Разложить матрицу по первой строке. Определитель матрицы

Постановка задачи

Задание подразумевает знакомство пользователя с основными понятиями численных методов, такими как определитель и обратная матрица , и различными способами их вычислений. В данном теоретическом отчете простым и доступным языком сначала вводятся основные понятия и определения, на основании которых проводится дальнейшее исследование. Пользователь может не иметь специальных знаний в области численных методов и линейной алгебры , но с легкостью сможет воспользоваться результатами данной работы. Для наглядности приведена программа вычисления определителя матрицы несколькими методами, написанная на языке программирования C++. Программа используется как лабораторный стенд для создания иллюстраций к отчету. А также проводится исследование методов для решения систем линейных алгебраических уравнений . Доказывается бесполезность вычисления обратной матрицы, поэтому в работе приводится более оптимальные способы решения уравнений не вычисляя ее. Рассказывается почему существует такое количество различных методов вычисления определителей и обратных матриц и разбираются их недостатки. Также рассматриваются погрешности при вычислении определителя и оценивается достигнутая точность. Помимо русских терминов в работе используются и их английские эквиваленты для понимания, под какими названиями искать численные процедуры в библиотеках и что означают их параметры.

Основные определения и простейшие свойства

Определитель

Введем определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным , то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка , нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка . Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.

Определитель квадратной матрицы будем обозначать или det .

Определение 1. Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число .

Определителем квадратной матрицы порядка , называется число

где - определитель матрицы порядка , полученной из матрицы вычеркиванием первой строки и столбца с номером .

Для наглядности запишем, как можно вычислить определитель матрицы четвертого порядка:

Замечание. Реальное вычисление определителей для матриц выше третьего порядка на основе определения используется в исключительных случаях. Как правило, вычисление ведется по другим алгоритмам, которые будут рассмотрены позже и которые требуют меньше вычислительной работы.

Замечание. В определении 1 было бы точнее сказать, что определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядка и принимающая значения в множестве чисел.

Замечание. В литературе вместо термина "определитель" используется также термин "детерминант", имеющий тот же самый смысл. От слова "детерминант" и появилось обозначение det .

Рассмотрим некоторые свойства определителей, которые сформулируем в виде утверждений.

Утверждение 1. При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть .

Утверждение 2. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть .

Утверждение 3. Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.

Утверждение 4. Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

В дальнейшем нам потребуется складывать строки и умножать строку на число. Эти действия над строками (столбцами) мы будем выполнять так же, как действия над матрицами-строками (матрицами-столбцами), то есть поэлементно. Результатом будет служить строка (столбец), как правило, не совпадающая со строками исходной матрицы. При наличии операций сложения строк (столбцов) и умножения их на число мы можем говорить и о линейных комбинациях строк (столбцов), то есть суммах с числовыми коэффициентами.

Утверждение 5. Если строку матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число.

Утверждение 6. Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

Утверждение 7. Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.

Утверждение 8. Пусть в матрице i-ая строка имеет вид . Тогда , где матрица получается из матрицы заменой i-ой строки на строку , а матрица - заменой i-ой строки на строку .

Утверждение 9. Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.

Утверждение 10. Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.

Определение 2. Алгебраическим дополнением к элементу матрицы называется число, равное , где - определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Алгебраическое дополнение к элементу матрицы обозначается .

Пример. Пусть . Тогда

Замечание. Используя алгебраические дополнения, определение 1 определителя можно записать так:

Утверждение 11. Разложение определителя по произвольной строке.

Для определителя матрицы справедлива формула

Пример. Вычислите .

Решение. Воспользуемся разложением по третьей строке, так выгоднее, поскольку в третьей строке два числа из трех - нули. Получим

Утверждение 12. Для квадратной матрицы порядка при выполнено соотношение .

Утверждение 13. Все свойства определителя, сформулированные для строк (утверждения 1 - 11), справедливы и для столбцов, в частности, справедливо разложение определителя по j-ому столбцу и равенство при .

Утверждение 14. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

Следствие. Определитель единичной матрицы равен единице, .

Вывод. Перечисленные выше свойства позволяют находить определители матриц достаточно высоких порядков при сравнительно небольшом объеме вычислений. Алгоритм вычислений следующий.

Алгоритм создания нулей в столбце. Пусть требуется вычислить определитель порядка . Если , то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не нуль. В результате определитель , будет равен определителю новой матрицы с противоположным знаком. Если же первый элемент каждой строки равен нулю, то матрица имеет нулевой столбец и по утверждениям 1, 13 ее определитель равен нулю.

Итак, считаем, что уже в исходной матрице . Первую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число . Тогда первый элемент второй строки будет равен .

Остальные элементы новой второй строки обозначим , . Определитель новой матрицы по утверждению 9 равен . Первую строку умножим на число и прибавим к третьей. Первый элемент новой третьей строки будет равен

Остальные элементы новой третьей строки обозначим , . Определитель новой матрицы по утверждению 9 равен .

Процесс получения нулей вместо первых элементов строк продолжим дальше. Наконец, первую строку умножим на число и прибавим к последней строке. В результате получается матрица, обозначим ее , которая имеет вид

причем . Для вычисления определителя матрицы используем разложение по первому столбцу

Так как , то

В правой части стоит определитель матрицы порядка . К нему применим тот же алгоритм, и вычисление определителя матрицы сведется к вычислению определителя матрицы порядка . Процесс повторяем до тех пор, пока не дойдем до определителя второго порядка, который вычисляется по определению.

Если матрица не обладает какими-то специфическими свойствами, то заметно уменьшить объем вычислений по сравнению с предложенным алгоритмом не удается. Еще одна хорошая сторона этого алгоритма - по нему легко составить программу для компьютера для вычисления определителей матриц больших порядков. В стандартных программах вычисления определителей используется этот алгоритм с не принципиальными изменениями, связанными с минимизацией влияния ошибок округления и погрешностей входных данных при вычислениях компьютера.

Пример. Вычислите определитель матрицы .

Решение. Первую строку оставляем без изменения. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число :

Определитель не меняется. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число :

Определитель не меняется. К четвертой строке прибавляем первую, умноженную на число :

Определитель не меняется. В результате получаем

По тому же алгоритму считаем определитель матрицы порядка 3, стоящий справа. Первую строку оставляем без изменений, ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число :

К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число :

В результате получаем

Ответ. .

Замечание. Хотя при вычислениях использовались дроби, результат оказался целым числом. Действительно, используя свойства определителей и то, что исходные числа - целые, операций с дробями можно было бы избежать. Но в инженерной практике числа крайне редко бывают целыми. Поэтому, как правило, элементы определителя будут десятичными дробями и применять какие-то ухищрения для упрощения вычислений нецелесообразно.

Обратная матрица

Определение 3. Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .

Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено).

Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то .

Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.

Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.

Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.

Определение 4. Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей , если , и невырожденной или неособенной матрицей , если .

Утверждение. Если обратная матрица существует, то она единственна.

Утверждение. Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и (1) где - алгебраические дополнения к элементам .

Теорема. Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица - невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (1).

Замечание. Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца , а второй - номер строки , в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.

Пример. .

Решение. Находим определитель

Так как , то матрица - невырожденная, и обратная для нее существует. Находим алгебраические дополнения:

Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй - строке: (2)

Полученная матрица (2) и служит ответом к задаче.

Замечание. В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так:
(3)

Однако запись (2) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде (2) предпочтительнее, если элементы матриц - целые числа. И наоборот, если элементы матрицы - десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя впереди.

Замечание. При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.

Пример. Найдите обратную матрицу для матрицы .

Решение. - существует.

Ответ: .

Вывод. Нахождение обратной матрицы по формуле (1) требует слишком много вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.

Вычисление определителя и обратной матрицы с помощью метода Гаусса

Метод Гаусса можно использовать для нахождения определителя и обратной матрицы .

Именно, определитель матрицы равен det .

Обратная матрица находится решением систем линейных уравнений методом исключения Гаусса:

Где есть j-тый столбец единичной матрицы , - искомый вектор.

Полученные векторы решений - образуют, очевидно, столбцов матрицы , поскольку .

Формулы для определителя

1. Если матрица невырожденная, то и (произведение ведущих элементов).

Лекция 2. определители

Определители второго порядка

Определители третьего порядка

Алгебраические дополнения и миноры

Разложение определителя по строке или столбцу

Свойства определителей

Обратная матрица

Свойства обратной матрицы

1. Определители второго порядка

Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы .

Определитель – это число, которое считается по определенным правилам. Порядок определителя – это порядок квадратной матрицы. Если для задания матриц использовались круглые скобки, то в теории определителей используют прямые скобки.

Каждой квадратной матрице поставим в соответствие некоторое число, которое будем называть определителем матрицы, и укажем правило его вычисления. Обозначения:

.

Пример 1.
.

2. Определители третьего порядка

В каждом произведении нет чисел из одного столбца или одной строки.

Приведем схему для запоминания порядка получения слагаемых в определителе.

Произведение чисел на одной диагонали берется со знаком «+» (это главная диагональ матрицы), а на другой – с противоположным знаком.

Пример 2 .

3. Алгебраические дополнения и миноры

Для вычисления определителей порядка больше третьего применяют другие способы вычисления.

Пример 3. Минор
определителя есть.

.

Полезно запомнить, что
и
.

Пример 4. В примере 3алгебраическое дополнение

4. Разложение определителя по строке или столбцу

Вычисление определителя -го порядка можно свести к вычислению определителей порядка
, используя следующие формулы.

Это число равно сумме произведений элементов любой -й строки на их алгебраические дополнения .

Пример 5 . Вычислить определитель третьего порядка
разложением по первой строке.

Решение

Это число равно сумме произведений элементов любого -го столбца на их алгебраические дополнения.

Независимо от способа разложения всегда получается один и тот же ответ.

5. Свойства определителей

1. При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не меняется:
.

Вывод. Свойства определителей, сформулированных для строк, справедливы и для столбцов.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный. Например,
.

3. Определитель равен нулю , если:

а) он имеет нулевую строку (столбец)
;

б) он имеет пропорциональные (одинаковые) строки (столбец)
.

4. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя. Например,
.

5. Определитель не изменяется , если к элементам какой-либо строки прибавить (вычесть) соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число.

Например,
.

6. Если в определителе каждый элемент строки есть сумма двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей:

.

7. Определитель произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц:

.

8. Определитель квадратной матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

.

6. Обратная матрица

Вместо операции деления матриц вводится понятие обратной матрицы.

Обозначается обратная матрица
, то есть .

Очевидна аналогия с числами: для числа 2 число ½ есть обратное, так как
. Именно поэтому матрица, обратная к А, обозначается
.

Теорема «Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы». Для того чтобы квадратная матрица имела обратную матрицу
, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицыбыл не равен нулю.

Правило нахождения обратной матрицы

0) Смотрим, является ли матрица квадратной. Если нет, то обратной матрицы не существует; если квадратная, то переходим к пункту 1.

1) Вычисляем определитель матрицы
: если он не равен нулю, то обратная матрица существует:
; если равен нулю, то обратной матрицы нет.

2) Для каждого элемента матрицы вычисляем его алгебраическое дополнение.

3) Составляем матрицу из алгебраических дополнений, которая затем транспонируем:
.

4) Каждый элемент матрицы
делим на определитель:
Получаем матрицу, обратную данной.

7. Нахождение обратной матрицы для матриц второго порядка

Пример 6. Дана матрица
. Найти обратную матрицу.

Решение .

Проверка. Убедимся, что найдена действительно обратная матрица. Найдем произведение матриц и
.

8. Свойства обратной матрицы

1.
,

где А и В – невырожденные квадратные матрицы одинакового порядка.

2.
.

3.
.

4.
.

Контрольные вопросы

Что называется определителем второго порядка?

Как вычислить определитель третьего порядка?

Как вычислить определитель 3 порядка по правилу треугольников?

Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя? Приведите примеры для определителей 2 и 3 порядков.

Напишите разложения определителя третьего порядка по элементам произвольной строки и произвольного столбца.

Пусть имеется квадратная матрица A размером n x n .
Определение. Определителем называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки матрицы A . Если в каждом таком произведении (члене определителя) множители расположены в порядке следования столбцов (т.е. вторые индексы элементов a ij в произведении расположены в порядке возрастания), то со знаком (+) берутся те произведения, у которых перестановка первых индексов чётная, а со знаком (-) – те, ­ у которых она нечетная.
.
Здесь - число инверсий в перестановке индексов i 1 , i 2 , …, i n .

Методы нахождения определителей

1. Определитель матрицы разложением по строкам и столбцам через миноры.
2. Определитель методом приведения к треугольному виду (методом Гаусса)

Свойство определителей

1. При транспонировании матрицы её определитель не меняется.
2. Если поменять местами две строки или два столбца определителя, то определитель изменит знак, а по абсолютной величине не изменится.
3. Пусть C = AB где A и B квадратные матрицы. Тогда detC = detA ∙ detB .
4. Определитель с двумя одинаковыми строками или с двумя одинаковыми столбцами равен 0. Если все элементы некоторой строки или столбца равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
5. Определитель с двумя пропорциональными строками или столбцами равен 0.
6. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов стоящих на главной диагонали.
7. Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.
8. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы) кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором - вторые слагаемые.
9. Теорема Якоби: Если к элементам некоторого столбца определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольный множитель λ, то величина определителя не изменится.

Таким образом, определитель матрицы остается без изменения, если:

• транспонировать матрицу;
• прибавить к какой-либо строке другую строку, умноженную на любое число.

Задание 1 . Вычислить определитель, разлагая его по строке или столбцу.
Решение :xml :xls
Пример 1 :xml :xls

Задание 2 . Вычислить определитель двумя способами: а) по правилу «треугольников»; б) разложением по строке.

Решение .
а) Слагаемые, входящие в со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали.

2 2 1 -1 0 4 -2 2 0

=

= 2 0 0 - 2 4 2 - (-1) 2 0 + (-1) 1 2 + (-2) 2 4 - (-2) 1 0 = -34
б) Запишем матрицу в виде:

A =

2 2 1 -1 0 4 -2 2 0

Главный определитель:
∆ = 2 (0 0-2 4)-(-1 (2 0-2 1))+(-2 (2 4-0 1)) = -34

Задание 3 . Укажите, чему равен определитель квадратной матрицы A четвертого порядка, если ее ранг r(A)=1.
Ответ: det(A) = 0.

Определитель матрицы

Нахождение определителя матрицы является очень частой задачей в высшей математике и алгебре. Как правило, без значения определителя матрицы не обойтись при решении сложных систем уравнений. На вычислении определителя матрицы построен метод Крамера решения систем уравнений. С помощью определения детермината определяют наличие и единственность решения систем уравнений. Поэтому сложно переоценить важность умения правильно и точно находить определитель матрицы в математике. Методы решения определителей являются теоретически довольно простыми, однако с увеличением размера матрицы вычисления становятся очень громоздкими и требуют огромной внимательности и много времени. Очень легко в таких сложных математических вычислениях допустить незначительную ошибку или описку, что приведет к ошибке в окончательном ответе. Поэтому даже если вы находите определитель матрицы самостоятельно, важно проверить полученный результат. Это позволяет сделать наш сервис Нахождение определителя матрицы онлайн . Наш сервис выдает всегда абсолютно точный результат, не содержащий ни ошибок, ни описок. Вы можете отказаться от самостоятельных вычислений, поскольку с прикладной точки зрения, нахождение определителя матрицы не имеет обучающего характера, а просто требует много времени и числовых вычислений. Поэтому если в вашей задачи определение детерминанта матрицы являются вспомогательными, побочными вычислениями, воспользуйтесь нашим сервисом и найдите определитель матрицы онлайн !

Все вычисления проводятся автоматически с высочайшей точностью и абсолютно бесплатны. У нас очень удобный интерфейс для ввода матричных элементов. Но главное отличие нашего сервиса от аналогичных - возможность получения подробного решения. Наш сервис при вычислении определителя матрицы онлайн всегда использует самый простой и короткий метод и подробно описывает каждый шаг преобразований и упрощений. Так что вы получаете не просто значение детерминанта матрицы, окончательный результат, но и целое подробное решение.

Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй - пять третьих и от четвертой - три третьих строки, получаем:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей - вторую:

Ответ.

12. Слау 3 порядка

1. Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.

2. Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":

3. Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель

Решение.

Ответ.

4.Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный: