Беляев Ю.Н. Введение в векторный анализ

Современный уклад жизни требует постоянной динамики. Производя расчеты на калькуляторе, мы заметно экономим свое время, не рискуем в чем-то ошибиться и получаем точный результат. Благодаря изобретению данного устройства, многие люди забыли что такое недостачи и погрешности в расчетах. Однако калькулятор калькулятору рознь, и если примитивные вычислительные функции можно сделать на математической модели, то сложнейшие расчеты возможно совершить только при помощи инженерной. Отныне приобретать данное чудо современной техники не нужно – достаточно обратиться за помощью к нашему инженерному калькулятору онлайн! Программа работает без дополнительной установки – достаточно зайти на электронную страницу и начать действовать.

Функции инженерного калькулятора онлайн

Калькулятор математического типа поможет вам совершить только примитивные расчеты. С его помощью можно сделать то, чему нас учили в начальных классах средней школы:

• сложение;
• вычитание;
• деление;
• умножение;
• вычитание процентов;
• возведение числа в степень;
• нахождение корня квадратного.

Инженерный калькулятор онлайн включает в себя все эти и дополнительные функции, которые необходимы для проведения сложных расчетов. Теперь вам не придется тратить дополнительные деньги на покупку этого устройства, ведь сделать вычисления можно на нашем сайте.

Помимо вышеперечисленных, наш универсальный калькулятор поможет вам выполнить такие расчеты:

Нахождение:

• синуса угла;
• тангенса;
• косинуса;
• котангенса;
• арксинуса;
• арктангенса;
• арккосинуса;
• арккотангенса.

Интерфейс инженерного калькулятора онлайн

Выполнить все вышеперечисленные расчеты достаточно просто. Наш инженерный калькулятор онлайн обладает понятным интерфейсом, а потому работать с ним весьма удобно. По своему виду он полностью имитирует настоящий калькулятор, поэтому долгого изучения функций вам не потребуется. Несмотря на это мы прилагаем подробную инструкцию и описание каждой клавиши.

Пользоваться нашей программой выгодно еще и потому, что расчеты производятся моментально – вам не нужно обновлять страницу сайта, ведь калькулятор работает во флеш-режиме. Ежедневно нашей программой пользуется огромное количество людей. Среди них ученики высших заведений, преподаватели, архитекторы-проектировщики, ученые и другие люди, заинтересованные в точности расчетов. Инженерный калькулятор онлайн не требует скачивания и установки дополнительных плагинов, а потому вы можете начать пользоваться им прямо сейчас!

П р и м е р 81. Вычислить rot (~c ~r); где ~c постоянный вектор.

rot (~c ~r) = ~c div ~r ~r div ~c + @~r @~c @~r @~c = 3~c ~c = 2~c:

П р и м е р 84. Вычислить div (rn ~c); где ~c постоянный вектор.

Используя формулу (3.77), находим

182 Глава 3. ФУНКЦИИ ТОЧКИ

Здесь использовали свойство смешанного произведения, которое при циклической перестановке перемножаемых векторов не изменяется, а при других перестановках меняет знак.

П р и м е р 87. Вычислить div (~c ~r); где ~c постоянный вектор.

rot ~r = 0; rot ~c = 0, поэтому по формуле (3.78), имеем

div (~c ~r) = 0:

П р и м е р 88. Расхождение поля скоростей точек абсолютно твердого тела.

Скорость ~v любой точки т.т. выражается через скорость полюса O и угловую скорость!~ т.т. формулой

~v = ~vO + !~ ~r:

Угловая скорость!~ для всех точек т.т. одинакова. Следовательно, (см. п р и м е р 87) div (!~ ~r) = 0; и

div ~v = div ~vO + div (!~ ~r) = 0:

П р и м е р 89. Расхождение поля ускорений точек абсолютно твердого тела

~a = ~aO + !~ ~r + !~ (!~ ~r):

Используя результаты п р и м е р о в 81 и 87 и формулу (3.78), находим

div ~a = div ~aO + div (!~ ~r) + div (!~ (!~ ~r)) =

_ _ _

Div ~a O +~r rot !~ !~ rot !~ + (!~ ~r) rot !~ !~ rot (!~ ~r) =

0 + 0 0 + 0 2! 2 = 2!2 :

grad (~a b) = r(~a b) = r(~a b) + r(~a b):

п р и м е р а 79, по формуле (3.79) находим

grad (~c ~r) = ~c:

5.5. Дифференциальные операции второго порядка получаются в результате двукратного применения опера-

так как смешанное произведение трех векторов равно нулю, если в нем два вектора одинаковы. В данном случае вектор r входит в смешанное произведение дважды.

Этот результат соответствует свойству векторного произведения: вектор, умноженный сам на себя векторно, дает нульвектор.

Дадим подборку формул для основных дифференциальных операций в некоторых, наиболее часто используемых, криволинейных ортогональных системах координат. Будем считать, что

U и P соответственно скалярная и векторная функции точки.

Функции grad U , div P , rot P в произвольной криволинейной ортогональной системе координат определяются соответственно формулами (3.18), (3.62), (3.40). Привед¼м их здесь ещ¼ раз:

Из (3.18), (3.62), (3.40) и (3.84) следуют, в частности, формулы (3.19), (3.63), (3.41), (3.71) для градиента, расхождения, вихря и оператора Лапласа в декартовой системе координат.

6.1. Система цилиндрических координат. Цилиндрические координаты, " и z связаны с декартовыми координатами x, y, z соотношениями (см. рис.60)

x = cos "; y = sin "; z = z:

Координатные поверхности данной системы: круговые цилиндры с осью вращения Oz, плоскости, перпендикулярные оси Oz, и полуплоскости, проходящие через Oz. Уравнениями координатных поверхностей в декартовой и цилиндрической системах координат соответственно являются

Коэффициенты Ламе: H = 1; H" = ; Hz = 1. Квадрат элемента длины равен

ds2 = d2 +2 d"2 + dz2 :

Согласно формулам (3.18), (3.62), (3.40) и (3.84) получаем

6.2. Сферическая система координат. Сферические координаты r, " (рис. 61) связаны с декартовыми равенствами

x = r sin cos "; y = r sin sin "; z = r cos:

Координатные поверхности: сферы радиуса r с центром в т. O

x2 + y2 + z2 r2 = 0; r = const;

круговые конусы с вершиной O, образующие которых составляют с осью Oz угол,

x2 + y2 = z2 tg2 ; = const;

и полуплоскости, проходящие через Oz под углом " к плоскости xOz,

y=x = tg "; " = const:

Коэффициенты Ламе: Hr = 1; H = r; H" = r sin . Квадрат элемента длины

ds2 = dr2 + r2 d2 + r2 sin2 d"2 ;

и основные дифференциальные операции

Ðèñ. 92

6.3. Система параболических цилиндрических координат. Координаты, z связаны с декартовыми коор-

динатами соотношениями

На рис. 92 представлены параболы двух семейств взаимно ортогональных софокусных (фокус в на-

y чале координат т. O) парабол. Ось Oz перпендикулярна плоскости Oxy. Если перемещать показанные на рисунке параболы таким образом, чтобы их фокусы оставались на оси Oz,

x то получим две системы взаимно ор-

тогональных параболических цилиндров (с образующими, параллельными оси z).

Третья система координатных поверхностей, ортогональная указанным параболоидам, состоит из плоскостей, параллельных Oxy. Уравнениями координатных поверхностей являются:

динаты, связаны с декартовыми координатами соотно-

Координатными поверхностями являются две системы взаимно ортогональных параболоидов, которые получаются при вращении фигуры на рис. 92 вокруг оси Oy, и полуплоскостей, проходящих через ось вращения:

ds2 = c2 (2 +2 )(d2 + d2 ) + c2 2 2 d2 :

Положим = 2 +2 , тогда основные дифференциальные операции можно записать в виде

6.5. Система эллиптических цилиндрических координат. На рис. 93 показаны по одному представителю двух взаимно ортогональных семейств софокусных эллипсов и ги-

пербол с осями Ox и Oy.

При параллельном переносе по перпендикуляру к плоскости ри- y сунка (вдоль оси Oz) рассматриваемые эллипсы и гиперболы опишут эллиптические и гиперболи- ческие цилиндры, образуя две системы взаимно ортогональных ко-

x ординатных поверхностей. Третья система координатных поверхно-

стей состоит из плоскостей, параллельных плоскости Oxy.

Уравнения координатных поверхностей в декартовой и эллиптической цилиндрической системах имеют вид

6.6. Система вытянутых эллипсоидальных координат. При вращении семейств софокусных эллипсов и гипербол (рис. 93) вокруг оси Ox получаются соответственно взаимно ортогональные семейства вытянутых эллипсоидов вращения и двуполостных гиперболоидов вращения. Третья система координатных поверхностей полуплоскости, проходящие через ось вращения.

Уравнения координатных поверхностей в декартовой (x; y; z) и эллипсоидальной (, ",) системах координат имеют вид

Перевод: Влад Мержевич

В модулях спецификации CSS3 найдётся множество скрытых жемчужин. В этой статье мы взглянем на calc() - невероятно полезное свойство, которое может изменить ваш подход к вёрстке сайта.

Функция CSS3 calc() в первую очередь используется для вычисления длины, чисел, углов, времени перехода или анимации, а также частоты звука. Тем не менее, она позволяет смешивать типы значений - это мощная идея в CSS.

Рассмотрим макет сайта содержащего два плавающих элемента. Вы хотите чтобы оба элемента были одинаковой ширины и разделены между собой горизонтальным margin в 60px. Звучит просто? Не проблема в фиксированном дизайне; если страница имеет ширину 960px, то оба элемента будут шириной 450px.

Как насчёт резинового или адаптивного макета? Нет возможности определить ширину страницы, поэтому большинство разработчиков установили бы ширину каждого элемента, скажем, как 45%. Отступ 10% будет равен 60px при ширине страницы 600px; увеличение или сужение окна браузера, соответственно, станет увеличивать или сокращать margin.

К счастью, новая функция calc() позволяет нам вычислять ширину. В нашем случае мы хотим, чтобы ширина каждого элемента составляла 50% минус 30px.

#element1, #element2 { float: left; width: calc(50% - 30px); } #element2 { margin-left: 60px; }

Возможно вы желаете отступ, связанный с размером шрифта, вроде 4em? Не проблема.

#element1, #element2 { width: calc(50% - 2em); }

Или вы хотите рамку в 2px вокруг каждого элемента.

#element1, #element2 { width: calc(50% - 2em - 4px); border: 2px solid #000; }

#element1, #element2 { width: calc((50% + 2em)/2 + 14px); }

Поддержка браузеров

Функция calc() относится к рекомендациям W3C, теперь угадайте, какой браузер имеет встроенную поддержку?

Не угадали. На момент написания статьи это Internet Explorer 9. Firefox также поддерживает с префиксом: -moz-calc() . Так и не реализовано в webkit (Chrome и Safari) и Opera, но из-за полезности, полагаю, нам не придётся долго ждать (уже реализовано - прим. пер. ).

К счастью, в своих стилях вы можете использовать прогрессивное улучшение.

#element1, #element2 { width: 45%; /* все браузеры */ width: -moz-calc(50% - 30px); /* Firefox 4+ */ width: calc(50% - 30px); /* IE9+ и будущие браузеры */ }

min() и max()

Если вам понравился calc() , вы полюбите функции min() и max() . Они принимают два и более значений, разделенных запятыми, и возвращают, соответственно, минимум или максимум, например.

#myelement { width: max(300px, 30%, 30em); font-size: min(10px, 0.6em); }

Функции будут особенно полезны при использовании относительного размера шрифта текста, чтобы он не стал слишком большим или маленьким.

К сожалению, min() и max() не поддерживаются ни одним из последних браузеров. Будем надеяться, они скоро это сделают.