Полное напряжение в точке. Сопротивление материалов

Напряжения характеризуются числовым значением и направлением, т. е. напряжение представляет собой вектор, наклоненный под тем или иным углом к рассматриваемому сечению.

Пусть в точке М какого-либо сечения тела по некоторой малой площадке A действует сила F под некоторым углом к площадке (рис. 63, а). Поделив эту силу F на площадь А, найдем возникающее в точке М среднее напряжение (рис. 63, б):

Истинные напряжения в точке М определяются при переходе к пределу

Векторная величина р называется полным напряжением в точке.

Полное напряжение р можно разложить на составляющие: по нормали (перпендикуляру) к площадке А и по касательной к ней (рис, 63, в).

Составляющую напряжения по нормали называют нормальным напряжением в данной точке сечения и обозначают греческой буквой (сигма); составляющую по касательной называют касательным напряжением и обозначают греческой буквой (тау).

Нормальное напряжение, направленное от сечения, считают положительным, направленное к сечению - отрицательным.

Нормальные напряжения возникают, когда под действием внешних сил частицы, расположенные по обе стороны от сечения, стремятся удалиться одна от другой или сблизиться. Касательные напряжения возникают, когда частицы стремятся сдвинуться одна относительно другой в плоскости сечения.

Касательное напряжение можно разложить по координатным осям на две составляющие и (рис.1.6, в). Первый индекс при показывает, какая ось перпендикулярна сечению, второй - параллельно какой оси действует напряжение. Если в расчетах направление касательного напряжения не имеет значения, его обозначают без индексов.

Между полным напряжением и его составляющими существует зависимость

Напряжение, при котором происходит разрушение материала или возникают заметные пластические деформации, называют предельным.

Как отмечалось выше, внутренние силы, действующие в некотором сечении со стороны отброшенной части тела, можно привести к главному вектору и главному моменту. Зафиксируем точку М в рассматриваемом сечении с единичным вектором нормали n . В окрестности этой точки выделим малую площадку F . Главный вектор внутренних сил, действующих на этой площадке, обозначим черезP (рис. 1 а ). При уменьшении размеров площадки соответственно

Рис.1. Композиция вектора напряжения.
а) вектор полного напряжения б) вектор нормального и касательного напряжений

уменьшаются главный вектор и главный момент внутренних сил, причем главный момент уменьшается в большей степени. В пределе при получим

Аналогичный предел для главного момента равен нулю. Введенный таким образом векторр n называется вектором напряжений в точке. Этот вектор зависит не только от действующих на тело внешних сил и координат рассматриваемой точки, но и от ориентации в пространстве площадки F , характеризуемой вектором п . Совокупность всех векторов напряжений в точке М для всевозможных направлений вектора п определяет напряженное состояние в этой точке.

В общем случае направление вектора напряженийр n не совпадает с направлением вектора нормали п . Проекция векторар nна направление вектора п называется нормальным напряжением , а проекция на плоскость, проходящую через точку М и ортогональную векторуn, — касательным напряжением (рис. 1 б ).

Размерность напряжений равна отношению размерности силы к размерности площади. В международной системе единиц СИ напряжения измеряются в паскалях: 1 Па=1 Н/м 2 .

При действии внешних сил наряду с возникновением напряжений происходит изменение объема тела и его формы, т. е. тело деформируется. При этом различают начальное (недеформированное) и конечное (деформированное) состояния тела.

Отнесем недеформированное тело к декартовой системе координат Oxyz (рис. 2). Положение некоторой точки М в этой системе координат определяется радиус-вектором r(х, у, z). В деформированном состоянии точка М займет новое положение М / , характеризуемое радиус-вектором r " (х, у, z). Вектор u=r"—r называется вектором, перемещений точки М. Проекции вектора u на координатные оси определяют компоненты вектора перемещений и(х, у, z), v(х, у, z), w(х, у, z), равные разности декартовых координат точки тела после и до деформации.

Перемещение, при котором взаимное расположение точек тела не меняется, не сопровождается деформациями. В этом случае говорят, что тело перемещается как жесткое целое (линейное перемещение в пространстве или поворот относительно некоторой точки). С другой стороны, деформация, связанная с изменением формы тела и его объема, невозможна без перемещения его точек.

Рис.2. Композиция вектора перемещения

Деформации тела характеризуются изменением взаимного расположения точек тела до и после деформации. Рассмотрим, например, точку М и близкую к ней точку N, расстояние между которыми в недеформированном состоянии вдоль направления вектора s обозначим через (рис. 2). В деформированном состоянии точки М и N переместятся в новое положение (точки М" и N’ ), расстояние между которыми обозначим через s". Предел отношения

называется относительной линейной деформацией в точке М в направлении вектора s, рис.3. Рассматривая три взаимно перпендикулярных направления, например, вдоль координатных осей Ох, Оу и Oz , получим три компоненты относительных линейных деформаций характеризующих изменение объема тела в процессе деформации.

Для описания деформаций, связанных с изменением формы тела, рассмотрим точку М и две близкие к ней точки N и Р, расположенные в недеформированном состоянии в направлении двух взаимно ортогональных векторов s 1 и s 2 . Расстояния между точками обозначим через и (рис. 4). В деформированном состоянии положение точек обозначим через М", N" и Р". Угол между отрезками M"N" и М"Р" в общем случае будет отличным от прямого. При , изменение угла между двумя ортогональными до деформации направлениями называется угловой деформацией. Как видно из рис. 4, угловая деформация складывается из двух углов и , связанных с поворотами отрезков M’N" и М"Р" "в.плоскости, образованной векторами s 1 и s 2 , относительно этих векторов. Если заданы три взаимно ортогональных вектора, направленных вдоль координатных осей, то имеются три угловые деформации , и , которые вместе с тремя линейными деформациями , и полностью определяют деформированное состояние в точке.

Рис.3. Композиция линейной деформации

Рис. 4. Композиция угловой деформации

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ

Вектор напряженийp n является физическим объектом, имеющим длину, направление и точку приложения. В этом смысле он обладает векторными свойствами. Однако этому объекту присущи некоторые свойства, не характерные для векторов. В частности, величина и направление вектора напряжений зависят от ориентации вектора n нормали бесконечно малого элемента поверхности dF. Совокупность всех возможных пар векторовп, р n в точке определяет напряженное состояние в данной точке. Однако для полного описания напряженного состояния в точке нет необходимости задавать бесконечное множество направлений вектораn , достаточно определить векторы напряжений на трех взаимно перпендикулярных элементарных площадках. Напряжения на произвольно ориентированных площадках могут быть выражены через эти три вектора напряжений. В дальнейшем лектор умышленно меняет ориентацию координат. Так, что ось Z – продольная ось бруса, а X и Y – координаты любой точки его поперечного сечения.

Проведем через точку М три взаимно перпендикулярных плоскости с векторами нормалей, направления которых совпадают с направлениями координатных осей. Элементарные площадки образуем дополнительными сечениями, параллельными исходным плоскостям и отстоящими от них на бесконечно малые расстояния dx , dy, dz. В результате в окрестности точки М получим бесконечно малый параллелепипед, поверхность которого образована элементарными площадками dF х =dydz, dF н ==dxdz, dF я =dxdy. Векторы напряжений p x , p y , p z , действующие на элементарных площадках, показаны на рис. 5.

Разложим каждый вектор напряжений на составляющие вдоль координатных осей (рис. 6). На каждой площадке действует одно нормальное напряжение , , , где индекс обозначает направление вектора нормали к площадке и два касательных напряжения с двумя индексами, из которых первый указывает направление действия компоненты напряжения, второй—направление вектора нормали к площадке.

Рис. 5. Равновесное состояние бесконечно-малого параллелепипеда

Рис.6. Компоненты тензора напряженного состояния

Совокупность девяти компонент напряжений (по три на каждой из трех взаимно перпендикулярных площадок) представляет собой некоторый физический объект, называемый тензором напряжений в точке. Тензор можно представить в виде матрицы, соответствующим образом упорядочив девять компонент:

Для компонент тензора напряжений общепринятым является следующее правило знаков: компонента считается положительной, если на площадке с положительной внешней нормалью (т. е. направленной вдоль одной из координатных осей) эта компонента направлена в сторону положительного направления соответствующей оси. На рис. 6 все компоненты тензора напряжений изображены положительными. На площадках с отрицательной внешней нормалью (грани параллелепипеда, не видимые на рис. 5 и 6) положительная компонента направлена в противоположном направлении. Напряжения на трех взаимно ортогональных площадках с отрицательными направлениями нормалей также характеризуют напряженное состояние в точке. Эти напряжения, являющиеся компонентами тензора напряжений, определяются аналогично напряжениям на площадках с положительной нормалью. Они обозначаются теми же символами и имеют положительное направление, обратное изображенному на рис. 6.

Напряжением называется интенсивность действия внутренних сил в точке тела, то есть, напряжение - это внутреннее усилие, приходящееся на единицу площади. По своей природе напряжение - это , возникающая на внутренних поверхностях соприкасания частей тела. Напряжение, так же как и интенсивность внешней поверхностной нагрузки, выражается в единицах силы, отнесенных к единице площади:Па=Н/м 2 (МПа = 10 6 Н/м 2 , кгс/см 2 =98 066 Па ≈ 10 5 Па, тс/м 2 и т. д.).

Выделим небольшую площадку ∆A . Внутреннее усилие, действующее на нее, обозначим ∆\vec{R}. Полное среднее напряжение на этой площадке \vec{р} = ∆\vec{R}/∆A . Найдем предел этого отношения при ∆A \to 0 . Это и будет полным напряжение на данной площадке (точке) тела.

\textstyle \vec{p} = \lim_{\Delta A \to 0} {\Delta\vec{R}\over \Delta A}

Полное напряжение \vec p, как и равнодействующая внутренних сил, приложенных на элементарной площадке, является векторной величиной и может быть разложено на две составляющие: перпендикулярное к рассматриваемой площадке – нормальное напряжение σ n и касательное к площадке – касательное напряжение \tau_n. Здесь n – нормаль к выделенной площадке .

Касательное напряжение, в свою очередь, может быть разложено на две составляющие, параллельные координатным осям x, y , связанным с поперечным сечением – \tau_{nx}, \tau_{ny}. В названии касательного напряжения первый индекс указывает нормаль к площадке,второй индекс — направление касательного напряжения.

$$\vec{p} = \left[\matrix{\sigma _n \\ \tau _{nx} \\ \tau _{nx}} \right]$$

Отметим, что в дальнейшем будем иметь дело главным образом не с полным напряжением \vec p , а с его составляющими σ_x,\tau _{xy}, \tau _{xz} . В общем случае на площадке могут возникать два вида напряжений: нормальное σ и касательное τ .

Тензор напряжений

При анализе напряжений в окрестности рассматриваемой точки выделяется бесконечно малый объемный элемент (параллелепипед со сторонами dx, dy, dz ), по каждой грани которого действуют, в общем случае, три напряжения, например, для грани, перпендикулярной оси x (площадка x) – σ_x,\tau _{xy}, \tau _{xz}

Компоненты напряжений по трем перпендикулярным граням элемента образуют систему напряжений, описываемую специальной матрицей – тензором напряжений

$$ T _\sigma = \left[\matrix{
\sigma _x & \tau _{yx} & \tau _{zx} \\
\tau _{xy} & \sigma _y & \tau _{zy} \\ \tau _{xz} & \tau _{yz} & \sigma _z
}\right]$$

Здесь первый столбец представляет компоненты напряжений на площадках,
нормальных к оси x, второй и третий – к оси y и z соответственно.

При повороте осей координат, совпадающих с нормалями к граням выделенного
элемента, компоненты напряжений изменяются. Вращая выделенный элемент вокруг осей координат, можно найти такое положение элемента, при котором все касательные напряжения на гранях элемента равны нулю.

Площадка, на которой касательные напряжения равны нулю, называется главной площадкой .

Нормальное напряжение на главной площадке называется главным напряжением

Нормаль к главной площадке называется главной осью напряжений .

В каждой точке можно провести три взаимно-перпендикулярных главных площадки.

При повороте осей координат изменяются компоненты напряжений, но не меняется напряженно-деформированное состояние тела (НДС).

Внутренние усилия есть результат приведения к центру поперечного сечения внутренних сил, приложенных к элементарным площадкам. Напряжения – мера, характеризующая распределение внутренних сил по сечению.

Предположим, что нам известно напряжение в каждой элементарной площадке. Тогда можно записать:

Продольное усилие на площадке dA : dN = σ z dA
Поперечная сила вдоль оси х: dQ x = \tau {zx} dA
Поперечная сила вдоль оси y: dQ y = \tau {zy} dA
Элементарные моменты вокруг осей x,y,z: $$\begin{array}{lcr} dM _x = σ _z dA \cdot y \\ dM _y = σ _z dA \cdot x \\ dM _z = dM _k = \tau _{zy} dA \cdot x - \tau _{zx} dA \cdot y \end{array}$$

Выполнив интегрирование по площади поперечного сечения получим:

То есть, каждое внутренне усилие есть суммарный результат действия напряжений по всему поперечному сечению тела.

Мерой интенсивности внутренних сил, распределенных по сечениям, служат напряжения – усилия, приходящиеся на единицу площади сечения. Выделим в окрестности точки B малую площадку Δ F (рис. 3.1). Пусть Δ R - равнодействующая внутренних сил, действующих на эту площадку. Тогда среднее значение внутренних сил, приходящихся на единицу площади Δ F рассматриваемой площадки, будет равно:

Рис. 3.1. Среднее напряжение на площадке

Величина p m называется средним напряжением . Она характеризует среднюю интенсивность внутренних сил. Уменьшая размеры площади, в пределе получим

Величина p называется истинным напряжением или просто напряжением в данной точке данного сечения.

Единица напряжения – паскаль, 1 Па = 1 Н/м 2 . Так как реальные значения напряжений будут выражаться очень большими числами, то следует применять кратные значения единиц, например МПа (мегапаскаль) 1 МПа= 10 6 Н/м 2 .

Напряжения, как и силы, являются векторными величинами. В каждой точке сечения тела полное напряжение p можно разложить на две составляющие (рис. 3.2):

1) составляющую, нормальную к плоскости сечения. Эта составляющая называется нормальным напряжением и обозначается σ ;

2) составляющую, лежащую(в плоскости сечения. Эта составляющая обозначается τ и называется касательным напряжением . Касательное напряжение в зависимости от действующих сил может иметь любое направление в плоскости сечения. Для удобства τ представляют в виде двух составляющих по направлению координатных осей. Принятые обозначения напряжений показаны ни рис. 3.2

У нормального напряжения ставится индекс, указывающий какой координатной оси параллельно данное напряжение. Растягивающее нормальное напряжение считается положительным, сжимающее – отрицательным . Обозначения касательных напряжений имеют два индекса: первый из них указывает, какой оси параллельна нормаль к площадке действия данного напряжения, а второй – какой оси параллельно само напряжение. Разложение полного напряжения на нормальное и касательное имеет определенный физический смысл. Нормальное напряжение возникает, когда частицы материала стремятся отдалиться друг от друга или, наоборот, сблизиться. Касательные напряжения связаны со сдвигом частиц материала по плоскости сечения.

Рис. 3.2. Разложение вектора полного напряжения

Если мысленно вырезать вокруг какой-нибудь точки тела элемент в виде бесконечно малого кубика, то по его граням в общем случае будут действовать напряжения, представленные на рис. 3.3. Совокупность напряжений на всех элементарных площадках, которые можно провести через какую-либо точку тела называется напряженным состоянием в данной точке .

Вычислим сумму моментов всех элементарных сил, действующих на элемент (рис.3.3), относительно координатных осей, так, например, для оси x с учетом равновесия элемента, имеем: