Что такое метрическое пространство r n. Расстояние (метрика)

Основные функциональные пространства

Лекция 5

Одной из важнейших операций анализа является предельный переход. В основе этой операции лежит тот факт, что на числовой прямой определено расстояние от одной точки до другой. Многие фундаментальные факты анализа не связаны с алгебраической природой действительных чисел (т. е. с тем, что они образуют поле), а опираются лишь на понятие расстояния. Обобщая представление о действительных числах как о множестве, в котором введено расстояние между элементами, мы приходим к понятию метрического пространства - одному из важнейших понятий современной математики.

Определение.

Метрическим пространством называется пара (X, ρ) , состоящая из некоторого множества (пространства) X элементов (точек) и расстояния, т. е. однозначной, неотрицательной, действительной функции ρ(х,у) , определенной для любых x и y из X и подчиненной следующим аксиомам;

1. ρ(х,у) ≥ 0 для всех х,у,

2. ρ(х,у) = 0 тогда и только тогда, когда х=у ,

3. ρ(х,у) = ρ(y,x) (аксиома симметрии),

4. ρ(х,z) £ ρ(х,у) + ρ(у,z) (аксиома треугольника).

Само метрическое пространство, т. е. пару (X, ρ) , мы будем обозначать, как правило, одной буквой R = (X, ρ) .

В случаях, когда недоразумения исключены, мы будем зачастую обозначать метрическое пространство тем же символом, что и сам «запас точек» X .

Приведем примеры метрических пространств. Некоторые из этих пространств играют в анализе весьма важную роль.

1. Положив для элементов произвольного множества

мы получим, очевидно, метрическое пространство. Его можно назвать пространством изолированных точек.

2. Множество действительных чисел с расстоянием

образует метрическое пространство R 1 .

3. Множество упорядоченных групп из n действительных чисел x = (х 1 , …, x n) с расстоянием

(1)

называется n -мерным арифметическим евклидовым пространством R n . Справедливость аксиом 1) - 3) для R n очевидна. Покажем, что в R n выполнена и аксиома треугольника.

Пусть x = (x 1 ,…, x n), y = (y 1 ,…, y n),

z = (z 1 ,…, z n) ;

тогда аксиома треугольника записывается в виде

Полагая , получаем , а неравенство (2) принимает при этом вид

(3)

Но это неравенство сразу следует из известного неравенства Коши-Буняковского

(4)

Действительно, в силу этого неравенства имеем

тем самым неравенство (3), а следовательно и (2), доказано.

4. Рассмотрим то же самое множество упорядоченных групп из n действительных чисел x = (x 1 ,…, x n) но расстояние определим в нем формулой

. (5)

Справедливость аксиом здесь очевидна.

Задача. Доказать аксиому 4.

Обозначим это метрическое пространство символом .

5. Возьмем снова то же самое множество, что и в примерах 3 и 4, и определим расстояние между его элементами формулой

. (6)

Справедливость аксиом 1) - 3) очевидна.

Задача. Доказать аксиому 4.

Это пространство, которое мы обозначим , во многих вопросах анализа не менее удобно, чем евклидово пространство R n .

Последние три примера показывают, что иногда и в самом деле важно иметь различные обозначения для самого метрического пространства и для множества его точек, так как один и тот же запас точек может быть по-разному метризован.

6. Множество C всех непрерывных действительных функций, определенных на сегменте , с расстоянием

(7)

также образует метрическое пространство. Аксиомы 1) - 3) проверяются непосредственно.

Задача. Доказать аксиому 4.

Это пространство играет очень важную роль в анализе. Мы будем его обозначать тем же символом C , что и само множество точек этого пространства. Вместо C мы будем писать просто С .

7. Обозначим через l 2 метрическое пространство, точками которого служат всевозможные последовательности х=(x 1 ,…,х n , …) действительных чисел, удовлетворяющие условию ,

а расстояние определяется формулой

. (8)

Из элементарного неравенства следует, что функция ρ(х,у) имеет смысл для всех сходится, если

/

Покажем теперь, что функция (8) удовлетворяет аксиомам метрического пространства. Аксиомы 1) - 3) очевидны, а аксиома треугольника принимает здесь вид

В силу сказанного выше каждый из трех написанных здесь рядов сходится. С другой стороны, при каждом n справедливо неравенство

(см. пример 4). Переходя здесь к пределу при n®∞ получаем (8), т.е. неравенство треугольника в l 2 .

8. Рассмотрим, как и в примере 6, совокупность всех функций, непрерывных на отрезке , но расстояние определим иначе, а именно, положим

. (10)

Такое метрическое пространство мы будем обозначать С 2 и называть пространством непрерывных функций с квадратичной метрикой. Здесь все аксиомы метрического пространства очевидны, а аксиома треугольника непосредственно вытекает из интегральной формы неравенства Коши - Буняковского

9. Рассмотрим множество всех ограниченных последовательностей x = (x 1 ,…, x n , …) действительных чисел.

, (11)

мы получим метрическое пространство, которое обозначим m . Справедливость аксиом очевидна.

10. Множество упорядоченных групп из n действительных чисел с расстоянием

, (12)

где р - любое фиксированное число ≥ 1 , представляет собой метрическое пространство, которое мы обозначим .

Проверим аксиому 4.

Пусть x=(x 1 ,…,x n), y=(y 1 ,…,y n), z=(z 1 ,…,z n).

Положим , тогда неравенство

справедливость которого мы должны установить, примет вид

(13)

Это - так называемое неравенство Минковского. При p= 1 неравенство Минковского очевидно (модуль суммы не превосходит суммы модулей), поэтому будем считать, что р > 1 .

Доказательство неравенства (13) при р>1 основано на так называемом неравенстве Гёльдера

(14)

где числа р > 1 и q > 1 связаны условием

(15)

Заметим, что неравенство (14) однородно. Это значит, что если оно выполнено для каких-либо двух векторов a = (a 1 ,…, a n), и b = (b 1 ,…, b n), то оно выполнено и для векторов λa и μb , где λ и μ - произвольные числа. Поэтому неравенство (14) достаточно доказать для случая, когда

(16)

Итак, пусть выполнено условие (16); докажем, что

(17)

Рассмотрим на плоскости (ξ,η) кривую, определяемую уравнением η = ξ p -1 (ξ>0) , или, что то же самое, уравнением ξ p -1 (η >0) (рис. 1). Из рисунка ясно, что при любом выборе положительных значений a и b будет S 1 + S 2 > ab . Вычислим площади S 1 и S 2 :

Таким образом, справедливо числовое неравенство

Заменив здесь a на |a k | и b на |b k | и суммируя по k от 1 до n , получим, учитывая (15) и (16),

Неравенство (17), а, следовательно, и общее неравенство (14) доказаны.

При р = 2 неравенство Гёльдера (14) переходит в неравенство Коши - Буняковского (4).

Перейдем теперь к доказательству неравенства Минковского. Для этого рассмотрим тождество

Заменяя в написанном тождестве a на a k и b на b k и суммируя по k от 1 до n получим

Применяя теперь к каждой из двух сумм, стоящих справа, неравенство Гёльдера и учитывая, что (p - 1)q = p , получим

До сих пор, говоря о расстоянии, мы всегда подразумевали евклидово расстояние. Так, расстояние между векторами мы определили как длину вектора а именно:

Но расстояния можно вычислять и по-другому, используя различные меры длины. Например, рассмотрим упрощенную карту города в виде прямоугольной сетки улиц с двусторонним движением. Тогда адекватной мерой длины может служить кратчайшее расстояние, которое нужно преодолеть, чтобы добраться от одного перекрестка до другого. Иногда такое расстояние называют манхэттенским.

Вместо того чтобы перечислять всевозможные меры длины, большинство из которых нам не понадобится, мы сейчас рассмотрим требования (аксиомы), которым должна удовлетворять произвольная мера длины. Все последующие теоремы о расстояниях будут доказаны в рамках этих аксиом, то есть в наиболее общем виде. В математике принято вместо выражения «мера длины» использовать термин метрика.

Метрика.

Метрикой на множестве X называется вещественная функция d(x, у), определенная на произведении х и удовлетворяющая следующим аксиомам:

б) влечет

г) для всех (неравенство треугольника).

Метрическим пространством называется пара Доказательство того, что евклидово расстояние удовлетворяет аксиомам (а), (б) и (в), тривиально. Неравенство треугольника:

мы доказали в п. 3.1 (теорема 3.1.2). Таким образом, евклидово расстояние является метрикой, которую мы в дальнейшем будем называть евклидовой метрикой.

Рассмотрим один важный класс метрик в пространстве а именно класс -метрик. -метрика является обобщением евклидовой метрики и совпадает с ней при . Для p-метрика определяется следующим образом:

Мы оставим без доказательства следующий факт:

Доказательство того, что -метрика действительно является метрикой, т.е. удовлетворяет аксиомам мы также опускаем. Частично этот вопрос вынесен в упражнения.

Заметим, что в определении метрики мы не стали требовать, чтобы элементы х и у принадлежали пространству . Это дает нам возможность определить множество X, также как и его элементы х, у и т. д., многими разными способами. Наша задача состоит в том, чтобы указать при каких условиях фрактальное построение сходится. Для этого нужно уметь измерять расстояние между компактными множествами, то есть необходимо определить соответствующую метрику.

Теория множеств в метрических пространствах.

Нам предстоит сделать большой шаг вперед и распространить теоретикомножественные определения п. 3.1, подразумевавшие евклидову метрику, на произвольные метрики. Открытый шар в метрическом пространстве (X, d) определяется следующим образом:

С учетом (3.4), мы можем оставить без изменений данные выше определения следующих понятий:

Например, множество является открытым множеством тогда и только тогда, когда для любого можно указать открытый шар (в смысле определения (3.4)), который содержится в Е. В список вошли без изменений все определения, кроме понятия компактности. Строгое определение компактного множества в произвольном метрическом пространстве дается в прил. Так как нас в основном будет интересовать компактность подмножеств пространства то определение, данное выше (замкнутость и ограниченность), остается в силе.

Если - метрика на множестве X, а - взаимно однозначная вещественная функция, то

также есть метрика на X. Аксиомы (а) и (в), очевидно, выполнены. удовлетворяет аксиоме (б), так как - взаимно однозначная функция. Аксиома (г) запишется в виде неравенства:

то есть классического неравенства треугольника для вещественных чисел. Пример метрики, заданной таким образом:

Говорят, что две метрики, , определенные на множестве X, эквивалентны, если можно указать такие что:

Можно показать, что любые две -метрики в пространстве где эквивалентны (случай вынесен в упр. 3 в конце этого параграфа). С другой стороны, метрики на множестве R не эквивалентны (упр. 4 в конце этого параграфа).

По-видимому, основным следствием эквивалентности метрик для теории фракталов является тот факт, что фрактальная размерность (глава 5) сохраняется при замене метрики на эквивалентную. Более того, если множество открыто (замкнуто) в одной метрике, то оно открыто (замкнуто) и в любой эквивалентной метрике. Далее, если множество ограничено в одной метрике, то оно ограничено и в любой эквивалентной метрике. То же самое относится и к совершенным, связным и вполне разрывным множествам.

Сходимость.

Пусть - метрика на множестве X. Последовательность точек метрического пространства X сходится к пределу в метрике d, если последовательность чисел сходится к нулю в обычном смысле, то есть если:

Здесь эквивалентность метрик выражается в следующем. Если метрики эквивалентны, то в -метрике тогда и только тогда, когда в -метрике, так как.

Одной из важнейших операций анализа является предельный переход. В основе этой операции лежит тот факт, что на числовой прямой определено расстояние от одной точки до другой. Многие фундаментальные факты анализа не связаны с алгебраической природой действи­тельных чисел (т. е. с тем, что они образуют поле), а опираются лишь на понятие расстояния. Обобщая представление о действи­тельных числах как о множестве, в котором введено расстояние между элементами, мы приходим к понятию метрического пространства - одному из важнейших понятий современной математики.

Метрическим пространством называется пара (Х, r), состоящая из некоторого множества (пространства) Х элементов (точек) и расстояния, т. е. неотрица­тельной действительной функции r(х,у), определенной для лю­бых х и у из Х и подчиненной следующим трем аксиомам:

1) r(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у,

2) r(х, у) = r(у, х) (аксиома симметрии),

3) r(х, г) ≤ r(х, у) + r (у, г) (аксиома треугольника).

Само метрическое пространство, т. е. пару (Х, ρ), мы будем обозначать, как правило, одной буквой:

R = (X, ρ).

В случаях, когда недоразумения исключены, мы будем за­частую обозначать метрическое пространство тем же символом, что и сам «запас точек» X.

Приведем примеры метрических пространств. Некоторыеизэтих пространств играют в анализе весьма важную роль.

1. Положив для элементов произвольного множества

мы получим, очевидно, метрическое пространство. Его можно на­звать пространством изолированных точек.

2. Множество действительных чисел с расстоянием

ρ(х, у) = | х - у |

образует метрическое пространствоR 1 .

3. Множество упорядоченных наборов из п действительных чи­сел с расстоянием

называется п -мерным арифметическим евклидовым пространством R n .

4. Рассмотрим то же самое множество наборов из п действительных чи­сел , но расстояние опре­делим в нем формулой

Справедливость аксиом 1)-3) здесь очевидна. Обозначим это метрическое пространство символом R n 1 .

5. Возьмем снова то же самое множество, что и в приме­рах 3 и 4, и определим расстояние между его элементами фор­мулой

Справедливость аксиом 1)-3) очевидна. Это пространство, ко­торое мы обозначим R n ¥ во многих вопросах анализа не менее удобно, чем евклидово пространство R n .

Последние три примера показывают, что иногда и в самом деле важно иметь различные обозначения для самого метриче­ского пространства и для множества его точек, так как один и тот же запас точек может быть по-разному метризован.

6. Множество С всех непрерывных действительных функ­ций, определенных на отрезке с расстоянием

также образует метрическое пространство. Аксиомы1)-3) про­веряются непосредственно. Это пространство играет очень важ­ную роль в анализе. Мы будем его обозначать тем же симво­лом С , что и само множество точек этого пространства.

7. Рассмотрим, как и в примере 6, совокупность всех функ­ций, непрерывных на отрезке С , но расстояние определим иначе, а именно, положим

Такое метрическое пространство мы будем обозначать С 2 и называть пространством непрерывных функций с квад­ратичной метрикой.

Формальное определение

Метрическое пространство M есть множество точек с расстояния (также называется метрикой ) d:M\times M\to \mathbb{R} (где \mathbb{R} обозначает множество ). Для любых точек x , y , z из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

1. d (x , y ) ≥ 0
2. d (x , x ) = 0
3. d (x , y ) = 0 \Leftrightarrow x = y .
4. d (x , y ) = d (y , x ) (симметрия )
5. d (x , z ) ≤ d (x , y ) + d (y , z ) ().

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть положительно и расстояние от x до y такое же, как и от y до x . Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти x до y , а потом от y до z .

Примеры

• Дискретная метрика: d (x ,y ) = 0, если x =y , и d (x ,y ) = 1 во всех остальных случаях.
• с функцией расстояния d (x , y ) = |y - x | и являются полными метрическими пространствами.
• Манхеттенская, или городская метрика: координатная плоскость, на которой расстояние определено как сумма расстояний между координатами. Более общий пример: любое можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния d (x , y ) = ||y - x ||, в случае конечной размерности это называется пространством Минковского (не надо путать с другим ).
• Любое связное M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как длин путей, соединяющих пару точек.
• Множество вершин любого связного G можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины.
• Множество подмножеств K (M ) любого метрического пространства M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой . В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

D (X , Y ) = inf{r : для всех x в X существует y в Y с d (x , y ) < r и для любого y в Y существует x в X такое, что d (x , y ) < r )}.

• Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до ) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова - Хаусдорффа.

Связанные определения

• Метрическое пространство называется полным , если любая сходится к некоторому элементу этого пространства.
• Метрика d на M называется внутренней, если любые две точки x и y в M можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к d (x , y ).
• Любое метрическое пространство обладает естественной , базой для которой служит множество открытых шаров , т.е. множеств следующего типа:

B(x ; r ) = {y в M : d(x ,y ) < r }, где x есть точка в M и r - положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество O является открытым, если для любой точки x\in O найдётся положительное число r , такое, что множество точек на расстоянии меньше r от x принадлежит O .

• Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными .
• Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется .
• Метрика на пространстве называется ультраметрикой , если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника :

Для всех x , y и z в M , d (x , z ) ≤ max(d (x , y ), d (y , z )).

• Расстояние d (x ,S ) от точки x до подмножества S в M определяется по формуле:

d (x ,S ) = inf{d (x ,s ) : s ∈ S } Тогда d (x , S ) = 0, только если x принадлежит S .

• Иногда рассматривают метрики со значениями . Для любой такой метрики можно рассмотреть конечную метрику d "(x , y ) = d (x , y ) / (1 + d (x , y )) или d ""(x , y ) = min(1, d (x , y ))). Эти метрические пространства имеют одну и ту же топологию.

Свойства

• Метрическое пространство тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
• Метрическое пространство может не иметь счётной , но всегда удовлетворяет - имеет счётную базу в каждой точке.
  • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
  • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов - точечно-счётная база (но это свойство слабее