Формулы для нахождения объема параллелепипеда.

16.04.2019 Программы

Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 классы.Рабинович Е.М.

Оглавление
Предисловие 3
Повторение курса планиметрии 5
Таблица 1. Решение треугольников 5
Таблица 2. Площадь треугольника 6
Таблица 3. Площадь четырехугольника 7
Таблица 4. Площадь четырехугольника 8
Стереометрия. 10 класс 9
Таблица 10.1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия... 9
Таблица 10.2. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия. 10
Таблица 10.3. Параллельность прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые 11
Таблица 10.4. Параллельность прямых и плоскостей 12
Таблица 10.5. Признак параллельности плоскостей 13
Таблица 10.6. Свойства параллельных плоскостей 14
Таблица 10.7. Изображение пространственных фигур на плоскости 15
Таблица 10.8. Изображение пространственных фигур на плоскости 16
Таблица 10.9. Перпендикулярность прямой и плоскости 17
Таблица 10.10. Перпендикулярность прямой и плоскости 18
Таблица 10.11. Перпендикуляр и наклонная 19
Таблица 10.12. Перпендикуляр и наклонная 20
Таблица 10.13. Теорема о трех перпендикулярах 21
Таблица 10.14. Теорема о трех перпендикулярах 22
Таблица 10.15. Теорема о трех перпендикулярах 23
Таблица 10.16. Перпендикулярность плоскостей 24
Таблица 10.17. Перпендикулярность плоскостей 25
Таблица 10.18. Расстояние между скрещивающимися прямыми 26
Таблица 10.19. Декартовы координаты в пространстве 27
Таблица 10.20. Угол между скрещивающимися прямыми 28
Таблица 10.21. Угол между прямой и плоскостью 29
Таблица 10.22. Угол между плоскостями 30
Таблица 10.23. Площадь ортогональной проекции многоугольника 31
Таблица 10.24. Векторы в пространстве 32
Стереометрия. 11 класс 33
Таблица 11.1. Двугранный угол. Трехгранный угол 33
Таблица 11.2. Прямая призма 34
Таблица 11.3. Правильная призма 35
Таблица 11.4. Правильная призма 36
Таблица 11.5. Наклонная призма 37
Таблица 11.6. Параллелепипед 38
Таблица 11.7. Построение сечений призмы 39
Таблица 11.8. Правильная пирамида 40
Таблица 11.9. Пирамида 41
Таблица 11.10. Пирамида 42
Таблица 11.11. Пирамида. Усеченная пирамида 43
Таблица 11.12. Построение сечений пирамиды 44
Таблица 11.13. Цилиндр 45
Таблица 11.14. Конус 46
Таблица 11.15. Конус. Усеченный конус 47
Таблица 11.16. Шар 48
Таблица 11.17. Вписанный и описанный шар 49
Таблица 11.18. Объем параллелепипеда 50
Таблица 11.19. Объем призмы 51
Таблица 11.20. Объем пирамиды 52
Таблица 11.21. Объем пирамиды 53
Таблица 11.22. Объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды 54

Любое геометрическое тело можно охарактеризовать площадью (S) поверхности и объемом (V). Площадь и объем совсем не одно и то же. Объект может иметь сравнительно небольшой V и большую S, например, так устроен мозг человека. Вычислить данные показатели для простых геометрических фигур гораздо проще.

Параллелепипед: определение, виды и свойства

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм. Для чего же может потребоваться формула нахождения объема фигуры? Подобную форму имеют книги, упаковочные коробки и еще множество вещей из повседневной жизни. Комнаты в жилых и офисных домах, как правило, являются прямоугольными параллелепипедами. Для установки вентиляции, кондиционеров и определение количества обогревательных элементов в комнате необходимо рассчитать объем помещения.

У фигуры 6 граней – параллелограммов и 12 ребер, две произвольно выбранные грани называют основаниями. Параллелепипед может быть нескольких видов. Различия обусловлены углами между смежными ребрами. Формулы для нахождения V-ов различных многоугольников немного отличаются.

Если 6 граней геометрической фигуры представляют собой прямоугольники, то ее тоже называют прямоугольной. Куб – это частный случай параллелепипеда, в котором все 6 граней представляют собой равные квадраты. В этом случае, чтобы найти V, нужно узнать длину только одной стороны и возвести ее в третью степень.

Для решения задач понадобятся знания не только готовых формул, но свойств фигуры. Перечень основных свойств прямоугольной призмы невелик и очень прост для понимания:

Противолежащие грани фигуры равны и параллельны. Это значит, что ребра расположенные напротив одинаковы по длине и углу наклона.
Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
Четыре главные диагонали геометрической фигуры пересекаются в одной точкой, и делятся ею пополам.
Квадрат диагонали параллелепипеда равен суме квадратов измерений фигуры (следует из теоремы Пифагора).

Теорема Пифагора гласит, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе того же треугольника.

Доказательство последнего свойства можно разобрать на изображении представленном ниже. Ход решения поставленной задачи прост и не требует подробных объяснений.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Формула нахождения для всех видов геометрической фигуры одна: V=S*h, где V- искомый объем, S – площадь основания параллелепипеда, h – высота, опущенная из противоположной вершины и перпендикулярная основанию. В прямоугольнике h совпадает с одной из сторон фигуры, поэтому чтобы найти объем прямоугольной призмы необходимо перемножить три измерения.

Объем принято выражать в см3. Зная все три значения a, b и c найти объем фигуры совсем не сложно. Наиболее часто встречающийся тип задач в ЕГЭ – это поиск объема или диагонали параллелепипеда. Решить многие типовые задания ЕГЭ без формулы объема прямоугольника – невозможно. Пример задания и оформления его решения приведен на рисунке ниже.

Примечание 1 . Площадь поверхности прямоугольной призмы можно найти, если умножить на 2 сумму площадей трех граней фигуры: основания (ab) и двух смежных боковых граней (bc + ac).

Примечание 2 . Площадь поверхности боковых граней легко узнать умножив периметр основания на высоту параллелепипеда.

Исходя из первого свойства параллелепипедов AB = A1B1, а грань B1D1 = BD. Согласно следствиям из теоремы Пифагора сумма всех углов в прямоугольном треугольнике равна 180°, а катет, лежащий против угла в 30°, равен гипотенузы. Применив данные знания для треугольника, легко находим длину сторон AB и AD. Затем перемножаем полученные значения и вычисляем объем параллелепипеда.

Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда

Чтобы найти объем наклонного параллелепипеда необходимо площадь основания фигуры умножить на высоту, опущенную на данное основание из противоположного угла.

Таким образом, искомый V можно представить в виде h — количества листов с площадью S основания, так объем колоды складывается из V-ов всех карт.

Примеры решения задач

Задания единого экзамена должны быть выполнены за определенное время. Типовые задачи, как правило, не содержать большого количества вычислений и сложных дробей. Часто школьнику предлагают как найти объем неправильной геометрической фигуры. В таких случаях следует помнить простое правило, что общий объем равен сумме V-ов составных частей.

Как видно из примера на изображении выше, ничего сложного в решении подобных задач нет. Задания из более сложных разделов предполагают знания теоремы Пифагора и ее следствий, а так же формулу длины диагонали фигуры. Для успешного решения заданий тестов достаточно заранее ознакомится с образцами типовых задач.

Задачи и упражнения на готовых чертежах, 10-11 классы, Геометрия, Рабинович Е. М., 2006.

Оглавление
Предисловие.
Повторение курса планиметрии.
Таблица 1. Решение треугольников.
Таблица 2. Площадь треугольника.
Таблица 3. Площадь четырехугольника.
Таблица 4. Площадь четырехугольника. Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.
Таблица 10.2. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.
Таблица 10.3. Параллельность прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые.
Таблица 10.4. Параллельность прямых и плоскостей.
Таблица 10.5. Признак параллельности плоскостей.
Таблица 10.6. Свойства параллельных плоскостей.
Таблица 10.7. Изображение пространственных фигур на плоскости
Таблица 10.8. Изображение пространственных фигур на плоскости
Таблица 10.9. Перпендикулярность прямой и плоскости.
Таблица 10.10. Перпендикулярность прямой и плоскости.
Таблица 10.11. Перпендикуляр и наклонная.
Таблица 10.12. Перпендикуляр и наклонная.
Таблица 10.13. Теорема о трех перпендикулярах.
Таблица 10.14. Теорема о трех перпендикулярах.
Таблица 10.15. Теорема о трех перпендикулярах.
Таблица 10.16. Перпендикулярность плоскостей.
Таблица 10.17. Перпендикулярность плоскостей.
Таблица 10.18. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Таблица 10.19. Декартовы координаты в пространстве.
Таблица 10.20. Угол между скрещивающимися прямыми.
Таблица 10.21. Угол между прямой и плоскостью.
Таблица 10.22. Угол между плоскостями.
Таблица 10.23. Площадь ортогональной проекции многоугольника
Таблица 10.24. Векторы в пространстве.Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.1. Двугранный угол. Трехгранный угол.
Таблица 11.2. Прямая призма.
Таблица 11.3. Правильная призма.
Таблица 11.4. Правильная призма.
Таблица 11.5. Наклонная призма.
Таблица 11.6. Параллелепипед.
Таблица 11.7. Построение сечений призмы.
Таблица 11.8. Правильная пирамида.
Таблица 11.9. Пирамида.
Таблица 11.10. Пирамида.
Таблица 11.11. Пирамида. Усеченная пирамида.
Таблица 11.12. Построение сечении пирамиды.
Таблица 11.13. Цилиндр.
Таблица 11.14. Конус.
Таблица 11.15. Kohуc. Усеченный kohуc.
Таблица 11.16. Шар.
Таблица 11.17. Вписанный и описанный шар.
Таблица 11.18. Объем параллелепипеда.
Таблица 11.19. Объем призмы.
Таблица 11.20. Объем пирамиды.
Таблица 11.21. Объем пирамиды.
Таблица 11.22. Объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды.
Таблица 11.23. Объем и площадь боковой поверхности цилиндра.
Таблица 11.24. Объем и площадь боковой поверхности конус.
Таблица 11.25. Объем конуса. Объем усеченного конуса. Площадь боковой поверхности конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса.
Таблица 11.26. Объем шара. Площадь поверхности шара. Ответы, указания, решения

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Задачи и упражнения на готовых чертежах, 10-11 классы, Геометрия, Рабинович Е. М., 2006 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.

6-е изд., стер. - М.: Дрофа, 2008. - 224 с.

Новый учебник по стереометрии для классов с углубленным и профильным изучением математики соответствует современным тенденциям развития школьного курса геометрии, идеям дифференциации углубления и расширения знаний учащихся. В основе концепции предлагаемого курса лежат идеи дальнейшего формирования и развития конструктивно-пространственного воображения, а также таких качеств учащихся, как интеллектуальная восприимчивость и способность к усвоению новой информации, гибкость и независимость логического мышления.

Данный учебник может быть использован учащимися общеобразовательных учреждений, интересующимися математикой и проявляющими к ней особый интерес, для самостоятельных занятий, а также студентами педагогических вузов и репетиторами, занимающимися подготовкой абитуриентов.

Формат: djvu / zip

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Условные обозначения 7
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ
§ 1. Предмет стереометрии. Основные понятия 9
§ 2. О некоторых пространственных фигурах 10
§ 3. Аксиомы стереометрии 13
§ 4. Следствия из аксиом. Способы задания плоскости 20
§ 5. Рисунки на доске и в тетради 26
Глава 2. ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 6. Классификация взаимного расположения двух прямых в пространстве 32
6.1. Скрещивающиеся прямые 34
6.2. Параллельные прямые в пространстве 35
§ 7. Угол между лучами. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярные прямые 39
7.1. Угол между лучами в пространстве 39
7.2. Угол между прямыми в пространстве, 41
Глава 3. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 8. Параллельность прямой и плоскости 44
§ 9. Перпендикулярность прямой и плоскости 47
9.1 Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Построение перпендикулярных прямой и плоскости 47
9.2. О прямых, перпендикулярных плоскости 53
§ 10. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Теорема о трех перпендикулярах 54
§ 11. Угол между прямой и плоскостью 58
§ 12. Параллельное проектирование и его свойства. Ортогональное проектирование 60
Глава 4. ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 13. Параллельность плоскостей 66
13.1. Признак параллельности плоскостей 66
13.2. Свойства параллельных плоскостей 68
§ 14. Двугранные углы. Угол между двумя плоскостями.... 73
14.1. Двугранный угол и его измерение 73
14.2. Угол между двумя плоскостями 76
§ 15. Перпендикулярность плоскостей 77
15.1. Признаки перпендикулярности двух плоскостей 77
15.2. Свойства перпендикулярных плоскостей 79
§ 16. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых 81
§ 17. Площадь ортогональной проекции многоугольника.... 83
Глава 5. РАССТОЯНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 18. Расстояние от точки до фигуры 87
§ 19. Расстояние между фигурами 93
§ 20. Геометрические места точек, связанные с расстояниями в пространстве 100
Глава 6. ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 21. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. . 104
21.1. Понятие вектора 104
21.2. Линейные операции над векторами 109
§ 22. Разложение вектора по базису 116
22.1 Компланарные векторы 116
22.2. Разложение вектора на плоскости 117
22.3. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам 119
§ 23. Скалярное произведение векторов 123
23.1. Определение скалярного произведения векторов 123
23.2. Свойства скалярного произведения векторов 124
23.3. Признак перпендикулярности двух векторов 125
23.4. Применение векторного метода к решению стереометрических задач 131
Глава 7. КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 24. Декартова прямоугольная система координат в пространстве 139
24.1. Координаты вектора в пространстве. Линейные операции над векторами в координатах 139
24.2. Скалярное произведение векторов в координатах 144
24.3. Проекции вектора на ось в координатах 145
24.4. Декартовы прямоугольные координаты точки 148
24.5. Решение простейших задач стереометрии в координатах. 149
§ 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами 154
25.1. Уравнение сферы 154
25.2. Уравнение плоскости 156
25.3. Прямая в пространстве в координатах 162
25.4. Взаимное расположение прямой и плоскости в координатах 167
§ 26. Расстояние от точки до плоскости в координатах 169
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
Изображение фигур в параллельной проекции. 173
§ 1. Об изображениях фигур в параллельной проекции 173
§ 2. Изображение плоских фигур в параллельной проекции. . 177
2.1. Изображение окружности и многоугольников 177
2.2. Изображение многоугольников, вписанных в окружность 184
Задачи 188
§ 3. Изображение многогранников 189
ПРИЛОЖЕНИЯ
Список основных теорем 10 класса 196
Список задач на построение в пространстве 197
Формулы планиметрии 199
Тригонометрические тождества 205
Формулы стереометрии 206
Примерное почасовое планирование (10 класс) (3 ч в неделю, всего 105 ч) 214
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 11 КЛАССА 218
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 219

М.: 1999. - 238 с.

Этот учебник - переработанный вариант учебника А. Д. Александрова, А. Л. Вернера, В. И. Рыжика «Геометрия, 10-11» для углубленного изучения математики (М.: 1988-1995).

В результате переработки учебник представлен двумя книгами: «Геометрия, 10»4 и «Геометрия, 11», в которых последовательность и большей частью содержание глав сохранены. Изменения коснулись в основном задачного материала: смысловой единицей в этом варианте полагается весь параграф, а не его пункт, что и определило структуру задач в этом издании. (Для лучшей ориентировки в номере каждой задачи указано в скобках, к какому пункту параграфа она отнесена.) Все задачи распределены по рубрикам: «Дополняем теорию», «Доказываем», «Исследуем», «Рассуждаем», «Планируем», «Разбираемся в решении», «Участвуем в олимпиаде» и др. В них оптимально отражены все три составляющие геометрии: логика, наглядное воображение и практика.

Формат: djvu / zip

Размер: 5,5 Мб

ОГЛАВЛЕНИЕ:
Введение 7
Глава I ОСНОВАНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ!3
§ 1. Аксиомы стереометрии. 14
1.1. Аксиома, плоскости -
1.2. Аксиомы о прямой 15
1.3. Аксиома разбиения пространства плоскостью 17
1.4. Аксиома расстояния 18
Дополнение к параграфу 1.0 величинах 20
Задачи 22
§ 2. Способы задания прямых и плоскостей в пространстве 28
2.1. Прямая, заданщядвумя точками -
2.2. Плоскость, определяемая тремя точками 29
2.3. Плоскости, проходящие через прямую 30
Задачи 32
§ 3. Взаимное расположение прямых в пространстве 35
3.1. Классификация взаимного расположения прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые -
3.2. Параллельные прямые 37
Задачи 40
§ 4. Параллельное проектирование 43
4.1. Определение параллельного проектирования -
4.2. Основные свойства параллельного проектирования 44
4.3. Изображение разных фигур в параллельной проекции... 46
Задачи 50
§ 5. Существование и единственность. Построения 52
5.1. Существование и единственность -
5.2. Построения в пространстве как теоремы существования. . 53
5.3. Конструктивные и неконструктивные доказательства существования 55
5.4. О построении пирамид и„призм 56
5.5. Построения на чертежах пространственных фигур и реальные построения 58
Задачи 59
§ 6. Об аксиомах 61
6.1. Определение основных понятий __
6.2. Роль аксиом _. 62
6.3. Условность аксиом 63
Дополнение к параграфу 6. Аксиоматика евклидовой планиметрии 65
Задачи к главе I 67
Итоги главы I 69
Глава II ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ И ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ 71
§ 7. Перпендикулярность прямой и плоскости 72
7.1. Определение перпендикулярности прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная -
7.2. О значении перпендикуляра 73
7.3. Основной признак перпендикулярности прямой и плоскости 75
7.4. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости: 76
7.5. Связь между" параллельностью прямых и перпендикулярностью прямой и плоскости 79
7.6. Прямая, перпендикулярная данной плоскости. Симметрия относительно плоскости 81
7.7. Три взаимно перпендикулярные прямые 83
Задачи 84
§ 8. Перпендикулярность плоскостей 89
8.1. Определение перпендикулярности плоскостей -
8.2. Свойства взаимно перпендикулярных плоскостей 91
8.3. Признак перпендикулярности плоскостей 92
8.4. Две пересекающиеся плоскости, перпендикулярные третьей плоскости 92
Задачи 93
§ 9. Параллельные плоскости 96
9.1. Первый признак параллельности плоскостей -
9.2. Леммы о пересечении прямой или плоскости с параллельными плоскостями 97
9.3. Основная теорема о параллельных плоскостях 98
9.4. Прямая, перпендикулярная двум параллельным плоскостям 99
Задачи
§ 10. Параллельность прямой и плоскости 104
10.1. Классификация взаимного расположения прямой и плоскости
10.2. Признак параллельности прямой и плоскости 105
10.3. Второй признак параллельности плоскостей 106
Задачи
§ 11. Ортогональное проектирование. 111
Дополнение к параграфу 11. Метод Монжа и начертательная геометрия ИЗ
Задачи 115
Задачи к главе II 117
Итоги главы II 120
Глава III РАССТОЯНИЯ И УГЛЫ 122
§ 12. Расстояние между фигурами -
12.1. Расстояние от точки до фигуры -
12.2. Теорема о ближайшей точке 124
12.3. Расстояние между фигурами 126
12.4. Расстояние между прямыми и плоскостями. Общие перпендикуляры 127
12.5. Расстояние и параллельность 129
Задачи 130
§ 13. Пространственная теорема Пифагора 136
13.1. Три формулировки теоремы Пифагора -
13.2. Пространственная теорема Пифагора для проекций. ... 137
13.3. О значении теоремы Пифагора 138
Задачи 140
§ 14. Углы 143
14.1. Угол между лучами -
14.2. Угол между прямыми 145
14.3. Угол между прямой и плоскостью 146
14,4., Двугранный угол. 147
14.5. Угол между плоскостями 148
Дополнение к параграфу 14. Трехгранные углы. 149
Задачи 153
Задачи к главе III 159
Итоги главы III 162
Глава IV ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА 163
§ 15. Сфера и шар -
15.1. Понятия сферы и шара,. . -
15.2. Пересечение шара и сферы с плоскостью 165
15.3. Касание шара и сферы с плоскостью. 167
15.4. Вид и изображение шара 168
15.5. Симметрия сферы и шара -
15.6. Шар и расстояние от точки до фигуры 170
Дополнение к параграфу 15. Сферические треугольники 171
Задачи 173
§ 16. Опорная плоскость 178
16.1. Опорная прямая -
16.2. Опорная плоскость 179
16.3. Ограниченные фигуры. Диаметр фигуры 180
Дополнение к параграфу 16. Опорные плоскости в концах диаметра. . 181
Задачи 182
§ 17. Выпуклые фигуры 183
Задачи 185
§ 18. Цилиндры 186
18.1. Определение и свойства цилиндра -
18.2. Прямой круговой цилиндр 188
18.3. Симметрия цилиндра вращения 189
18:4. Выпуклые цилиндры. -
Дополнение к параграфу 18. Эллипс как сечение цилиндра вращения 190
"Задачи 192
§ 19. Конусы. Усеченные конусы. 195
19.1. Определение конуса. Конус вращения -
19.2. Сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости его основания.: 197
19.3. Выпуклые конусы. 198
19.4. Усеченный конус. 199
19.5. Изображения конусов и усечённых конусов вращения. . . 200
Дополнение к параграфу 19 -
I. Центральное проектирование -
II. Конические сечения 205
Задачи 207
§ 20. Тела 211
20.1. Наглядное представление о теле -
20.2. Граница и внутренность фигуры в пространстве 212
20.3. Определение тела 213
20.4. Граничные и внутренние точки плоских фигур. Замкнутая область 214
Дополнение к параграфу 20 216
I. Свойства границы -
II. Выпуклые тела 218
Задачи 222
Задачи к главе IV 224
Итоги главы IV 228

М.: 2004. - 240 с.

Геометрия. Учебник для 9 класса с углубленным изучением математики.

Формат: djvu / zip

Оглавление
Введение 3
Глава IV
ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ 4
§ 18. Векторы -
§ 19. Сложение векторов 12
§ 20. Умножение вектора на число 25
§21. Проекция вектора на ось 30
§ 22. Координаты вектора 39
§ 23. Скалярное умножение 50
§ 24. Векторный метод 56
§ 25. Метод координат 74
Задачи к главе IV 91
Дополнение к главе IV
Векторы и координаты в пространстве 93
Глава V
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 97
§ 26. Движения и равенство фигур -
§ 27. Виды движений 108
§ 28. Классификация движений 126
§ 29. Симметрия фигур 137
§ 30. Равновеликость и равносоставленность 154
§ 31. Подобие 160
§ 32. Инверсия 186
Задачи к главе V , 195
Дополнение к главе V
Движения и подобия в пространстве 199
Глава VI
ОСНОВАНИЯ ПЛАНИМЕТРИИ 203
§ 33. Аксиоматический метод и основания планиметрии Евклида. . -
§ 34. История развития геометрии 211
§ 35. Планиметрия Лобачевского 222
Ответы 235

М.: 2002. - 240 с.

Геометрия. Учебник для 8 класса с углубленным изучением математики.

Формат: djvu / zip

Оглавление
Предисловие 3
Введение 5
Задачи на повторение курса VII класса 10
Глава I
ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР 17
§ I. Многоугольники и многоугольные фигуры -
§ 2. Площадь многоугольной фигуры 34
§ 3. Площадь треугольника и трапеции 47
§ 4. Параллелограмм и его площадь 55
Задачи к главе I 65
Глава II
МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ 69
§ 5. Теорема Пифагора -
§ 6. Применения теоремы Пифагора 79
§ 7. Синус 94
§ 8. Применения синуса 105
§ 9. Косинус 117
§ 10. Применения косинуса 128
§ II. Тангенс и котангенс 137
Задачи к главе II 146
Глава III
МНОГОУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНОСТИ 149
§ 12. Хорды и диаметры. Касательные и опорные прямые -
§ 13. Выпуклые многоугольники 167
§ 14. Вписанные и описанные окружности 175
§ 15. Правильные многоугольники 185
§ 16. Длина окружности 193
§ 17. Площадь круга 202
Задачи к главе III 209
Дополнения 214
Ответы 235

М.: 2006. - 80 с.

Пособие составлено в виде таблиц и содержит более 350 задач. Задачи каждой таблицы соответствуют определенной теме школьного курса геометрии 10-11 классов и расположены внутри таблицы в порядке возрастания их сложности.

Учитель математики, работающий в старших классах, хорошо знает, как трудно научить учеников делать наглядные и правильные чертежи к стереометрическим задачам.

Из-за недостатка пространственного воображения стереометрическая задача, к которой нужно сделать чертеж самостоятельно, зачастую становится для ученика непосильной.

Именно поэтому использование готовых чертежей к стереометрическим задачам значительно увеличивает объем рассматриваемого на уроке материала, повышает его эффективность.

Предлагаемое пособие является дополнительным сборником задач по геометрии для учащихся 10-11 классов общеобразовательной школы и ориентировано на учебник А.В. Погорелова "Геометрия 7-11". Оно является продолжением аналогичного пособия для учащихся 7-9 классов.

Формат: djvu / zip

Оглавление
Предисловие 3
Повторение курса планиметрии 5
Таблица 1. Решение треугольников 5
Таблица 2. Площадь треугольника 6
Таблица 3. Площадь четырехугольника 7
Таблица 4. Площадь четырехугольника 8
Стереометрия. 10 класс 9
Таблица 10.1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия... 9
Таблица 10.2. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия. 10
Таблица 10.3. Параллельность прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые 11
Таблица 10.4. Параллельность прямых и плоскостей 12
Таблица 10.5. Признак параллельности плоскостей 13
Таблица 10.6. Свойства параллельных плоскостей 14
Таблица 10.7. Изображение пространственных фигур на плоскости 15
Таблица 10.8. Изображение пространственных фигур на плоскости 16
Таблица 10.9. Перпендикулярность прямой и плоскости 17
Таблица 10.10. Перпендикулярность прямой и плоскости 18
Таблица 10.11. Перпендикуляр и наклонная 19
Таблица 10.12. Перпендикуляр и наклонная 20
Таблица 10.13. Теорема о трех перпендикулярах 21
Таблица 10.14. Теорема о трех перпендикулярах 22
Таблица 10.15. Теорема о трех перпендикулярах 23
Таблица 10.16. Перпендикулярность плоскостей 24
Таблица 10.17. Перпендикулярность плоскостей 25
Таблица 10.18. Расстояние между скрещивающимися прямыми 26
Таблица 10.19. Декартовы координаты в пространстве 27
Таблица 10.20. Угол между скрещивающимися прямыми 28
Таблица 10.21. Угол между прямой и плоскостью 29
Таблица 10.22. Угол между плоскостями 30
Таблица 10.23. Площадь ортогональной проекции многоугольника 31
Таблица 10.24. Векторы в пространстве 32
Стереометрия. 11 класс 33
Таблица 11.1. Двугранный угол. Трехгранный угол 33
Таблица 11.2. Прямая призма 34
Таблица 11.3. Правильная призма 35
Таблица 11.4. Правильная призма 36
Таблица 11.5. Наклонная призма 37
Таблица 11.6. Параллелепипед 38
Таблица 11.7. Построение сечений призмы 39
Таблица 11.8. Правильная пирамида 40
Таблица 11.9. Пирамида 41
Таблица 11.10. Пирамида 42
Таблица 11.11. Пирамида. Усеченная пирамида 43
Таблица 11.12. Построение сечений пирамиды 44
Таблица 11.13. Цилиндр 45
Таблица 11.14. Конус 46
Таблица 11.15. Конус. Усеченный конус 47
Таблица 11.16. Шар 48
Таблица 11.17. Вписанный и описанный шар 49
Таблица 11.18. Объем параллелепипеда 50
Таблица 11.19. Объем призмы 51
Таблица 11.20. Объем пирамиды 52
Таблица 11.21. Объем пирамиды 53

Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 классы. Рабинович Е.М.

М.: 2014. - 80 с.

Формат: pdf (2014, 80с.)

Размер: 1,2 Мб

Смотреть, скачать: drive.google ; Rghost

Формат: djvu (2006, 80с.)

Размер: 1,3 Мб

Скачать: drive.google

Формулы для нахождения объема параллелепипеда.

Параллелепипед: определение, виды и свойства

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда

Примеры решения задач

Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 классы. Рабинович Е.М.

Лучшие статьи по теме