменателе коэффициенты при t обратились в нуль:
B = 0, B 1 = 0 .
Тогда интеграл распадается на сумму интегралов двух видов:
,
,
которые интегрируются подстановками:
u 2 = A 1 t 2 + C 1 ,
v 2 = A 1 + C 1 t -2 .

2) Тригонометрические и гиперболические подстановки

Для интегралов вида , a > 0 ,
имеем три основные подстановки:
;
;
;

Для интегралов , a > 0 ,
имеем следующие подстановки:
;
;
;

И, наконец, для интегралов , a > 0 ,
подстановки следующие:
;
;
;

3) Подстановки Эйлера

Также интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:
, при a > 0 ;
, при c > 0 ;
, где x 1 - корень уравнения a x 2 + b x + c = 0 . Если это уравнение имеет действительные корни.

Эллиптические интегралы

В заключении рассмотрим интегралы вида:
,
где R - рациональная функция, . Такие интегралы называются эллиптическими. В общем виде они не выражаются через элементарные функции. Однако встречаются случаи, когда между коэффициентами A, B, C, D, E существуют соотношения, при которых такие интегралы выражаются через элементарные функции.

Ниже приводится пример, связанный с возвратными многочленами. Вычисление подобных интегралов выполняется с помощью подстановок:
.

Пример

Вычислить интеграл:
.

Решение

Делаем подстановку .

.
Здесь при x > 0 (u > 0 ) берем верхний знак ′+ ′. При x < 0 (u < 0 ) - нижний ′- ′.

.

Ответ

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Класс иррациональных функцийочень широк, поэтому универсального способа их интегрирования просто быть не может. В этой статье попытаемся выделить наиболее характерные виды иррациональных подынтегральных функций и поставить им в соответствие метод интегрирования.

Бывают случаи, когда уместно использование метода подведения под знак дифференциала. Например, при нахождении неопределенных интегралов вида, гдеp – рациональная дробь.

Пример.

Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Не трудно заметить, что . Следовательно, подводим под знак дифференциала и используем таблицу первообразных:

Ответ:

.

13. Дробно-линейная подстановка

Интегралы типа где а, b, с, d - действительные числа,a,b,...,d,g - натуральные числа, сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановкигде К - наименьшее общee кратное знаменателей дробей

Действительно, из подстановки следует, чтои

т. е. х и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби выражается через рациональную функцию от t.

Пример 33.4 . Найти интеграл

Решение: Наименьшее общee кратное знаменателей дробей 2/3 и 1/2 есть 6.

Поэтому полагаем х+2=t 6 , х=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Следовательно,

Пример 33.5. Указать подстановку для нахождения интегралов:

Решение: Для I 1 подстановка х=t 2 , для I 2 подстановка

14. Тригонометрическая подстановка

Интегралы типа приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, с помощью следующих тригонометрических подстановок: х=а sint для первого интеграла; х=а tgt для второго интеграла;для третьего интеграла.

Пример 33.6. Найти интеграл

Решение: Положим х=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin х/2. Тогда

Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция относительно х иВыделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку, интегралы указанного типа приводятся к интегралам уже pасcмoтpeннoгo типа, т. е. к интегралам типаЭти интегралы можно вычислить с помощью соответствующих тригонометрических подстановок.

Пример 33.7. Найти интеграл

Решение: Так как х 2 +2х-4=(х+1) 2 -5, то х+1=t, x=t-1, dx=dt. ПоэтомуПоложим

Замечание: Интеграл типа целессooбразно находить с помощью подстановки х=1/t.

15. Определенный интеграл

Пусть функция задана на отрезкеи имеет на нем первообразную. Разностьназываютопределенным интегралом функции по отрезкуи обозначают. Итак,

Разность записывают в виде, тогда. Числаиназываютпределами интегрирования .

Например, одна из первообразных для функции. Поэтому

16 . Если с - постоянное число и функция ƒ(х) интегрируема на , то

т. е. постоянный множитель с можно выносить за знак определенного интеграла.

▼Составим интегральную сумму для функции с ƒ(х). Имеем:

Тогда Отсюда вытекает, что функцияс ƒ(х) интегрируема на [а; b] и справедлива формула (38.1).▲

2. Если функции ƒ 1 (х) и ƒ 2 (х) интегрируемы на [а;b], тогда интегрируема на [а; b] их сумма u

т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.

▼
▲

Свойство 2 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.

3.

Это свойство можно принять по определению. Это свойство также подтверждается формулой Ньютона-Лейбница.

4. Если функция ƒ(х) интегрируема на [а; b] и а < с < b, то

т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла (или свойством аддитивности).

При разбиении отрезка [а;b] на части включим точку с в число точек деления (это можно сделать ввиду независимости предела интегральной суммы от способа разбиения отрезка [а; b] на части). Если с = х m , то интегральную сумму можно разбить на две суммы:

Каждая из написанных сумм является интегральной соответственно для отрезков [а; b], [а; с] и [с; b]. Переходя к пределу в последнем равенстве при n → ∞ (λ → 0), получим равенство (38.3).

Свойство 4 справедливо при любом расположении точек а, b, с (считаем, что функция ƒ (х) интегрируема на большем из получающихся отрезков).

Так, например, если а < b < с, то

(использованы свойства 4 и 3).

5. «Теорема о среднем». Если функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то существует тонка с є [а; b] такая, что

▼По формуле Ньютона-Лейбница имеем

где F"(x) = ƒ(х). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим

F(b)-F(a) = F"(c) (b-а) = ƒ(с) (b-а).▲

Свойство 5 («теорема о среднем») при ƒ (х) ≥ 0 имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором с є (а; b), площади прямоугольника с высотой ƒ (с) и основанием b- а (см. рис. 170). Число

называется средним значением функции ƒ(х) на отрезке [а; b].

6. Если функция ƒ (х) сохраняет знак на отрезке [а; b], где а < b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼По «теореме о среднем» (свойство 5)

где с є [а; b]. А так как ƒ(х) ≥ 0 для всех х Î [а; b], то и

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Поэтому ƒ(с) (b-а) ≥ 0, т. е.▲

7. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [а; b], (a

▼Так как ƒ 2 (х)-ƒ 1 (x)≥0, то при а < b, согласно свойству 6, имеем

Или, согласно свойству 2,

Отметим,что дифференцировать неравенства нельзя.

8. Оценка интеграла. Если m и М - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции у = ƒ (х) на отрезке [а; b], (а < b), то

▼Так как для любого х є [а;b] имеем m≤ƒ(х)≤М, то, согласно свойству 7, имеем

Применяяк крайним интегралам свойство 5, получаем

▲

Если ƒ(х)≥0, то свойство 8 иллюстрирует ся геометрически: площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть , а высоты равны m и М (см. рис. 171).

9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:

▼Применяя свойство 7 к очевидным неравенствам -|ƒ(х)|≤ƒ(х)≤|ƒ(х)|, получаем

Отсюда следует, что

▲

10. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т. е.

Вычисление площади фигуры является одной из наиболее не простых проблем теории площадей. В школьном курсе геометрии мы научились находить площади основных геометрических фигур, например, круга, треугольника, ромба и т.п. Однако намного чаще приходится сталкиваться с вычислением площадей более сложных фигур. При решении подобных задач приходится прибегать к интегральному исчислению.

В этой статье мы рассмотрим задачу о вычислении площади криволинейной трапеции, причем подойдем к ней в геометрическом смысле. Это позволит нам выяснить прямую связь между определенным интегралом и площадью криволинейной трапеции.

Вспоминаем счастливые школьные годы. Пионеры на уроках математики, приступая к изучению корней, в первую очередь знакомились с квадратным корнем. Мы пойдем тем же путем.

Пример 1

Найти неопределенный интеграл

Анализируя подынтегральную функцию, приходишь к печальному выводу, что она совсем не напоминает табличные интегралы. Вот если бы всё это добро находилось в числителе – было бы просто. Или бы корня внизу не было. Или многочлена. Никакие методы интегрирования дробей тоже не помогают. Что делать?

Основной приём решения иррациональных интегралов – это замена переменной, которая избавит нас от ВСЕХ корней в подынтегральной функции.

Отметим, что эта замена немного своеобразная, ее техническая реализация отличается от «классического» способа замены, который рассмотрен на уроке Метод замены в неопределенном интеграле .

В данном примере нужно провести замену x = t 2 , то есть, вместо «икса» под корнем у нас окажется t 2 . Почему замена именно такая? Потому что , и в результате замены корень пропадёт.

Если бы в подынтегральной функции вместо квадратного корня у нас находился , то мы бы провели замену . Если бы там был , то провели бы и так далее.

Хорошо, у нас превратится в . Что произойдет с многочленом ? Сложностей нет: если , то .

Осталось выяснить, во что превратится дифференциал . Делается это так:

Берем нашу замену и навешиваем дифференциалы на обе части :

(распишем максимально подробно).

Оформление решения должно выглядеть примерно так:

.

Проведем замену: .

.

(1) Проводим подстановку после замены (как, что и куда, уже рассмотрено).

(2) Выносим константу за пределы интеграла. Числитель и знаменатель сокращаем на t .

(3) Получившийся интеграл является табличным, готовим его для интегрирования, выделяя квадрат.

(4) Интегрируем по таблице, используя формулу

.

(5) Проводим обратную замену. Как это делается? Вспоминаем, от чего плясали: если , то .

Пример 2

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Как-то так получилось, что в Примерах 1, 2 «голый» числитель с одиноким дифференциалом . Исправим ситуацию.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл

Предварительный анализ подынтегральной функции опять показывает, что лёгкого пути нет. А поэтому нужно избавляться от корня.

Проведем замену: .

Заобозначаем ВСЁ выражение под корнем . Замена из предыдущих примеров здесь не годится (точнее, сделать-то её можно, но это не избавит нас от корня).

Навешиваем дифференциалы на обе части:

С числителем разобрались. Что делать с в знаменателе?

Берем нашу замену и выражаем из неё: .

Если , то .

(1) Проводим подстановку в соответствии с выполненной заменой.

(2) Причесываем числитель. Константу здесь я предпочел не выносить за знак интеграла (можно делать и так, ошибкой не будет)

(3) Раскладываем числитель в сумму. Еще раз настоятельно рекомендуем ознакомиться с первым параграфом урока Интегрирование некоторых дробей . Канители с разложением числителя в сумму в иррациональных интегралах будет предостаточно, очень важно отработать это прием.

(4) Почленно делим числитель на знаменатель.

(5) Используем свойства линейности неопределенного интеграла. Во втором интеграле выделяем квадрат для последующего интегрирования по таблице.

(6) Интегрируем по таблице. Первый интеграл совсем простой, во втором используем табличную формулу высокого логарифма .

(7) Проводим обратную замену. Если мы проводили замену , то, обратно: .

Пример 4

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения, если вы невнимательно проработали предыдущие примеры, то допустите ошибку! Полное решение и ответ в конце урока.

Принципиально так же решаются интегралы с несколькими одинаковыми корнями, например

И т.д. А что делать, если в подынтегральной функции корни разные ?

Пример 5

Найти неопределенный интеграл

Вот и пришла расплата за голые числители. Когда встречается такой интеграл, обычно становится страшно. Но страхи напрасны, после проведения подходящей замены подынтегральная функция упрощается. Задача состоит в следующем: провести удачную замену, чтобы сразу избавиться от ВСЕХ корней.

Когда даны разные корни, удобно придерживаться определённой схемы решения.

Сначала выписываем на черновике подынтегральную функцию, при этом все корни представляем в виде :

Нас будут интересовать знаменатели степеней: